2019-2020学年高中数学 模块综合检测 北师大版选修2-1.doc

模块综合检测(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1命题“若x21，则1x1”的逆否命题是()a若x21，则x1或x1b若1x1，则x21或x1d若x1或x1，则x21解析：选d命题“若p则q”的逆否命题为“若綈q则綈p”故应选d.2命题p：若ab0，则a与b的夹角为锐角；命题q：若函数f(x)在(，0及(0，)上都是减函数，则f(x)在(，)上是减函数下列说法中正确的是()a“p或q”是真命题b“p或q”是假命题c綈p为假命题 d綈q为假命题解析：选b当ab0时，a与b的夹角为锐角或零度角，命题p是假命题；命题q是假命题，例如f(x)综上可知，“p或q”是假命题，选b.3(2019全国卷)若抛物线y22px(p0)的焦点是椭圆1的一个焦点，则p()a2 b3c4 d8解析：选d抛物线y22px(p0)的焦点坐标为，椭圆1的焦点坐标为(，0)由题意得，解得p0(舍去)或p8.4设a，b为向量，则“|ab|a|b|”是“ab”的()a充分不必要条件 b必要不充分条件c充分必要条件 d既不充分也不必要条件解析：选ca，b为向量，设a与b的夹角为.由|ab|a|b|cos |a|b|从而得|cos |1，cos 1，所以0或，能够推得ab，反之也能够成立，为充分必要条件5.1的一个焦点为f1，点p在椭圆上，如果线段pf1的中点m在y轴上，那么点m的纵坐标为()a b.c. d.解析：选a设f1为椭圆1的左焦点，f2为右焦点，pf1与y轴的交点为m.m是pf1的中点，mopf2，pf2x轴又半焦距c3，设p(x，y)，则x3，代入椭圆方程得1，解得y.m点纵坐标为.6以1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为()a.1b.1c.1 d.1解析：选d双曲线1，即1的焦点为(0，4)，顶点为(0，2)所以对椭圆1而言，a216，c212.b24，因此方程为1.7.已知正四面体abcd中，aeab，cfcd，则直线de和bf夹角的余弦值为()a. b.c d解析：选a设正四面体的棱长为4.正四面体abcd中，相邻两棱夹角为60，对棱互相垂直又，4，|2141613.|，同理|.cos，.8已知抛物线y28x，过点p(3,2)引抛物线的一弦，使它恰在点p处被平分，则这条弦所在的直线l的方程为()a2xy40 b2xy40c2xy40 d2xy40解析：选a设l交抛物线于a(x1，y1)，b(x2，y2)两点，由y8x1，y8x2，两式相减得：得(y1y2)(y1y2)8(x1x2)，又p(3,2)是ab的中点，y1y24，直线l的斜率k2，直线l的方程为2xy40.9正abc与正bcd所在平面垂直，则二面角abdc的正弦值为()a. b.c. d.解析：选c取bc中点o，连接ao，do.建立如图所示坐标系，设bc1，则a，b，d.，.由于为平面bcd的一个法向量，可进一步求出平面abd的一个法向量n(1，1)，cosn，sinn，.10双曲线1(mn0)的离心率为2，它的一个焦点与抛物线y24x的焦点重合，则mn的值为()a. b.c. d.解析：选a抛物线y24x的焦点为f(1,0)，故双曲线1中，m0，n0且mnc21.又双曲线的离心率e 2，联立方程，解得故mn.11在正棱柱abca1b1c1中，aa1ab2，直线ac与平面a1bc的夹角为，平面abc与平面a1bc的夹角为，则与的大小关系是()a bsin .12若点p为共焦点的椭圆c1和双曲线c2的一个交点，f1，f2分别是它们的左、右焦点，设椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，若0，则()a1 b2c3 d4解析：选b设椭圆的方程为1(a1b10)，双曲线的方程为1(a20，b20)，它们的半焦距为c，不妨设p为它们在第一象限的交点，因为0，故|pf1|2|pf2|2|f1f2|24c2.由椭圆和双曲线的定义知，解得|pf1|a1a2，|pf2|a1a2，代入式，得(a1a2)2(a1a2)24c2，即aa2c2，所以2.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上)13命题“存在xr，使2x23ax90”为假命题，则实数a的取值范围是_解析：存在xr,2x23ax90为假命题，任意xr,2x23ax90为真命题，9a24290，即a28，2a2.答案：2，2 14设点o(0,0,0)，a(1，2,3)，b(1,2,3)，c(1,2，3)，若与的夹角为，则cos _.解析：(1，2,3)，(2,0，6)，cos .答案：15已知点a(1，2)在抛物线c：y22px(p0)的准线上，记c的焦点为f，过点f且与x轴垂直的直线与抛物线交于m，n两点，则|mn|_.解析：因为点a(1，2)在抛物线c：y22px(p0)的准线上，所以1，p2，抛物线的方程为y24x，焦点f(1,0)，当x1时，y2，则m(1,2)，n(1，2)或n(1,2)，m(1，2)，所以|mn|2(2)4.答案：416(2019全国卷)已知双曲线c：1(a0，b0)的左、右焦点分别为f1，f2，过f1的直线与c的两条渐近线分别交于a，b两点若，0，则c的离心率为_解析：法一：由，得a为f1b的中点又o为f1f2的中点，oabf2.又0，f1bf290.of2ob，obf2of2b.又f1oabof2，f1oaof2b，bof2of2bobf2，obf2为等边三角形如图所示，不妨设b为.点b在直线yx上，离心率e2.法二：0，f1bf290.在rtf1bf2中，o为f1f2的中点，|of2|ob|c.如图，作bhx轴于h，由l1为双曲线的渐近线，可得，且|bh|2|oh|2|ob|2c2，|bh|b，|oh|a，b(a，b)，f2(c,0)又，a为f1b的中点oaf2b，c2a，离心率e2.答案：2三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知命题p：方程1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：任意xr,4x24mx4m30.若(綈p)且q为真，求m的取值范围解：p真时，m2.q真时，4x24mx4m30在r上恒成立16m216(4m3)0，解得1m3.(綈p)且q为真，p假，q真即1m2.所求m的取值范围为1,218(本小题满分12分)已知抛物线c：y24x，f是抛物线c的焦点，过点f的直线l与c相交于a，b两点，o为坐标原点(1)如果l的斜率为1，求以ab为直径的圆的方程；(2)设|fa|2|bf|，求直线l的方程解：设a(x1，y1)，b(x2，y2)(1)y24x，f(1,0)，又直线l的斜率为1，直线l的方程为yx1，代入y24x，得x26x10，由根与系数的关系得易得ab的中点，即圆心的坐标为(3,2)，又|ab|x1x2p8，圆的半径r4，所求的圆的方程为(x3)2(y2)216.(2)|fa|2|bf|，2，而(x11，y1)，(1x2，y2)，易知直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为yk(x1)，代入y24x，得k2x2(2k24)xk20，由根与系数的关系得x112(1x2)，或k2，直线l的方程为y2(x1)19(本小题满分12分)(2019全国卷)图1是由矩形adeb，rtabc和菱形bfgc组成的一个平面图形，其中ab1，bebf2，fbc60.将其沿ab，bc折起使得be与bf重合，连接dg，如图2.(1)证明：图2中的a，c，g，d四点共面，且平面abc平面bcge；(2)求图2中的二面角b cg a的大小解：(1)证明：由已知得adbe，cgbe，所以adcg，所以ad，cg确定一个平面，从而a，c，g，d四点共面由已知得abbe，abbc，且bebcb，所以ab平面bcge.又因为ab平面abc，所以平面abc平面bcge.(2)作ehbc，垂足为h.因为eh平面bcge，平面bcge平面abc，所以eh平面abc.由已知，菱形bcge的边长为2，ebc60，可求得bh1，eh.以h为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系hxyz，则a(1,1,0)，c(1,0,0)，g(2,0，)， (1,0，)，(2，1,0)设平面acgd的法向量为n(x，y，z)，则即所以可取n(3,6，)又平面bcge的法向量可取m(0,1,0)，所以cosn，m.因此二面角bcga的大小为30.20(本小题满分12分)在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线c：y24x，f为其焦点，点e的坐标为(2,0)，设m为抛物线c上异于顶点的动点，直线mf交抛物线c于另一点n，连接me，ne并延长分别交抛物线c于点p，q.(1)当mnx轴时，求直线pq与x轴交点的坐标；(2)当直线mn，pq的斜率存在且分别记为k1，k2时，求证：k12k2.解：(1)抛物线c：y24x的焦点为f(1,0)当mnx轴时，直线mn的方程为x1.将x1代入抛物线方程y24x，得y2.不妨设m(1,2)，n(1，2)，则直线me的方程为y2x4，由解得x1或x4，于是得p(4，4)同理得q(4,4)，所以直线pq的方程为x4.故直线pq与x轴的交点坐标为(4,0)(2)证明：设直线mn的方程为xmy1，m(x1，y1)，n(x2，y2)，p(x3，y3)，q(x4，y4)，由得y24my40，于是y1y24，从而x1x21.设直线mp的方程为xty2，由得y24ty80.所以y1y38，x1x34.同理y2y48，x2x44.由，得y32y2，x34x2，y42y1，x44x1.从而k2k1，即k12k2.21(本小题满分12分)(2019北京高考)如图，在四棱锥pabcd中，pa平面abcd，adcd，adbc，paadcd2，bc3，e为pd的中点，点f在pc上，且.(1)求证：cd平面pad；(2)求二面角faep的余弦值；(3)设点g在pb上，且.判断直线ag是否在平面aef内，说明理由解：(1)证明：因为pa平面abcd，所以pacd.又因为adcd，paada，所以cd平面pad.(2)过点a作ad的垂线交bc于点m.因为pa平面abcd，所以paam，paad.以a为坐标原点，am，ad，ap所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系axyz，则a(0,0,0)，b(2，1,0)，c(2,2,0)，d(0,2,0)，p(0,0,2)因为e为pd的中点，所以e(0,1,1)所以(0,1,1)， (2,2，2)， (0,0,2)所以，所以.设平面aef的法向量为n(x，y，z)，则即令z1，则y1，x1.于是n(1，1,1). 又因为平面pad的一个法向量为p(1,0,0)，所以cosn，p.由图知，二面角faep为锐角，所以二面角faep的余弦值为.(3)直线ag在平面aef内，理由如下：因为点g在pb上，且，(2，1，2)，所以，所以.由(2)知，平面aef的一个法向量n(1，1,1)，所以n0.所以直线ag在平面aef内22(本小题满分12分)(2019全国卷)已知点a(2,0)，b(2,0)，动点m(x，y)满足直线am与bm的斜率之积为.记m的轨迹为曲线c.(1)求c的方程，并说明c是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交c于p，q两点，点p在第一象限，pex轴，垂足为e，连接qe并延长交c于点g.证明：pqg是直角三角形；求pqg面积的最大值解：(1)由题设得，化简得1(|x|2)，所以c为中心在坐标原点，焦点在x轴上不含长轴端点的椭圆(2)证明：设直线pq的斜率为k，则其方程为yk