2020届云南省昆明市云南师范大学附属中学高三适应性月考卷（五） 数学（理）试题（解析版）

2020届云南省昆明市云南师范大学附属中学高三适应性月考卷（五） 数学（理）试题一、单选题1已知集合，.则（ ）ABCD【答案】B【解析】先计算得到，再计算得到答案.【详解】故选：B【点睛】本题考查了交集的运算，属于简单题.2（ ）ABCD【答案】C【解析】直接利用诱导公式和辅助角公式化简得到答案.【详解】故选：C【点睛】本题考查了诱导公式和辅助角公式，意在考查学生的计算能力.3设复数，在复平面内所对应的向量分别为，（为原点），则（ ）ABCD【答案】B【解析】化简得到，再计算得到答案.【详解】 故选：B【点睛】本题考查了复平面对应向量的运算，掌握复数和向量的对应关系是解题的关键.4已知数列为等差数列，为前项和，若，则（ ）ABCD【答案】D【解析】根据等差数列公式得到方程组，计算得到答案.【详解】故选：D【点睛】本题考查了等差数列求和，理解掌握数列公式是解题的关键.5若的展开式中常数项等于，则（ ）ABCD【答案】C【解析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项，再根据常数项等于，求得实数a的值【详解】解：的展开式中的通项公式为，令得，可得常数项为，得，故选：C【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题6函数的图象大致为（ ）ABCD【答案】D【解析】判断函数为偶函数，取特殊点，判断得到答案.【详解】，且，函数为偶函数故选：D【点睛】本题考查了函数图像的判断，根据奇偶性和特殊点可以快速得到答案是解题的关键.7在高中阶段，我们学习的数学教材有必修15，选修2系列3册，选修4系列2册，某天晚自习小明准备从上述书中随机取两册进行复习，则他今晚复习的两本均是必修教材的概率是（ ）ABCD【答案】B【解析】先求“两本均是必修教材”包含的基本事件个数，再求“从上述书中随机取两册”包含的基本事件总数，然后根据概率计算公式即可求出【详解】解：“两本均是必修教材”包含的基本事件个数为，“从上述书中随机取两册”包含的基本事件总数为，小明今晚复习的两本均是必修教材的概率，故选：B【点睛】本题考查了古典概型的概率，考查组合及组合数公式，属于基础题8已知函数的最小值为e，则（ ）ABCD【答案】A【解析】利用解析式先求出每段函数的值域，再根据函数由最小值e得，解不等式得，再代入解析式即可求出函数值【详解】解：，当函数时，当时，又函数的最小值为e，则，所以，故选：A【点睛】本题主要考查分段函数的最值问题，先求出每段函数的最值，再求函数的最值，属于中档题9已知函数，将的图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象向左平移个单位，所得图象对应的函数为，若函数的图象在，两处的切线都与x轴平行，则的最小值为（ ）ABCD【答案】B【解析】先计算得到，画出函数图像，计算，得到答案.【详解】根据变换得到：，图象如图：由图可知，取到的最小可能为，因为，所以最小值为4故选：B【点睛】本题考查了三角函数的平移，放缩，距离的计算，综合性强，意在考查学生综合应用能力.10如图，已知是圆的直径，在圆上且分别在的两侧，其中，.现将其沿折起使得二面角为直二面角，则下列说法不正确的是（ ）A，在同一个球面上B当时，三棱锥的体积为C与是异面直线且不垂直D存在一个位置，使得平面平面【答案】D【解析】依次判断每个选项的正误：，所以A正确；当，A，C各在所在圆弧的中点，计算体积得到B正确；反证法证明AB与CD不垂直C正确；根据C选项知D错误，得到答案。【详解】因为，所以A正确；当，A，C各在所在圆弧的中点，此时三棱锥的底面BCD的面积和高均处于最大位置，此时体积为，所以B正确；AB与CD显然异面，用反证法证明他们不垂直若，过A作BD的垂线，垂足为E，因为为直二面角，所以AE平面BCD，所以，所以，所以，这与矛盾，所以AB与CD不垂直，所以C正确；假设存在一个位置，使得平面平面，过作于，则平面由于平面，与选项矛盾.故选：D【点睛】本题考查了直线平面的关系，体积，意在考查学生的空间想象能力和推断能力.11在四边形中，已知，则四边形面积的最大值为（ ）ABCD【答案】B【解析】设，解ABC和ACD表示出，求出四边形的面积，令，求得，求出N的最大值，从而求出四边形面积的最大值【详解】解：设，则在中，在中，则四边形的面积，令，则，所以当，即，时，N取到最大值，所以面积的最大值为，故选：B【点睛】本题考查了利用正弦定理和余弦定理解决平面几何中的面积问题，综合性很强，属于中档题二、填空题12能说明命题“，是实数，若，则”是假命题的一组数对（，）是_.【答案】【解析】举一组反例即得到答案.【详解】答案不唯一，满足条件即可例如：故答案为：【点睛】本题考查了判断命题为假命题，属于简单题.13已知某学校高三年级1500名学生参加某次考试的成绩（单位：分）服从正态分布，估计成绩在120分以上的学生人数有_.附：若，则，.【答案】34或35【解析】由随机变量服从正态分布，得，根据即可求解【详解】解：由随机变量服从正态分布，得，则，则，则成绩在120分以上的人数有，所以34或35均可故答案为：34或35【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题14设抛物线：，过抛物线的焦点且平行于轴的直线与抛物线围成的图形面积为，则抛物线的方程为_.【答案】【解析】由题意由过抛物线的焦点且平行于y轴的直线方程为，代入到抛物线方程可得交点坐标，利用积分表示出面积，解方程即可求出抛物线方程【详解】解：过抛物线的焦点且平行于y轴的直线方程为，则它与抛物线交于，由得，则所围成的图形的面积，则，所以抛物线的方程为，故答案为：【点睛】本题主要考查积分的应用，考查抛物线的性质，求出积分上限和下限，是解决本题的关键，属于基础题15我们经常听到这样一种说法：一张纸经过一定次数对折之后厚度能超过地月距离.但实际上，因为纸张本身有厚度，我们并不能将纸张无限次对折，当我们的厚度超过纸张的长边时，便不能继续对折了，一张长边为，厚度为的矩形纸张沿两个方向不断对折，则经过两次对折，长边变为，厚度变为.在理想情况下，对折次数有下列关系：（注：），根据以上信息，一张长为，厚度为的纸最多能对折_次.【答案】8【解析】根据题意计算得到答案.【详解】，因为，所以的最大值为8故答案为：【点睛】本题考查了对数的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.三、解答题16已知是双曲线：的一个焦点，是双曲线的两条渐近线，过且垂直的直线与，分别交于，两点，若三角形的面积（为原点），则双曲线的离心率为（ ）A或B或C或D或【答案】C【解析】分为和两种情况，画出图像分别计算离心率得到答案.【详解】有如下两种情况：（1）；（2） （1）如图甲，可求出A，B的坐标分别为所以；同理可得当时，满足条件的离心率故选：C【点睛】本题考查了双曲线的离心率，分类讨论是解题的关键，漏解是容易发生的错误.17在我们的教材必修一中有这样一个问题，假设你有一笔资金，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下:方案一：每天回报元；方案二：第一天回报元，以后每天比前一天多回报元；方案三：第一天回报元，以后每天的回报比前一天翻一番.记三种方案第天的回报分别为，.（1）根据数列的定义判断数列，的类型，并据此写出三个数列的通项公式；（2）小王准备做一个为期十天的短期投资，他应该选择哪一种投资方案？并说明理由.【答案】（1）为常数列；为等差数列；是等比数列；（2）应该选择方案二，详见解析【解析】（1）根据题意得到为常数列，是等差数列，是等比数列，分别计算通项公式得到答案.（2）设投资10天三种投资方案的总收益为，分别计算比较大小得到答案.【详解】（1）为常数列；是首项为10，公差为10的等差数列；，所以是首项为0.4，公比为2的等比数列所以（2）设投资10天三种投资方案的总收益为，由（1）知：，因为，所以应该选择方案二【点睛】本题考查了数列的应用，意在考查学生对于数列公式的灵活应用.18至年底，我国发明专利申请量已经连续年位居世界首位，下表是我国年至年发明专利申请量以及相关数据.注：年份代码分别表示.（1）可以看出申请量每年都在增加，请问这几年中哪一年的增长率达到最高，最高是多少？（2）建立关于的回归直线方程（精确到），并预测我国发明专利申请量突破万件的年份.参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，【答案】（1）2013年的增长率最高，达到了26%（2）关于的回归直线方程为，预测我国发明专利申请量将在2021年突破200万件【解析】（1）分别计算每一年的增长率，比较大小得到答案.（2）根据公式直接计算得到回归直线方程为，再解不等式得到答案.【详解】（1）由表格可知2013，2014，2015，2016，2017，2018年的增长率分别如下：，所以2013年的增长率最高，达到了26%（2）由表格可计算出：，关于的回归直线方程为令所以根据回归方程可预测，我国发明专利申请量将在2021年突破200万件【点睛】本题考查了回归方程的计算和应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.19如图，已知菱形和矩形所在的平面互相垂直，.（1）若为的中点，求证：平面；（2）若二面角的余弦值为，求.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）设BF的中点为H，连接HG，HO证四边形AGHO是平行四边形，得，再根据线面平行的判定定理得平面BDF；（2）以O为原点建立如图的空间直角坐标系，设,，求得,，再求出平面ABE与平面BDE的法向量，求出法向量所成角的余弦值，求出a,b，得，从而【详解】（1）证明：设BF的中点为H，连接HG，HO因为G是BE的中点，所以，所以四边形AGHO是平行四边形，所以，又因为平面BDF，平面BDF，所以平面BDF （2）解：因为菱形和矩形所在平面互相垂直，故以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，设平面ABE与平面BDE的法向量分别为，则，令、，得，则，则，则，【点睛】本题主要考查线面平行的判定与线线平行的判定，考查二面角的应用，属于中档题20设椭圆：，分别是椭圆的左、右焦点，在椭圆上.求证：（1）直线：是椭圆在点处的切线；（2）从发出的光线经直线反射后经过.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】（1）联立直线和椭圆方程计算得到证明.（2）设关于直线的对称点为，则的中点在直线l上，直线与l垂直，计算得到证明.【详解】证明：（1）因为在椭圆上，所以，所以P也在直线上联立直线和椭圆方程因为P在椭圆上，所以所以直线l与椭圆相切，又因为，所以直线l是椭圆在点P处的切线（2）设关于直线的对称点为，则的中点在直线l上，直线与l垂直，即，所以三点共线，所以从发出的光线经直线反射后经过【点睛】本题考查了椭圆的切线和反射问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.21设函数.（1）证明：，都有；（2）若函数有且只有一个零点，求的极值.【答案】（1）见解析；（2）时，的极大值为e1，极小值为0【解析】（1）令，求导得，利用导数判断出的单调性，从而求出的最大值，最大值小于0，则命题得证；（2）由得，两边同时取对数整理得，则的零点个数等于解的个数，令，求导，求出，得出，令，求导，借助的单调性得出的符号，从而求出极值.【详解】（1）证明：令，则，所以在上单调递增，在上单调递减，所以的最大值为，即，所以，都有（2）解：由得，则，所以，所以的零点个数等于方程解的个数，令，则，且，所以在上单调递增，在上单调递减，又因为，且由（1）知，则当时，所以时，有且只有一个解，所以若函数有且只有一个零点，则，此时，令，则，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，当时，当时，当时，则，则，同理可得：当时，；当时，；所以和分别是函数的极大值点和极小值点所以时，的极大值为e1，极小值为0【点睛】本题主要考查导数在研究函数的单调性和最值时的应用，考查函数的极值与零点，属于难题22在直角坐标系中，射线的方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的方程为.一只小虫从点沿射线向上以单位/min的速度爬行（1）以小虫爬行时间为参数，写出射线的参数方程；（2）求小虫在曲线内部逗留的时间.【答案】（1）该射线的参数方程为；（2）小虫在圆内逗留的时间为4min【解析】（1）小虫爬行的距离为2t，其所在位置为，得到参数方程.（2）曲线C1的直角坐标方程为，根据韦达定理得到，计算得到答案.【详解】（1）因为直线的倾斜角为30，经过时间t后，小虫爬行的距离为2t，其所在位置为所以该射线的参数方程为（2）曲线C1的直角坐标方程为；将射线的参数方程带入