2015考研模拟试卷数学二(7)答案.pdf

全国硕士研究生入学统一考试数学二模拟试卷 7 答案 1 一 选择题 1 8 小题 每小题 4 分 共 32 分 下列每小题给出的四个选项中 只有一个选项符合题目要求 请将所选项前的字母填在题后括号位置上 1 答案答案答案答案 D 考点考点考点考点 微分中值定理的应用 导数的计算 解析解析解析解析 根据 Rolle 中值定理 fx在区间 0 2 2 4 和 4 6 内各有一个零点 而函数乘积的导数公 式中每一项都含有因子x 因此0也是 fx的一个零点 2 答案答案答案答案 C 考点考点考点考点 定积分的分部积分法 定积分的几何意义 解析解析解析解析 由于 sinsinsinsinsin 22222 00000 cos 2 xxxxx xexdxxd exeedxeedx 因此 sin 2 0 cos x xexdx 表示的是矩形OBAC的面积减去曲边梯形OBAD的面积 即曲边三角形ACD的面积 3 答案答案答案答案 D 考点考点考点考点 求解三阶常系数线性齐次微分方程的反问题 解析解析解析解析 特征根 12 3 2 i 特征方程 232 2 1 0220 常系数线性齐次微分方程 2 20yyyy 4 答案答案答案答案 D 考点考点考点考点 间断点的分类 解析解析解析解析 间断点分别是 1 0和1 1 1 1 lim ln 1 lim ln x x x xx x xx 1 是第二类 无穷 间断点 全国硕士研究生入学统一考试数学二模拟试卷 7 答案 2 2 0000 2 0000 11 11 limlimlimlim 1 lnln 11 11 limlimlimlim 1 lnln xxxx xxxx x xx xxxx x x xx xxxx x 0是第二类 无穷 间断点 111 111 111 limlimlim1 l lnln 111 limlimlim1 l lnln xxx xxx xx xxx x xx xxx x 1是第一类 跳跃 间断点 5 答案答案答案答案 C 考点考点考点考点 收敛数列的性质 解析解析解析解析 证明 C n x收敛 n x有界 n x有界 反例反例反例反例 A 1 n n x n B 和 D sin n xn 6 答案答案答案答案 A 考点考点考点考点 二重积分的极坐标变换 解析解析解析解析 2 22 11 01 1 1 x x xy x y dxf x y dyf x y dxdy 积分区域如图所示 对二重积分 22 1 1 xy x y f x y dxdy 做极坐标替换即得结论 7 答案答案答案答案 D 考点考点考点考点 逆矩阵的概念 解析解析解析解析 因为 4 A0 所以 2 EA EA EAE 故 2 EA EA EA均可逆 8 答案答案答案答案 D 考点考点考点考点 合同矩阵的充要条件 解析解析解析解析 矩阵的合同是针对对称矩阵而言 故选择项 A B 不对 矩阵合同的充要条件是其秩相同且有 正负惯性指数相同 即正 负特征值个数分别相同 经过计算 A的特征值为 1 3 即正惯性指数为 2 负惯 全国硕士研究生入学统一考试数学二模拟试卷 7 答案 3 性指数为 0 选择项 C 的特征值为1 5 2 即正负惯性指数各为 1 选择项 D 的特征值与A的特征值相同 二 填空题 9 14 小题 每小题 4 分 满分 24 分 请将答案写在题后横线位置上 9 答案答案答案答案 1 2 考点考点考点考点 函数连续性概念 计算极限的方法 常用的等价无穷小替换 解析解析解析解析 2 2 00 2 ln 1 1limlim2 0 1 1 cos 2 xx xf x xf x f x f x x f x 10 答案答案答案答案 1 x C y xex 考点考点考点考点 求解一阶线性微分方程 解析解析解析解析 原方程化为 11 x dy y dxxxe 通解为 111 dxdx x xx xx C yCedx eCe xexxex 11 答案答案答案答案 exey 1 考点考点考点考点 导数的几何意义 隐函数求导法 解析解析解析解析 方程cos ln xyyxx 两端对x求导 得 1 sin 1 y yxyxy yx 取0 xye 得 0 1ye 因此所求切线方程为exey 1 12 答案答案答案答案 10 1 考点考点考点考点 导数的几何应用 曲线的凹凸性与拐点 解析解析解析解析 4141 5555 4936 9 555 yxxxxx 16 55 5 3636361 252525 x yxx xx 当01x 时 0y 时 0y 曲线下凹 因此点 1 10 是曲线的拐点 全国硕士研究生入学统一考试数学二模拟试卷 7 答案 4 13 答案答案答案答案 2 1 ln2 4 考点考点考点考点 求多元复合函数的偏导数 解析解析解析解析 令 xy uv yx 则 v zu 且当2 1xy 时 1 2 2 uv 由复合函数求导的链式法则 得 1 2 ln vv zzuzvvuyuu xuxv xyx 2 1 12ln22 1 ln2 442 2 z x 14 答案答案答案答案 3 3 考点考点考点考点 特征值的性质 解析解析解析解析 因为 3 486 A 所以 6 A 又特征值为 2 1 2 于是 3 26 3 3 三 解答题 15 23 小题 共 94 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 15 考点考点考点考点 计算极限的方法 常用的等价无穷小替换 解析解析解析解析 x x x xx x xxx xx tan tan tantan lim tan tan tan tan lim 3 0 4 0 x xx x xx xx 3 0 3 0 tan tan tantan lim tan tantan lim 3 0 tan tan lim t tt t tx 2 2 0 2 2 0 tan lim 3 1 3 sec1 lim t t t t tt 1 3 错误错误错误错误 使用 33 00 tantan tan tan limlim xx xxxx xx 但没有证明xxxxtan tan tantan 0 x 16 考点考点考点考点 求由参数方程所确定函数的二阶导数 求解可分离变量的微分方程初值问题 求积分上 限函数的导数 全国硕士研究生入学统一考试数学二模拟试卷 7 答案 5 解析解析解析解析 求解可分离变量微分方程初值问题 1 012 0 2 t x xt dt dx 得 cos 2 tx 3 分 2 2 2 2 cos cot 2 sin dyy ttt t dxx ttt 2 分 2 2 2 cot d t d yddy dt dx dxdxdx dt 2 分 22 32 2 2 csc csc 2 sin tt t tt 2 分 17 考点考点考点考点 计算定积分 解析解析解析解析 由于1 1 arccos lim 2 2 1 x xx x 这是一个定积分 回答为反常积分的扣 1分 令tx arccos 则txcos 2 0 tx 0 1 tx 22 10 2 2 200 2 arccoscos sin cos sin 1 xxtt dxt dttt dt t x 2 2 22 00 0 1cos211 sin2 244 t tdttt dt 2 2 2 0 0 sin21 sin2 1644 tt t dt dt 22 2 0 11 cos2 168164 t 评评评评注注注注 本题也可以先分部积分 然后再换元 2 D 18 考点考点考点考点 计算分段函数的二重积分 解析解析解析解析 21 2 6 6 2max DDD dxdyyxdxdydxdyyx 1 D 5 分 注注注注 1 D的面积等于7 方方方方法一法一法一法一 24 16 2 6 7 2 y dyxy dx 3 分 2 2 1 422 45 yydy 2 分 全国硕士研究生入学统一考试数学二模拟试卷 7 答案 6 3 146 1 分 方方方方法二法二法二法二 42 23 2 6 7 2 x dxxy dy 4 2 2 1 4225 4 xxdx 3 146 19 考点考点考点考点 定积分的几何应用 旋转体的体积和侧面积 求解常系数二阶齐次微分方程或可分离变量 的微分方程 解析解析解析解析 根据题设 得 22 00 2 1 tt fx dxf xfxdx 两端对t求导 得 22 1 2 tftftf 即 2 12 tftf 两端平方 得 22 44 tftf 方法一方法一方法一方法一 继续求导 得 2 8 f t f tft ft 得到二阶常系数线性齐次微分方程0 4 yy 通解为 2 2 2 1 tt eCeCy 又 22 44yy 得1 21 CC 即 2 1 2 1 1 tt e C eCy 再由2 0 f 得1 1 C 即 22 tt eey 所求函数为 22 xx eexf 方法二方法二方法二方法二 直接得到可分离变量的微分方程4 2 2 yy 解得 4ln 2 2 Ctyy 全国硕士研究生入学统一考试数学二模拟试卷 7 答案 7 即 2 2 4 t Ceyy 将2 0 y代入方程 得2 C 因此 2 2 24 t eyy 22 tt eey 所求函数 22 xx eexf 20 考点考点考点考点 函数可积的必要条件 连续性的定义 定积分的性质 求分段函数的不定积分 解析解析解析解析 I 因为 xf在 ba上可积 因此有界 0 M 使得 baxMxf 对于 bax 取x 使 baxx 有 xx x F xxF xf t dt 0 xx x f t dtMx 0 x 因此 xF在 ba上连续 5 分 评评评评注注注注 使用积分中值定理证明最多给 2 分 因为积分中值定理要求被积函数连续 II xe x x x 0 0 1 2 分 xCe xCx x x 0 0 1 分 x 是可积函数 x 的原函数 因此 x 连续 1 CC 即 xCe xCx x x 0 1 0 2 分 评评评评注注注注 如果在最后结果中使用两个任意常数而没有说明它们之间关系 最多给 3 分 21 考点考点考点考点 求解条件极值问题 解解解解 作 Lagrange 函数 2 222222 zyxzyxzyxL 解驻点方程组 全国硕士研究生入学统一考试数学二模拟试卷 7 答案 8 02 0 022 022 022 222 zyxL zyxL zzL yyL xxL z y x 得 222 22 22 111 zyx 222 22 22 222 zyx 因此 所求最大值为 223 8 最小值为 223 8 解解解解 在约束条件中消去z 得 222 2 yxyx 1 利用所给问题中yx 的对称性 即交换x与y对原问题无影响 因此在最值点处一定有 yx 2 联立方程 1 2 并求得22 x和22 y 得到最值点 222 22 22 111 zyx 222 22 22 222 zyx 因此 所求最大值为 223 8 最小值为 223 8 22 考点考点考点考点 非齐次方程组解的性质与解法 解析解析解析解析 将增广矩阵A 化为行最简形矩阵 32300 30 111 111 3111 0111 22 A I 当03 2 时 即0 3 时 此方程组有唯一解 II 当0 时 方程无解 当3 时 方程组有无穷多个解 此时通解为 1 23 3 11 12 10 x xx x 其 中 3 x为任意实数 23 考点考点考点考点 线性无关的证明方法与矩阵的运算 解析解析解析解析 I 因为 21 为A的分别属于特征值 1 2 的特征向量 因此 21 线性无关 并且 2211 2 AA 全国硕士研究生入学统一考试数学二模拟试卷 7