习题7 课后答案.pdf

习题习题 七七 1 证明 如果证明 如果 f t 满足傅里叶变换的条件 当满足傅里叶变换的条件 当 f t 为奇函数时 则有为奇函数时 则有 0 dsin tbtf 其中其中 0 tdtsin 2 tfb 当当 f t 为偶函数时 则有为偶函数时 则有 0 cos tdwatf 其中其中 0 2 tdtcf t osa 证明 因为 dGtf ti e 2 1 其中 G为 f t 的傅里叶变换 cossin i t Gf t edtf tti t dt cos sinf ttdtif ttdt 当 f t 为奇函数时 tcosf t 为奇函数 从而 0tdtcosf t tsinf t 为偶函数 从而 0 sinf t 2tdtsinf t tdt 故 有 sinf t 2 0 tdtiG GG 为奇数 dtitGdeGtf ti sin cos 2 1 2 1 0 1 sind sind 2 i GitGt 所以 当 f t 为奇函数时 有 00 2 b sind b sindt f ttf t 其中t 同理 当 f t 为偶函数时 有 0 cosdf tat 其中 0 2 cos af t tdt 2 在上一题中 设在上一题中 设 t 2 1 0 1 t t t 计算计算f a 的值的值 解 1 2 001 11 22 00 1 2 0 1 2 0 1 1 20 0 222 cosdcosd0 cosd 22 1 cosdd sin 1 22 sinsin2 d 0 2 sin4 cos 2sin4 coscos 2sin4co af tt ttt tt t tt ttt tttt t t dt tttdt 23 s4sin 3 计算函数计算函数 sin 6 0 6 t t f t t 的傅里叶变换 解 6 6 6 6 6 0 2 dsind sin cossin d 2sinsind sin6 1 i ti t F ff tett et ttitt itt t i 4 求下列函数的傅里叶变换求下列函数的傅里叶变换 1 t f te 解 0 1 1 2 0 F f ddd 2 dd 1 i tti tti t titi f t eteetet etet 2 2 t f tt e 解 因为 2 222 4 F 2 2 ttt eeeett 而 2 t e 所以根据傅里叶变换的微分性质可得 2 2 4 F 2 t Gt ee i 3 2 sin 1 t f t t 解 2 2 22 0 22 00 sin F d 1 sin cossin d 1 1 cos cos sin sin 2 d2d 11 cos cos dd 11 sin 2 0 i t t Gfet t t titt t tt tt iti tt tt itit tt i 利用留数定理 当 当 t 4 4 1 1 f t t 解 44 44 0 1cossi ddd 111 coscos 2dd 11 i t tt Getti tt tt tt tt 4 n t t 令 4 1 R z 1z 则R z在上半平面有两个一级极点 22 1 1 22 ii 22 R d2 R 1 2 R 1 22 i ti zi z teti Reszeii Reszei 故 2 44 cos1 dRe d cossin 1122 2 i t te tte tt 2 5 4 1 t f t t 解 4 44 4 d 1 sin cosdd 11 sin d 1 i t t Get t tt t tit tt tt it t t 同 4 利用留数在积分中的应用 令 4 R 1 z z z 则 44 2 sin d Im d 11 sin 22 i t ttt e iti tt i e t 5 设函数设函数F t 是解析函数 而且在带形区域是解析函数 而且在带形区域Im t 内有界内有界 定义函数定义函数 L G 为为 2 2 ed L i t L L GF t t 证明当时 有证明当时 有 L 1 p v e d 2 i t L GF t 对所有的实数对所有的实数t成立成立 书上有推理过程 6 求符号函数求符号函数 1 0 sgn 1 0 t t t tt 的傅里叶变换的傅里叶变换 解 因为 1 F u t i 把函数sgn t 与u t 作比较 不难看出 sgn tu tut 故 11 F sgn F F 22 tu tut ii ii 7 已知函数已知函数 f t的傅里叶变换的傅里叶变换 00 F 求求f t 解 00 0 1 00 00 00 0 1 F F d 2 F cos cosd d 2 cos i t i t itit it f te tt et ee et f tt 而 所以 8 设函数设函数f t 的傅里叶变换的傅里叶变换 F a为一常数为一常数 证明证明 1 f atF aa 1 F d d i ti t f atf atetf ateat a 解 当 a 0 时 令 u at 则 11 F d u ia f atf ueuF aa a 当 a 0 时 令 u at 则 1 F F f at aa 故原命题成立 9 设设 FF f 证明证明 Ff t F 证明 eded ede ed i ti u ii u it Fftff tut d u u fuf uu ftF t u 10 设设 FF f 证明 证明 00 1 cos 2 F ftFF t 0 以及以及 00 1 0 2 FF sinF ft t 证明 00 00 0 00 e e cos 2 1 ee 2 22 1 2 itit itit F ftF tf t FF ff tt FF 同理 00 00 0 00 ee sin 2 1 ee 2 1 2 itit itit F ftF ft t i FFff tt i FF i 11 设设 0 0sin 0t 2 00e t tt fg tt t 其他 计算计算 fgt 解 df y gytfgty 当时 若则tyo 0 t 0 fy 故 fgt 0 若0 0 t 2 ty 则 00 dsind tt y f y gyeytfgtyt y 若 0 222 ttytyt 则 2 sind t y t eytfgy t 故 2 0 0 1 0 sincose 22 1 e 1 e 22 t t t t tt fgt t 12 设为单位阶跃函数 求下列函数的傅里叶变换设为单位阶跃函数 求下列函数的傅里叶变换 ut 0 e