八上　13·4　课题学习 最短路径问题.docx

八年级上册课题学习 最短路径问题信阳市七中杜丽1 3、4 课题学习 最短路径问题一、 教学目标：能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变换在解决最值问题中的作用，感悟转化思想。重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间线段最短”问题。难点：让学生经历将实际问题抽象为数学问题的过程，求线段和最小问题，利用轴对称或平移将线段和最小问题转化为“两点之间线段最短”问题解决。二、 教学过程课前互动：今天很高兴与同学们一起来学习这个课题！ 早就听说我们 * * 的孩子能力强，综合素质高，今天我想来见识一下，通过这节课，大家展现一下我们 * * 的风采，好不好！这节课可是有点难度的哦！敢不敢挑战一下！情景导入：寒假期间的诗词大会同学们看了吗，知道武亦姝是谁吗？ 记得她曾说过唐朝诗人李颀古从军行中一句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，它让我立刻想到了这不就是“将军饮马”吗？（一） 探索新知： 精通数学的海伦稍加思索后，利用轴对称的知识，很快回答了这个问题，这个问题就是我们数学史上著名的“将军饮马”问题。 而它，实际就是一个最短距离问题。问：在我们数学上学过的有哪些最短距离的问题？学生答：两点之间线段最短；垂线段最短。问题1. 对于这样的实际问题，我们应该先怎么做？（引导学生把实际问题转化成数学模型问题）A、B两地可以看成两点，河是一条直线L，且A、B两点在直线同侧。我们要找的直线上的一个点需满足AC+BC怎样？（和最小） （展示幻灯片，先出图和题条件，后出问题。） 要解决这个问题，我们先来看当两点在直线异侧时，从A到B的最短路径是什么？（黑板上画图，线段AB，连接即可）当两点在直线同侧时，无论点C在直线什么位置得到的AC+BC都是折线，那么，我们可以利用什么知识把折线变直线？（学生：利用轴结称，找对称点。）展示幻灯片步骤，学生说一步点出一步。问题2. 我们能再证明一下AC+BC和最小吗？引导：既然C是动点，这样的点直线上有多少个？（无数个） 我们可以怎么办？（任取一点C）注意不能与点C重合。问题3：在证明AC+BC最短时，为什么要强调点C与点C不重合，它的作用是什么？（1） 重合没了证明的意义；（2）取的任意点到A、B两点的距离之和都大于AC+BC，那么AC+BC一定是最小的，体现了我们证明的一般性、任意性。现在，我们来总结一下“将军饮马”问题的解决思路：（1） 首先，利用轴对称性质，作出对称图形：（2） 其次，将直线同侧两点转为异侧两点，化折线为直线；（3） 最后，利用“两点之间线段最短”解决问题。有了这个结论，很多问题都可以迎刃而解了，下面我们就来看一个与我们生活有关的问题。（学生在练习本上作图，找到符合要求的点。一名上台作图。）我们学习这类实际问题，最终目的是要解决数学中的最值问题，下面我们就先来小露一手怎样？分析：动点P在AC上，那么点D、E相对AC，是它同侧的点，抽象出基础图形。一般我们是取一点作其对称点或找一点的对称点，这个题我们选哪个方法？图中有现成的一组对称点吗？（提醒学生找一找）答：B、D两点关于AC对称。那么这个问题就立刻转化为求D对称点D于E之间的最短距离，即BE。表扬：做的不错！继续出击，挑战一下自己！让学生仿造上一题的分析思路来讲题，对做对的同学给以鼓励，奖品。（江南无所有，聊赠一支春）（适时小结：挑出图中藏有的对称点）刚才我们解决的都是两点一线的最短距离问题，如果是一点两线我们该如何解决？分析：三角形三条边的长、位置都没确定，周长什么情况下会最小？（折线还是共线时） 利用轴对称使其共线。学生口述作法：（1）分别作定点A关于OM、ON的对称点 A，A； （2）连接AA分别交OM、ON于点B、C； 则点B、C即为所求。 三角形周长AB+BC+AC=AB+BC+AC=AA小结： 求三角形周长最小值时，可以利用轴对称令三边共线。过渡语：生活中除了利用轴对称，还有其他方法求最短路径的吗？前一段中央一台播出了“超级工程”中的建桥工程，连通云贵的北盘江大桥是目前世界第一高桥。这是我国的骄傲，它是我们今天要来研究的第二个问题“造桥选址”。分析：（1）这个实际问题中可以抽象出几点几线？路径AMNB，由哪些线段组成？AM+MN+NB，其中，“MN”为河宽，定值；（2） 要使AMNB最短，只需使哪两段和最小？（AM+NB）（3） 什么时候和会最小？（折线还是直线的时候）这个问题我们还能用轴对称解决吗？多了个什么条件？（定长） 该如何利用这个定长？我们学过的图形变换除了轴对称，还有什么？学生：平移引导：既然桥长是个定值，我们可不可以考虑先把MN平移至某一点处？（相当于从A或B先走一段桥长的距离）与旁边的同学讨论一下。5分钟后反馈讨论结果。白版上展示答案。此题学生有选平移至A点处的，鼓励说完，再展示答案，选择将定长平移至A或B点处都正确，都肯定、奖励。总结“造桥选址”问题的解决思路：（让学生总结）求三段折线和最小，当其中有一段长为定值，可以考虑用图形变换中的平移，也转为“两点之间线段最短”问题解决。同学们今天表现的非常棒，果然名不虚传！能说一下今天你的收获吗？在解决最短路径问题时，我们通常利用图形变换中的轴对称、平移等变化，使问题都转化为可以利用“两点之间线段最短”来解决的问题。轴对称、平移，是我们解决最值问题的常见方法。非常感谢各位同学们的配合！有一段话想送给同学们，请一起大声读出来：（教师寄语：）亲爱的同学们，不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海；骐骥一跃，不能十步；驽马十驾，功在不舍。愿我们都能从小题做起，坚持如初，为实现我们的梦想而努力！ 三、 析书设计： 13、4 最短路径