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高中数学圆锥曲线解题 技巧方法总结 ） 圆锥曲线1.圆锥曲线的两定义第一定义中要重视“括号”内的限制条件椭圆中，与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a，且此常数2a一定要大于21FF，当常数等于21FF时，轨迹是线段F1F2，当常数小于21FF时，无轨迹；双曲线中，与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a，且此常数2a一定要小于|F1F2|，定义中的“绝对值”与2a|F1F F2|不可忽视。 若2a|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a|F1F2|，则轨迹不存在。 若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 如方程2222 (6) (6)8x y x y?表示的曲线是_（答双曲线的左支）2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程） （1）椭圆焦点在x轴上时12222?byax（0a b?），焦点在y轴上时2222bxay?1（0a b?）。 方程22Ax ByC?表示椭圆的充要条件是什么？（ABC0，且A，B，C同号，AB）。 若R y x?,，且62322?y x，则y x?的最大值是_，22y x?的最小值是_（答5,2） （2）双曲线焦点在x轴上2222byax?=1，焦点在y轴上2222bxay?1（0,0a b?）。 方程22Ax ByC?表示双曲线的充要条件是什么？（ABC0，且A，B异号）。 如设中心在坐标原点O，焦点1F、2F在坐标轴上，离心率2?e的双曲线C过点)10,4(?P，则C的方程为_（答226x y?） （3）抛物线开口向右时22 (0)y px p?，开口向左时22 (0)y pxp?，开口向上时22 (0)x pyp?，开口向下时22 (0)x pyp?。 3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断） （1）椭圆由x2,y2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 如已知方程12122?mymx表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是_（答)23,1()1,(?） （2）双曲线由x2,y2项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； （3）抛物线焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 提醒在椭圆中，a最大，222a b c?，在双曲线中，c最大，222c a b?。 4.圆锥曲线的几何性质（ （1）椭圆（以12222?byax（0a b?）为例）范围,a x a by b?；焦点两个焦点(,0)c?；对称性两条对称轴0,0x y?，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b?，其中长轴长为2a，短轴长为2b；准线两条准线2axc?；离心率cea?，椭圆?01e?，e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。 如 （11）若椭圆1522?my x的离心率510?e，则m的值是_（答3或325）； （22）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为_（答22） （22）双曲线（以22221x ya b?（0,0a b?）为例）范围x a?或,xay R?；焦点两个焦点(,0)c?；对称性两条对称轴0,0x y?，一个对称中心（0,0），两个顶点(,0)a?，其中实轴长为2a，虚轴长为2b，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为22,0x y k k?；准线两条准线2axc?；离心率cea?，双曲线?1e?，等轴双曲线?2e?，e越小，开口越小，e越大，开口越大；两条渐近线by xa?。 （3）抛物线（以22 (0)y pxp?为例）范围0,x yR?；焦点一个焦点(,0)2p，其中p的几何意义是焦点到准线的距离；对称性一条对称轴0y?，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；准线一条准线2px?；离心率cea?，抛物线?1e?。 如设R a a?,0，则抛物线24ax y?的焦点坐标为_（答)161,0(a）； 55、点00(,)P x y和椭圆12222?byax（0ab?）的关系 （1）点00(,)P x y在椭圆外?2xx21x yab?； （2）点00(,)P x y在椭圆上?220220byax?1； （3）点00(,)P x y在椭圆内?2xx21x yab?66直线与圆锥曲线的位置关系 （1）相交0?直线与椭圆相交；0?直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0?，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0?是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；0?直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0?，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0?也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。 （2）相切0?直线与椭圆相切；0?直线与双曲线相切；0?直线与抛物线相切； （3）相离0?直线与椭圆相离；0?直线与双曲线相离；0?直线与抛物线相离。 提醒 （11）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形相切和相交。 如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点； （22）过双曲线2222byax?1外一点00(,)P x y的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；P在两条渐近线上但非原点，只有两条一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；P为原点时不存在这样的直线； （33）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点两条切线和一条平行于对称轴的直线。 77、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题20tan|2S bc y?，当0|y b?即P为短轴端点时，maxS的最大值为bc；对于双曲线2tan2?bS?。 如 （11）短轴长为5， 88、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质 （11）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切； （22）设AB为焦点弦，M为准线与x轴的交点，则AMFBMF； （33）设AB为焦点弦，A、B在准线上的射影分别为A1，B1，若P为A1B1的中点，则PAPB； （44）若AO的延长线交准线于C，则BC平行于x轴，反之，若过B点平行于x轴的直线交准线于C点，则A，O，C三点共线。 9、弦长公式若直线y kxb?与圆锥曲线相交于两点A、B，且12,x x分别为A、B的横坐标，则AB2121k x x?，若12,y y分别为A、B的纵坐标，则AB21211y yk?，若弦AB所在直线方程设为x kyb?，则AB2121k y y?。 特别地，焦点弦（过焦点的弦）焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。 抛物线 10、圆锥曲线的中点弦问题遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。 在椭圆12222?byax中，以00(,)P x y为中点的弦所在直线的斜率k=0202y axb；弦所在直线的方程垂直平分线的方程在双曲线22221x yab?中，以00(,)P x y为中点的弦所在直线的斜率k=0202y axb；在抛物线22 (0)y pxp?中，以00(,)P x y为中点的弦所在直线的斜率k=0py。 提醒因为0?是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0?！11了解下列结论 （1）双曲线12222?byax的渐近线方程为02222?byax； （2）以xaby?为渐近线（即与双曲线12222?byax共渐近线）的双曲线方程为?(2222?byax为参数，?0）。 （3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为221mx ny?； （4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为22ba，焦准距（焦点到相应准线的距离）为2bc，抛物线的通径为2p，焦准距为p； （5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦； （6）若抛物线22 (0)y pxp?的焦点弦为AB，1122(,),(,)A xy B xy，则12|AB x xp?；221212,4px xy yp? （7）若OA、OB是过抛物线22 (0)y pxp?顶点O的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定点(2,0)p 12、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容（ （1）给出直线的方向向量?k u,1?或?n mu,?；（ （2）给出OB OA?与AB相交,等于已知OB OA?过AB的中点;（ （3）给出0?PN PM,等于已知P是MN的中点;（ （4）给出?BQ BPAQ AP?,等于已知Q P,与AB的中点三点共线;（ （55）给出以下情形之一AC AB/；存在实数,A B A C?使；若存在实数,1,OC OA OB?且使,等于已知C BA,三点共线.（ （6）给出0?MB MA,等于已知MB MA?,即AMB?是直角,给出0?m MBMA,等于已知AMB?是钝角,给出0?m MBMA,等于已知AMB?是锐角,（ （8）给出MPMBMBMAMA?,等于已知MP是AMB?的平分线/（ （9）在平行四边形ABCD中，给出0)()(?AD AB AD AB，等于已知ABCD是菱形;（ （10）在平行四边形ABCD中，给出|AB AD ABAD?，等于已知ABCD是矩形; （11）在ABC?中，给出222OC OB OA?，等于已知O是ABC?的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）； （12）在ABC?中，给出0?OC OB OA，等于已知O是ABC?的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；（ （13）在ABC?中，给出OA OCOC OBOBOA?，等于已知O是ABC?的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；（ （14）在ABC?中，给出?OA OP()|AB ACABAC?)(?R?等于已知AP通过ABC?的内心；（ （15）在ABC?中，给出,0?OC cOB bOA a等于已知O是ABC?的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）； （16）在ABC?中，给出?12ADABAC?,等于已知AD是ABC?中BC边的中线;（ （3）已知A,B为抛物线x2=2py(p0)上异于原点的两点，0OA OB?，点C坐标为（0，2p） （1）求证A,B,C三点共线； （2）若AMBM?（R?）且0OM AB?试求点M的轨迹方程。 （1）证明设221212(,),(,)22x xAx B xp p，由0OAOB?得2221212120,422x xx x x x ppp?，又222121121(,2),(,)22x x xAC xp ABx xpp?222211121 (2)()022x x xx px xpp?，/AC AB?，即A,B,C三点共线。 （2）由 （1）知直线AB过定点C，又由0OM AB?及AMBM?（R?）知OM?AB，垂足为M，所以点M的轨迹为以OC为直径的圆，除去坐标原点。 即点M的轨迹方程为x2+(y-p)2=p2(x?0，y?0)。 13.圆锥曲线中线段的最值问题例例 1、 (1)抛物线C:y2=4x上一点P到点A(3,42)与到准线的距离和最小,则点P的坐标为_ (2)抛物线C:y2=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小,则点Q的坐标为。 分析 （1）A在抛物线外，如图，连PF，则PF PH?，因而易发现，当A、P、F三点共线时，距离和最小。 （2）B在抛物线内，如图，作QRl交于R，则当B、Q、R三点共线时，距离和最小。 解 （1）（2，2） （2）（1,41）FAPHBQ 1、已知椭圆C1的方程为1422?yx，双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点。 (1)求双曲线C2的方程； (2)若直线l2?kx y与椭圆C1及双曲线C2恒有两个不同的交点，且l与C2的两个交点A和B满足6?OBOA(其中O为原点)，求k的取值范围。 解（）设双曲线C2的方程为12222?byax，则.1,31422222?bcb aa得再由故C2的方程为221.3xy?（II）将.0428)41(1422222?kx x k yxkxy得代入由直线l与椭圆C1恒有两个不同的交点得,0)14 (16)41 (16)28(22221?k k k即21.4k?0926)31(1322222?kx x k yxkxy得代入将.由直线l与双曲线C2恒有两个不同的交点A，B得2222222130,11.3 (62)36 (13)36 (1)0.kk kk k k?即且22629(,),(,),131366, (2) (2)A A B BA BA BA BA BA BA BA BA BkAxyBxy xxxxk kOAOB xxy yx xy y xxkx kx?设则由得而222222 (1)2()2962 (1)22131337.31ABA Bk xxkxxkk kk kkk?22223715136,0.3131kkkk?于是即解此不等式得22131.153kk?或由、得.11513314122?kk或故k的取值范围为13311313(1,)(,)(,)(,1)15322315?在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,-1)，B点在直线y=-3上，M点满足MB/OA，MA?AB=MB?BA，M点的轨迹为曲线C。 （）求C的方程；（）P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值。 ()设M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1).所以MA=（-x,-1-y）,MB=(0,-3-y),AB=(x,-2).再由愿意得知（MA+MB）?AB=0,即（-x,-4-2y）?(x,-2)=0.所以曲线C的方程式为y=14x2-2.()设P(x0,y0)为曲线Cy=14x2-2上一点，因为y=12x,所以l的斜率为12x0因此直线l的方程为0001()2yy xxx?，即xx20xxyy x?。 则O点到l的距离xx0|2|4y xdx?.又xx24yx?，所以20202xx4142 (4)2,244xd xxx?当20x=0时取等号，所以O点到l距离的最小值为2.设双曲线22221x yab?（a0,b0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率等于()设双曲线12222?byax的一条渐近线，则双曲线的离心率为().过椭圆22221x yab?(0ab?)的左焦点1F作x轴的垂线交椭圆于点P，2F为右焦点，若1260FPF?，则椭圆的离心率为已知双曲线)0(12222?bby x的左、右焦点分别是1F、2F，其一条渐近线方程为xy?，点),3(0y P在双曲线上.则1PF2PF()0已知直线?20y kxk?与抛物线2:8C yx?相交于AB、两点，F为C的焦点，若|2|FA FB?，则k?()已知直线1:4360l xy?和直线2:1l x?，抛物线24yx?上一动点P到直线1l和直线2l的距离之和的最小值是（）设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l与抛物线C