数值分析第五版_李庆扬__课后习题答案.pdf

1 第一章 绪论 1 设0 x x的相对误差为 求lnx的误差 解 近似值 x的相对误差为 r exx e xx 而lnx的误差为 1 ln ln ln exxxe x 进而有 ln x 2 设x的相对误差为 2 求 n x的相对误差 解 设 n f xx 则函数的条件数为 p xfx C f x 又 1 n fxnx 1 n p x nx Cn n 又 rpr x nCx 且 r e x为 2 0 02 n r xn 3 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数 即误差限不超过最后一位的半个 单位 试指出它们是几位有效数字 1 1 1021x 2 0 031x 3 385 6x 4 56 430 x 5 7 1 0 x 解 1 1 1021x 是五位有效数字 2 0 031x 是二位有效数字 3 385 6x 是四位有效数字 4 56 430 x 是五位有效数字 5 7 1 0 x 是二位有效数字 4 利用公式 2 3 求下列各近似值的误差限 1 124 xxx 2 123 x x x 3 24 xx 其中 1234 x x x x均为第 3 题所给的数 解 2 4 1 3 2 1 3 3 4 1 5 1 10 2 1 10 2 1 10 2 1 10 2 1 10 2 x x x x x 124 124 433 3 1 111 101010 222 1 05 10 xxx xxx 123 123231132 143 2 111 1 1021 0 031100 031 385 6101 1021 385 610 222 0 215 x x x x xxx xxx xx 24 2442 2 4 33 5 3 11 0 0311056 43010 22 56 430 56 430 10 xx xxxx x 5 计算球体积要使相对误差限为 1 问度量半径 R 时允许的相对误差限是多少 解 球体体积为 3 4 3 VR 则何种函数的条件数为 2 3 4 3 4 3 p R VRR C V R 3 rprr VCRR 又 1 r V 3 故度量半径 R 时允许的相对误差限为 1 10 33 3 r R 6 设 0 28Y 按递推公式 1 1 783 100 nn YY n 1 2 计算到 100 Y 若取78327 982 5 位有效数字 试问计算 100 Y将有多大误差 解 1 1 783 100 nn YY 10099 1 783 100 YY 9998 1 783 100 YY 9897 1 783 100 YY 10 1 783 100 YY 依次代入后 有 1000 1 100783 100 YY 即 1000 783YY 若取78327 982 1000 27 982YY 3 1000 1 27 982 10 2 YY 100 Y 的误差限为 3 1 10 2 7 求方程 2 5610 xx 的两个根 使它至少具有 4 位有效数字 78327 982 解 2 5610 xx 故方程的根应为 1 2 28783x 故 1 287832827 98255 982x 1 x 具有 5 位有效数字 2 111 287830 017863 2827 98255 98228783 x 2 x具有 5 位有效数字 8 当 N 充分大时 怎样求 1 2 1 1 N N dx x 4 解 1 2 1 arctan 1 arctan 1 N N dxNN x 设arctan 1 arctanNN 则tan1 tan NN 1 2 2 1 1 arctan tan tantan arctan 1tantan 1 arctan 1 1 1 arctan 1 N N dx x NN NN NN 9 正方形的边长大约为了 100cm 应怎样测量才能使其面积误差不超过 2 1cm 解 正方形的面积函数为 2 A xx 2 AAx 当 100 x 时 若 1A 则 2 1 10 2 x 故测量中边长误差限不超过 0 005cm 时 才能使其面积误差不超过 2 1cm 10 设 2 1 2 Sgt 假定 g 是准确的 而对 t 的测量有0 1 秒的误差 证明当 t 增 加时 S 的绝对误差增加 而相对误差却减少 解 2 1 0 2 Sgt t 2 Sg tt 当 t增加时 S的绝对误差增加 2 2 1 2 2 r S S S gtt g t t t 5 当 t增加时 t 保持不变 则 S的相对误差减少 11 序列 n y满足递推关系 1 101 nn yy n 1 2 若 0 21 41y 三位有效数字 计算到 10 y时误差有多大 这个计算过程稳定 吗 解 0 21 41y 2 0 1 10 2 y 又 1 101 nn yy 10 101yy 10 10 yy 又 21 101yy 21 10 yy 2 20 10 yy 1 0 1 00 1 02 8 1 0 1 1 01 0 2 1 10 2 yy 计算到 10 y时误差为 8 1 10 2 这个计算过程不稳定 12 计算 6 21 f 取2 利用下列等式计算 哪一个得到的结果最 好 6 1 21 3 32 2 3 1 32 2 9970 2 解 设 6 1 yx 若2x 1 4x 则 1 1 10 2 x 若通过 6 1 21 计算 y 值 则 6 7 7 1 1 6 1 yx x yx x yx 若通过 3 32 2 计算 y 值 则 2 32 6 32 yxx yx x yx 若通过 3 1 32 2 计算 y 值 则 4 7 1 32 1 32 yx x yx x yx 通过 3 1 32 2 计算后得到的结果最好 13 2 ln 1 f xxx 求 30 f的值 若开平方用 6 位函数表 问求对数时误 差有多大 若改用另一等价公式 22 ln 1 ln 1 xxxx 计算 求对数时误差有多大 解 2 ln 1 f xxx 30 ln 30899 f 设899 30 uyf 则 u 4 1 2 u 故 7 3 1 0 0167 yu u u 若改用等价公式 22 ln 1 ln 1 xxxx 则 30 ln 30899 f 此时 7 1 59 9833 yu u u 第二章第二章 插值法插值法 1 当1 1 2x 时 0 3 4f x 求 f x的二次插值多项式 解 012 012 12 0 0102 02 1 1012 01 2 2021 1 1 2 0 3 4 1 1 2 2 1 1 2 6 1 1 1 3 xxx f xf xf x xxxx l xxx xxxx xxxx l xxx xxxx xxxx l xxx xxxx 则二次拉格朗日插值多项式为 2 2 0 k k k L xy l x 02 2 3 4 14 1 2 1 1 23 537 623 l xl x xxxx xx 2 给出 lnf xx 的数值表 8 X 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 lnx 0 916291 0 693147 0 510826 0 356675 0 223144 用线性插值及二次插值计算ln0 54的近似值 解 由表格知 01234 01 23 4 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 916291 0 693147 0 510826 0 356675 0 223144 xxxxx f xf x f xf x f x 若采用线性插值法计算ln0 54即 0 54 f 则0 50 540 6 2 1 12 1 2 21 11122 10 0 6 10 0 5 xx l xx xx xx l xx xx L xf x l xf x l x 6 9 3 1 4 7 0 6 5 1 0 8 2 6 0 5 xx 1 0 54 0 62021860 620219L 若采用二次插值法计算ln0 54时 12 0 0102 02 1 1012 01 2 2021 2001122 50 0 5 0 6 100 0 4 0 6 50 0 4 0 5 xxxx l xxx xxxx xxxx l xxx xxxx xxxx l xxx xxxx L xf x l xf x l xf x l x 5 00 9 1 6 2 9 1 0 5 0 6 6 9 3 1 4 7 0 4 0 6 0 51 0 8 2 65 0 0 4 0 5 xxxxxx 2 0 5 4 0 6 1 5 3 1 9 8 40 6 1 5 3 2 0L 3 给全cos 090 xx 的函数表 步长1 1 60 h 若函数表具有 5 位有效数 字 研究用线性插值求cosx近似值时的总误差界 解 求解cosx近似值时 误差可以分为两个部分 一方面 x 是近似值 具有 5 位有效数字 在此后的计算过程中产生一定的误差传播 另一方面 利用插值法 求函数cosx的近似值时 采用的线性插值法插值余项不为 0 也会有一定的误差 因此 总误差界的计算应综合以上两方面的因素 9 当090 x 时 令 cosf xx 取 0 11 0 606018010800 xh 令 0 0 1 5400 i xxih i 则 5400 90 2 x 当 1 kk xx x 时 线性插值多项式为 1 11 11 kk kk kkkk xxxx L xf xf x xxxx 插值余项为 11 1 cos 2 kk R xxL xfxxxx 又在建立函数表时 表中数据具有 5 位有效数字 且 cos0 1x 故计算中有 误差传播过程 5 11 21 11 11 11 1 1 10 2 1 k kk kk kkkk kk k kkkk kkk k fx xxxx R xfxfx xxxx xxxx fx xxxx fxxxxx h fx 总误差界为 10 12 1 1 2 85 5 1 cos 2 1 2 11 22 1 1 06 1010 2 0 50106 10 kkk kkk k RR xR x xxxxfx xxxxfx hfx 4 设为互异节点 求证 1 0 n kk jj j x l xx 0 1 kn 2 0 0 n k jj j xx l x 0 1 kn 证明 1 令 k f xx 若 插 值 节 点 为 0 1 j xjn 则 函 数 f x的n次 插 值 多 项 式 为 0 n k njj j Lxx lx 插值余项为 1 1 1 n nnn f R xf xL xx n 又 kn 1 0 0 n n f R x 0 n kk jj j x l xx 0 1 kn 0 00 00 2 n k jj j nn jik i kjj ji nn ik ii kj j ij xx l x C xxl x Cxx l x 11 0in 又 由上题结论可知 0 n ki jj j x l xx 0 0 n ik ii k i k Cxx xx 原式 得证 5 设 2 f xCa b 且 0 f af b 求证 2 1 max max 8 a x ba x b f xbafx 解 令 01 xa xb 以此为插值节点 则线性插值多项式为 10 101 010 xxxx L xf xf x xxxx xbxa f af b abxa 1 0 0 f af b L x 又 插值余项为 101 1 2 R xf xL xfx xxxx 01 1 2 f xfx xxxx 01 2 01 2 10 2 1 2 1 4 1 4 xxxx xxxx xx ba 又 2 1 max max 8 a x ba x b f xbafx 6 在44x 上给出 x f xe 的等距节点函数表 若用二次插值求 x e的近似值 要使截断误差不超过 6 10 问使用函数表的步长 h 应取多少 解 若插值节点为 1 ii xx 和 1i x 则分段二次插值多项式的插值余项为 12 211 1 3 iii R xfxxxxxx 211 44 1 max 6 iii x R xxxxxxxfx 设步长为 h 即 11 iiii xxh xxh 4343 2 123 6273 3 R xehe h 若截断误差不超过 6 10 则 6 2 436 10 3 10 27 0 0065 R x e h h 7 若 44 2 n nnn yyy 求及 解 根据向前差分算子和中心差分算子的定义进行求解 2n n y 44 1 nn yEy 4 4 0 4 4 0 4 4 0 4 4 1 4 1 4 1 2 21 2 jj n j j nj j jj n j n n n Ey j y j y j y y 11 44 22 nn yEEy 1 44 2 24 2 2 1 2 n n n n EEy Ey y 8 如果 f x是 m 次多项式 记 f xf xhf x 证明 f x的 k 阶差分 13 0 k f xkm 是mk 次多项式 并且 1 0 m f x l为正整数 解 函数 f x的Taylor展式为 2 1 1 111 2 1 mmmm f xhf xfx hfx hfx hfh mm 其中 x xh 又 f x是次数为m的多项式 1 0 m f f xf xhf x 2 11 2 mm fx hfx hfx h m f x 为1m 阶多项式 2 f xf x 2 f x 为2m 阶多项式 依此过程递推 得 k f x 是mk 次多项式 m f x 是常数 当l为正整数时 1 0 m f x 9 证明 1 kkkkkk f gfggf 证明 11 kkkkkk f gfgf g 1111 111 1 1 kkkkkkkk kkkkkk kkkk kkkk fgf gf gf g gfffgg gffg fggf 得证 10 证明 11 001 00 nn kknnkk kk fgf gf ggf 证明 由上题结论可知 14 1 kkkkkk fgf ggf 1 0 1 1 0 11 1 00 n kk k n kkkk k nn kkkk kk fg f ggf f ggf 11 1 0 1100221111 00 kkkkkk n kk k nnnn nn f gfgf g f g f gf gf gf gf gfg f gf g 11 001 00 nn kknnkk kk fgf gf ggf 得证 11 证明 1 2 0 0 n jn j yyy 证明 11 2 1 00 nn jjj jj yyy 10211 0 nn n yyyyyy yy 得证 12 若 1 011 nn nn f xaa xaxa x 有n个不同实根 12 n x xx 证明 1 1 0 0 02 1 k n j j j knx fxnkn 证明 f x有个不同实根 12 n x xx 且 1 011 nn nn f xaa xaxa x 12 nn f xa xxxxxx 令 12 nn xxxxxxx 则 11 kk nn jj jj jnnj xx fxax 15 而 2313 nnn xxxxxxxxxxxxx 121 n xxxxxx 1211 njjjjjjjjn xxxxxxxxxxx 令 k g xx 12 1 k n j n j nj x g x xx x 则 12 1 k n j n j nj x g x xx x 又 12 1 1 k n j n j jn x g x xx fxa 1 1 0 0 02 1 k n j j j knx fxnkn 得证 13 证明n阶均差有下列性质 1 若 F xcf x 则 0101 nn F x xxcf x xx 2 若 F xf xg x 则 010101 nnn F x xxf x xxg x xx 证明 1 12 0 011 j n n j jjjjjjn f x f x xx xxxxxxxx 12 0 011 j n n j jjjjjjn F x F x xx xxxxxxxx 0 011 j n j jjjjjjn cf x xxxxxxxx 0 011 j n j jjjjjjn f x c xxxxxxxx 01 n cf x xx 得证 2 F xf xg x 16 0 0 011 j n n j jjjjjjn F x F xx xxxxxxxx 0 011 jj n j jjjjjjn f xg x xxxxxxxx 0 011 j n j jjjjjjn f x xxxxxxxx 0 011 j n j jjjjjjn g x xxxxxxxx 00 nn f xxg xx 得证 14 74 31 f xxxx 求 017 2 2 2 F 及 018 2 2 2 F 解 74 31f xxxx 若2 0 1 8 i i xi 则 01 n n f f x xx n 7 017 7 1 7 7 f f x xx 8 018 0 8 f f x xx 15 证明两点三次埃尔米特插值余项是 4 22 311 4 kkkk Rxfxxxxxx 解 若 1 kk xx x 且插值多项式满足条件 33 kkkk H xf xH xfx 311311 kkkk H xf xH xfx 插值余项为 3 R xf xH x 由插值条件可知 1 0 kk R xR x 17 且 1 0 kk R xR x R x 可写成 22 1 kk R xg x xxxx 其中 g x是关于x的待定函数 现把x看成 1 kk x x 上的一个固定点 作函数 22 31 kk tf tH tg x txtx 根据余项性质 有 1 0 0 kk xx 22 31 3 0 kk xf xHxg x xxxx f xHxR x 22 311 2 2 kkkk tf tH tg xtxtxtxtx 0 k x 1 0 k x 由罗尔定理可知 存在 k x x 和 1 k x x 使 12 0 0 即 x 在 1 kk x x 上有四个互异零点 根据罗尔定理 t 在 t 的两个零点间至少有一个零点 故 t 在 1 kk x x 内至少有三个互异零点 依此类推 4 t 在 1 kk x x 内至少有一个零点 记为 1 kk x x 使 4 4 4 3 4 0fHg x 又 4 3 0Ht 4 1 4 kk f g xx x 18 其中 依赖于x 4 22 1 4 kk f R xxxxx 分段三次埃尔米特插值时 若节点为 0 1 k x kn 设步长为h 即 0 0 1 k xxkh kn 在小区间 1 kk x x 上 4 22 1 4 22 1 4 1 4 kk kk f R xxxxx R xfxxxx 22 4 1 22 4 1 4 4 4 4 4 1 m a x 4 1 max 4 2 11 max 4 2 max 384 kk a x b kk a x b a x b a x b xxxxfx xxxx fx hfx h fx 16 求 一 个 次 数 不 高 于4次 的 多 项 式P x 使 它 满 足 0 0 0 1 1 0 2 0PPPPP 解 利用埃米尔特插值可得到次数不高于 4 的多项式 01 01 01 0 1 0 1 0 1 xx yy mm 11 3 00 2 01 0 0101 2 1 2 12 1 jjjj jj Hxyxmx xxxx x xxxx x x 2 10 1 1010 2 1 2 32 xxxx x xxxx x x 2 0 2 1 1 1 xx x xxx 19 2232 3 3 2 1 2H xx xxxxx 设 22 301 P xH xA xxxx 其中 A 为待定常数 3222 2 1 2 1 P P xxxAxx 1 4 A 从而 22 1 3 4 P xxx 17 设 2 1 1 f xx 在55x 上取10n 按等距节点求分段线性插值函 数 h Ix 计算各节点间中点处的 h Ix与 f x值 并估计误差 解 若 010 5 5xx 则步长1 h 0 0 1 10 i xxih i 2 1 1 f x x 在小区间 1 ii x x 上 分段线性插值函数为 1 1 11 ii hii iiii xxxx Ixf xf x xxxx 1 22 1 11 11 ii ii xxxx xx 各节点间中点处的 h Ix与 f x的值为 当4 5x 时 0 0471 0 0486 h f xIx 当3 5x 时 0 0755 0 0794 h f xIx 当2 5x 时 0 1379 0 1500 h f xIx 当1 5x 时 0 3077 0 3500 h f xIx 当0 5x 时 0 8000 0 7500 h f xIx 20 误差 1 2 55 max max 8ii h xx xx h f xIxf 又 2 1 1 f x x 22 2 2 3 3 24 2 1 62 1 2424 1 x fx x x fx x xx fx x 令 0fx 得 fx 的驻点为 1 2 1x 和 3 0 x 1 23 55 1 2 2 1 max 4 h x fxfx f xIx 18 求 2 f xx 在 a b上分段线性插值函数 h Ix 并估计误差 解 在区间 a b上 01 0 1 1 niii xa xb hxx in 01 2 max i i n hh f xx 函数 f x在小区间 1 ii x x 上分段线性插值函数为 1 1 11 22 11 1 ii hii iiii iiii i xxxx Ixf xf x xxxx xxxxxx h 误差为 21 1 2 2 2 1 max max 8 2 2 max 4 ii hi xx xab h a x b f xIxfh f xx fxx fx h f xIx 19 求 4 f xx 在 a b上分段埃尔米特插值 并估计误差 解 在 a b区间上 01 0 1 1 niii xa xb hxx in 令 01 max i i n hh 43 4f xxfxx 函数 f x在区间 1 ii x x 上的分段埃尔米特插值函数为 2 1 11 2 1 1 11 2 1 1 2 11 1 12 12 ii hi iiii ii i iiii i ii ii i ii ii xxxx Ixf x xxxx xxxx f x xxxx xx xx fx xx xx xxfx xx 4 2 1 3 4 2 1 1 3 3 2 1 2 3 2 1 1 2 22 22 4 4 i iii i i iii i i ii i i ii i x xxhxx h x xxhxx h x xxxx h x xxxx h 误差为 4 22 1 4 4 1 4 1 max 242 h ii i a x b f xIx fxxxx h f 22 又 4 f xx 4 44 01 4 24 max max 1616 i h a x bi n fx hh f xIx 20 给定数据表如下 Xj 0 25 0 30 0 39 0 45 0 53 Yj 0 5000 0 5477 0 6245 0 6708 0 7280 试求三次样条插值 并满足条件 1 0 25 1 0000 0 53 0 6868 2 0 25 0 53 0 SS SS 解 010 121 232 343 0 05 0 09 0 06 0 08 hxx hxx hxx hxx 1 11 1234 533 1 1457 jj jj jjjj hh hhhh 1230 10 01 10 12 23 34 924 1 1457 0 9540 0 8533 0 7717 0 7150 f xf x f x x xx f x x f x x f x x 23 04 0120 0 1201 1 01 2312 2 12 3423 3 23 4434 3 1 1 0000 0 6868 6 5 5200 64 3157 63 2640 62 4300 6 2 1150 S xS x df x xf h f x xf x x d hh f x xf x x d hh f x xf x x d hh dff x x h 由此得矩阵形式的方程组为 2 1 M0 5 5200 5 14 2 9 14 M1 4 3157 3 5 2 2 5 M2 3 2640 3 7 2 4 7 M3 2 4300 1 2 M4 2 1150 求解此方程组得 01 234 2 0278 1 4643 1 0313 0 8070 0 6539 MM MMM 三次样条表达式为 33 1 1 22 11 1 66 0 1 1 66 jj jj jj jjjjjj jj jj xxxx S xMM hh M hxxMhxx yyjn hh 将 01234 M M M M M代入得 24 33 33 33 6 7593 0 30 4 8810 0 25 10 0169 0 30 10 9662 0 25 0 25 0 30 2 7117 0 39 1 9098 0 30 6 1075 0 39 6 9544 0 30 0 30 0 39 2 8647 0 45 2 2422 0 39 10 4186 0 45 xxxx x xxxx x S x xxx 33 10 9662 0 39 0 39 0 45 1 6817 0 53 1 3623 0 45 8 3958 0 53 9 1087 0 45 0 45 0 53 x x xxxx x 04 0012 344 04 2 0 0 20 4 3157 3 2640 2 4300 20 0 SxSx dfdd ddf 由此得矩阵开工的方程组为 04 1 2 3 0 9 20 14 4 3157 32 23 2640 55 2 4300 3 02 7 MM M M M 求解此方程组 得 01 234 0 1 8809 0 8616 1 0304 0 MM MMM 又三次样条表达式为 33 1 1 22 11 1 66 66 jj jj jj jjjjjj jj jj xxxx S xMM hh M hxxMhxx yy hh 将 01234 M M M M M代入得 25 3 33 33 6 2697 0 25 10 0 3 10 9697 0 25 0 25 0 30 3 4831 0 39 1 5956 0 3 6 1138 0 39 6 9518 0 30 0 30 0 39 2 3933 0 45 2 8622 0 39 10 4186 0 45 11 1903 0 39 0 3 xxx x xxxx x S x xxxx x 3 9 0 45 2 1467 0 53 8 3987 0 53 9 1 0 45 0 45 0 53 xxx x 21 若 2 f xCa b S x 是三次样条函数 证明 22 22 1 2 bb aa bb aa fxdxSxdx fxSxdxSxfxSxdx 2 若 0 1 ii f xS xin 式中 i x为插值节点 且 01n axxxb 则 b a SxfxSx dx S bf bS bS af aS a 证明 2 22 22 1 2 2 b a bbb aaa bbb aaa fxSxdx fxdxSxdxfx Sx dx fxdxSxdxSxfxSx dx 从而有 22 2 2 bb aa bb aa fxdxSxdx fxSxdxSxfxSx dx 第三章第三章 函数逼近与曲线拟合函数逼近与曲线拟合 1 sin 2 f xx 给出 0 1 上的伯恩斯坦多项式 1 B f x及 3 Bf x 解 sin 2 f x 0 1 x 伯恩斯坦多项式为 26 0 n nk k k Bf xfP x n 其中 1 kn k k n P xxx k 当1n 时 0 1 1 0 P xx 1 101 0 1 1 1 sin 0 sin 022 P xx B f xfP xfP x xx x 当3n 时 3 0 22 1 22 2 33 3 1 1 0 1 1 3 1 0 3 1 3 1 1 3 3 P xx P xxxxx P xxxxx P xxx 3 3 0 223 223 32 23 03 1 sin3 1 sinsin 632 33 3 1 1 22 53 33 363 222 1 50 4020 098 k k k Bf xfP x n xxxxx xxxxx xxx xxx 2 当 f xx 时 求证 n Bf xx 证明 若 f xx 则 0 n nk k k Bf xfP x n 27 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n knk k n knk k n knk k n knk k n knk k n n k xx kn k n nnk xx nk nnk xx k n xx k n xxx k x xx x 3 证明函数1 n xx线性无关 证明 若 2 012 0 n n aa xa xa xxR 分别取 0 1 2 k x kn 对上式两端在 0 1 上作带权 1x 的内积 得 0 1 0 1 0 1 0 21 1 1 1 1 n a a a n n n 此方程组的系数矩阵为希尔伯特矩阵 对称正定非奇异 只有零解 a 0 函数1 n xx线性无关 4 计算下列函数 f x关于 0 1 C的 1 ff 与 2 f 3 1 1 0 1 1 2 2 f xxx f xx 3 1 mn f xxx m 与 n 为正整数 10 4 1 x f xxe 解 1 若 3 1 0 1 f xxx 则 28 2 3 1 0fxx 3 1 f xx 在 0 1 内单调递增 01 max max 0 1 max 0 11 x ff x ff 01 max max 0 1 max 0 11 x ff x ff 1 1 6 2 2 0 1 7 2 1 1 1 1 07 7 7 fx dx x 2 若 1 0 1 2 f xxx 则 01 1 1 0 1 1 2 1 max 2 1 2 2 1 4 x ff x ff x dx xdx 1 1 2 2 2 0 1 1 2 2 0 1 2 3 6 ffx dx xdx 3 若 1 mn f xxx m 与 n 为正整数 当 0 1x 时 0f x 29 11 11 1 1 1 1 1 mnmn mn fxmxxx nx nm xxmx m 当 0 m x nm 时 0fx f x在 0 m nm 内单调递减 当 1 m x nm 时 0fx f x在 1 m nm 内单调递减 01 1 0 max max 0 x mn m n m xfx nm ff x m ff nm mn mn 1 1 0 1 0 222 2 0 22 2 0 1 sin 1 sin sin sincoscos 2 sin 1 mn mn mn ff x dx xxdx ttdt ttttdt n m nm 1 1 22 2 2 0 1 442 22 0 1 4141 22 0 1 sincos sin 2sincos 2 2 2 1 mn mn mn fxxdx ttdt ttdt nm nm 4 若 10 1 x f xxe 当 0 1x 时 0f x 30 910 9 10 1 1 1 9 0 xx x fxxexe xex f x在 0 1 内单调递减 01 10 1 1 0 1 10 0 1 109 0 1 1 202 2 2 0 2 max max 0 1 2 1 1 1 10 1 0 10 5 1 34 7 4 x x xx x ff x ff e ff x dx xe dx xexe dx e fxedx e 5 证明fgfg 证明 f fgg fgg fgfg 6 对 1 f x g xC a b 定义 1 2 b a b a f gfx g x dx f gfx g x dxf a g a 问它们是否构成内积 解 1 令 f xC C 为常数 且0C 则 0fx 31 而 b a f ffx fx dx 这与当且仅当0f 时 0f f 矛盾 不能构成 1 C a b上的内积 2 若 b a f gfx g x dxf a g a 则 b a b a b a g fg x fx dxg a f af gK f gf xg x dxaf a g a fx g x dxf a g a f g 1 hC a b 则 b a bb aa fg hf xg xh x dxf a g a h a fx h x dxf a h afx h x dxg a h a f hh g 22 0 b a f ffxdxfa 若 0f f 则 2 0 b a fxdx 且 2 0fa 0 0fxf a 0f x 即当且仅当0f 时 0f f 故可以构成 1 C a b上的内积 7 令 21 0 1 nn TxTxx 试证 n Tx是在 0 1 上带权 2 1 x xx 的正 交多项式 并求 0123 Tx Tx Tx Tx 解 若 21 0 1 nn TxTxx 则 32 1 0 1 20 1 21 21 nm nm Tx Tx P x dx TxTxdx xx 令 21 tx 则 1 1 t 且 1 2 t x 故 1 0 1 1 2 1 21 11 211 22 1 1 nm nm nm Tx Txx dx t T t T td tt T t T tdt t 又切比雪夫多项式 k Tx在区间 0 1 上带权 2 1 1 x x 正交 且 1 21 0 0 2 1 0 nm nm x T x Tx dnm t nm n Tx 是在 0 1 上带权 2 1 x xx 的正交多项式 又 0 1 1 1 T xx 00 1 11 21 1 0 1 1 1 21 21 0 1 TxTxx T xx x TxTxxx 2 2 22 2 2 21 1 1 21 2 21 1 881 0 1 T xxx TxTx x xxx 3 3 33 43 1 1 21 T xxx x TxTx 3 32 4 21 3 21 3248181 0 1 xx xxxx 8 对权函数 2 1xx 区间 1 1 试求首项系数为 1 的正交多项式 33 0 1 2 3 n x n 解 若 2 1xx 则区间 1 1 上内积为 1 1 f gf x g xx dx 定义 0 1x 则 11 nnnnn xxxx 其中 11 0 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 32 1 1 22 1 1 1 22 1 1 2 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 nnnnn nnnnn xxxxx xxxx x xx dx x dx xx xxx x xx dx xx dx x x xx dx x 2 2 16 2 15 8 5 3 2 5 dx xx 34 3222 2 1 322 1 1 222 1 22 2 1 222 1 1 22 1 323 3 2222 5555 22 1 55 22 1 55 0 22 55 22 1 55 1 136 17 525 16 70 15 2179 57014 xx xxx xx xx dx xxx dx xxx x xxx dx xx dx xxxxxx 9 试证明由教材式 2 14 给出的第二类切比雪夫多项式族 n u x是 0 1 上带权 2 1xx 的正交多项式 证明 若 2 sin 1 arccos 1 n nx Ux x 令cosx 可得 1 2 1 1 21 0 2 0 1 sin 1 arccos sin 1 arccos 1 sin 1 sin 1 1 cos sin 1 sin 1 mn Ux Uxx dx mxnx dx x mn d mnd 当mn 时 2 0 0 sin 1 1 cos 2 1 2 2 md m d 当mn 时 35 0 0 0 0 0 2 0 sin 1 sin 1 1 sin 1 cos 1 1 1 cos 1 sin 1 1 1cos 1 cos 1 1 11 cos 1 sin 1 11 1 sin 1 cos 1 1 mnd mdn n ndm n m nmd n m mdn nn m ndm n m 2 0 1 sin 1 sin 1 1 0 nmd n 2 0 1 1 sin 1 sin 1 0 1 m nmd n 又mn 故 2 1 1 1 m n 0 sin 1 sin 1 0nmd 得证 10 证明切比雪夫多项式 n T x满足微分方程 22 1 0 nnn x T xxT xn T x 证明 切比雪夫多项式为 cos arccos 1 n T xnxx 从而有 36 2 2 2 32 2 2 22 2 2 2 2 1 sin arccos 1 sin arccos 1 sin arccos cos arccos 1 1 1 sin arccos cos arccos 1 sin arccos cos arcco 1 n n nnn T xnx n x n nx x nn T xnxnx x x x T xxT xn T x nx nxnnx x nx nxnn x s 0 x 得证 11 假设 f x在 a b上连续 求 f x的零次最佳一致逼近多项式 解 f x在闭区间 a b上连续 存在 12 x xa b 使 1 2 min max a x b a x b f xf x f xf x 取 12 1 2 Pf xf x 则 1 x和 2 x是 a b上的 2 个轮流为 正 负 的偏差点 由切比雪夫定理知 P 为 f x的零次最佳一致逼近多项式 12 选取常数a 使 3 01 max x xax 达到极小 又问这个解是否唯一 解 令 3 f xxax 则 f x在 1 1 上为奇函数 3 01 3 11 max max x x xax xax f 37 又 f x的最高次项系数为 1 且为 3 次多项式 33 3 1 2 xT x 与 0 的偏差最小 3 33 13 44 xT xxx 从而有 3 4 a 13 求 sinf xx 在 0 2 上的最佳一次逼近多项式 并估计误差 解 1 2 2 2 22 0 sin 0 2 cos sin0 2 2 cos 2 arccos0 88069 0 77118 22 0 10526 f xx x fxx fxx f bf a a ba x x f x f af xf bf aax a ba 于是得 f x的最佳一次逼近多项式为 1 2 0 10526P xx 即 2 sin0 10526 0 2 xxx 误差限为 1 1 sin sin0 0 0 10526 xP x P 14 求 0 1 x f xe 在 0 1上的最佳一次逼近多项式 解 0 1 0 x x x f xex fxe fxe 38 2 2 1 2 2 22 0 1 1 ln 1 1 22 1 1 ln 1 1 22 1 ln 1 2 x x f bf a ae ba ee xe f xee f af xf bf aax a ba ee e e 于是得 f x的最佳一次逼近多项式为 1 1 1 ln 1 22 1 1 1 ln 1 2 e P xexe exeee 15 求 43 31f xxx 在区间 0 1 上的三次最佳一致逼近多项式 解 43 31 0 1 f xxxx 令 1 2 2 tx 则 1 1 t 且 11 22 xt 43 432 1111 3 1 2222 1 1024 229 16 f ttt tttt 令 16 g tf t 则 432 1024229g ttttt 若 g t为区间 1 1 上的最佳三次逼近多项式 3 P t应满足 3 11 max min t g tP t 当 42 34 3 11 881 28 g tP tT ttt 时 多项式 3 g tP t 与零偏差最小 故 39 34 3 32 1 2 73 102522 8 tg tT t ttt 进而 f x的三次最佳一致逼近多项式为 3 1 16 P t 则 f x的三次最佳一致逼近 多项式为 32 3 32 173 10 21 25 21 22 21 168 51129 5 44128 P txxx xxx 16 f xx 在 1 1 上求关于 24 1 spanx x 的最佳平方逼近多项式 解 1 1f xx x 若 1 1 f gf x g x dx 且 24 012 1 xx 则 222 012 222 012 010212 22 2 59 11 1 23 22 1 57 fff 则法方程组为 0 1 2 22 2 1 35 2221 3572 1222 3579 a a a 解得 0 1 2 0 1171875 1 640625 0 8203125 a a a 故 f x关于 24 1 spanx x 的最佳平方逼近多项式为 40 24 012 24 0 1171875 1 6406250 8203125 Sxaa xa x xx 17 求函数 f x在指定区间上对于 1 spanx 的最佳逼近多项式 1 1 1 3 2 0 1 3 cos 0 1 4 ln 1 2 x f xf xe x f xxf xx 解 1 1 1 3 f x x 若 3 1 f gf x g x dx 且 01 1 x 则有 22 01 22 01 01 26 2 3 4 ln3 2 ff 则法方程组为 0 1 24 ln3 26 24 3 a a 从而解得 0 1 1 1410 0 2958 a a 故 f x关于 1 spanx 的最佳平方逼近多项式为 01 1 14100 2958 Sxaa x x 2 0 1 x f xe 若 1 0 f gf x g x dx 且 01 1 x 则有 41 22 01 22 01 01 1 1 3 1 2 1 1 fef 则法方程组为 0 1 1 1 1 2 111 23 ae a 从而解得 0 1 0 1878 1 6244 a a 故 f x关于 1 spanx 的最佳平方逼近多项式为 01 0 1878 1 6244 Sxaa x x 3 cos 0 1 f xx x 若 1 0 f gf x g x dx 且 01 1 x 则有 22 01 22 01 01 2 1 1 3 1 2 2 0 ff 则法方程组为 0 1 2 1 01 2 2 11 23 a a 从而解得 0 1 1 2159 0 24317 a a 42 故 f x关于 1 spanx 的最佳平方逼近多项式为 01 1 21590 24317 Sxaa x x 4 ln 1 2 f xx x 若 2 1 f gf x g x dx 且 01 1 x 则有 22 01 22 01 01 7 1 3 3 2 3 2ln2 1 2ln2 4 ff 则法方程组为 0 1 3 2ln2 11 2 3 372ln2 4 23 a a