习题答案 第3章 静电场及其边值问题的解法

23 第 3 章 静电场及其边值问题的解法 一个半径为 a， 壁厚 d 极薄的肥皂泡对无穷远点的电位为 它破灭时假定全部泡沫集中形成一个球形水滴。试求此水滴（ 无穷远处的电位 0V， a=3d=10 m，则 解 00101010932010333443 6423 203 2000 气中有一半径为 a 的球形电荷分布，已知球体内的电场强度为 2 （ c) 取 r 处为电位参考点，得 33333242 4333: d r : d) 02222 4331: 得证。 01: 24222 得证。 气中有一半径为 a，体电荷密度为 计算该圆柱体内外的电场强度。 解 :a 02 :a 022v 知空气中半径为 a 的圆环上均匀地分布着线电荷，其密度为 l，位于 z=0 平面，试求其轴线上任意点 P（ 0， 0， z）处的电位和电场强度（参看图 意与之不同）。 解 220200 24 24 232202 za l 知空气中半径为 a 的圆盘上均匀地分布着面电荷，其密度为 s，位于 z=0 平面，试求其轴线上任意点 P（ 0， 0， z）处的电位和电场强度（参看图 意与之不同）。 解 sa s 2200 220 22 220 12 s 均匀介质内部任意点处，体束缚电荷密度v总等于该处体自由电荷密度 10 )倍，请证明之。 证 由式 (代入式 (式 ( 1000得证。 知空气中有一导体球，半径为 a，带电量为 Q，其外面套有外半径为 b、介电常数为的介质球壳。试求： a)区域的 D 和 E ； b)介质球壳中的体束缚电荷密度v和其内外表面处的面束缚电荷密度s。 解 a) 202 4,4 b) 1000 20200 414 200 41 行板电容器的宽和长分别为 a、 b，两极板间距为 dba，求其单位长度电容 a=b，则 解 因 dba，按例 样的推导得空间任意点处电位为 210 l 28 双线间电位为 00 故单位长度电容为 若 a=b，则 01 图 a)所示同轴线，其内外导体半径分别为 a、 b，中间充填介电常数分别为21,的二层介质，分界面半径为 c。求： a)二介质区域的电位函数1和2；b)单位长度电容 解 a) 由例 ，二介质区域电场强度分别为 ， 取外导体为零电位，则 121 b) 由例 ，外导体表面线电荷密度为 故单位长度电容为 29 图 b)所示同轴线，其外导体半径分别为 a、 b，10 部分填充介电常数为1的介质，其余部分介电常数为2。求单位长度电容 解 由例 ，二区域的电场强度和其导体表面线电荷密度分别为 ， 12 取外导体为零电位，则 故单位长度电容为 1111211当 01 ，得 1 参看图 导线 1 为电力线，导线 2 为电话线，二者半径均为 a，相距 D，架高 h。设电力线 1 上电压为 求电话线上的感应电压 a=5D=30m，h=12m， （参看例 解 12221122121221 由例 30 故 382 看例 图 图中导体 2 与电缆壳相连，在导体 1、 2 间加电压 120V，求导体 1、 2 上 所带电量。 解 当导体 2 与电缆壳相连， 022C，则导体 1、 2 间工作电容为 03 8 导体 1、 2 上电量分别为 22 限长同轴线内、外导体半径分别为 a、 b，外导体接地，由导体加电压 U。请通过电位方程 02 ，求解内外导体间的电位和电场分布。其单位长度 电容 解 例 求得此题 电场分布，现通过解电位方程来求。已知电位 的边界条件是（参看图 2 0 b 内外导体间任一点的电位 满足拉氏方程： 02 采用柱坐标， 不随 、 z 变化，因而 拉氏方程化为 01 其通解为 31 根据边界条件和积分常数： 故 得 此 结果与例 。 内导体处面电荷密度为 则内导体单位长度线电荷密度为 故单位长度电容为 看例 图 a)，请由电位方程 02 求解二介质层区域的电位和电场强度。 解 两区域之电位分别满足方程 002212即 , 010121将上述方程积分两次分别得到解为 32 根据边界条件确定常数 A、 B、 C 、 D: 221121 ,b; 01, ; ,C 02 则 , 0解得 , 将常数代入 21, 表示式得 : 两区域的电 场强度为 : 33 球形电容器的内、外导体球面半径分别为 a、 b，中间介质的介电常数为 。设内球加电压 球接地。试由电位方程 02 ，求解电容器中的 、 s。 解 因为节点常数均匀 ,为球对称 ,故电位、电场均仅与 r 有关 . 电位满足方程 , 02 , 0122 将方程积分两次 ,得解为： 由边界条件确定常数 A、 B: , 0 , 0 得 , 0000则得 : 020200001 同心导体球半径分别为 a、 b，中间三个区域的 介电常数分别为 1、 2、 3，如 题 图 3示。求中间介质区域的电位函数 和电场强度 E ；此同心球的电容 C=？ 解 仿照由例 举一反三处理，得 3212 2 r 12 321 题图 3充填三种介质的同心球 34 321321 2112 无限长细传输线离地面高 h，线电荷密 度为 l（ C/m），坐标如题图 3示。证明它在导电的地平面上感应的面电荷密度是 )/()( 222 并证明地平面上沿 y 向的线电荷密度为 l（ C/m）。 证明 因为l为无限长细直线 ,故该题是求解二维平面场 : 地平面上面 ,空间任一点的电位为 : 120 2222022220 22222222022224 (伏 /米 )_ 220 hx 地平面上沿 y 向的线电荷密度为 221 22 得证。 限长细传输线半径为 a=2地高 h=10m，地面可视为无限大导体平面，试求其单位长度电容。 解 采用镜像法求该问题 双导线在空间任一点的电位是 : 2200hx 单根传输线的电位 ,当 时 , 题图 3地平面上的线电荷 35 21 地面的电位为零 , 02 单位长度电容 , 0211212 931212 法拉 /公里 ) 导体劈的劈角 =60，如图 b)所示。角域内 x=1,y=1 处有一点电荷 q。请用镜象法求角域内的电位；并算出 x=2， y=1 点的电位值，设 q=0 解 360180 n 512 (1)源电荷位置 : (x1,(1,1), +q 镜象电荷位置 : (x2,( (x3, ( +q (x4,( (x5, ( +q (x6, (1, 角域内任一点 (x,y)处的电位 : 6543210 1111114, 其中 : 6,5,4,3,2,1222 ) 对于 x=2， y=1 点的电位值 11112 221 R 22 R 23 R 24 R 25 R 36 26 R )(130)( 96543210 无限长线电荷的线密度为 l，在它的外面有一以它为轴线的无限长导体圆筒，其内表面半径为 a。求圆筒内任意点的电位和电场强度。 解 采用镜象法求该问题 设镜象线电荷在圆柱外 ,距轴线为 面是等位面 ,则导体壳内任一点 P 的电位为 : 120 若 P 点在导体表面上 ,必须 由相似三角形定理 : on 1 镜象线电荷的位置 . (1) 壳内空间任 一点的电位 : c 2121202120 ,c o 21222 ,c o (2) 壳内任一点的电场强度 : 1 c o o o o dd d c o o dd d 矩形导体管的截面尺寸和四壁的电位如题图 3示。 (a)请证明管内任意点的电位是 s s (12),(3,2,10 ; (b)求管内任意点的电场强度； 000U题图 3矩形导体管 37 (c) 求 x=0 处内壁上的面电荷密度 s|x=0， 管内媒质为空气。 解 (a) 该题为 二维场 ,管内空间电位满足方程 : 02 即 02222 通解为 : s hk xA c hk s 边界条件 : 0,0 y 0, 00, x 0, 由边界条件确定常数 : 由 得 , A=0; 由 得 , C=0, s 由 得 , (n=1,2, ), b n n s 1 n 由得 , 01 s n 上式两边乘从 b0 对 y 积分 ,当 时得 : n 0 02 s 得 , co , (n=1,2,3, ) 管内空间得电位分布是 , s 0 (b) c (c) 在 x=0 处， 38 100000s 上题中 x=a 处导体壁上的电位不是 是下述电位分布： ,)/1(,2/0,/00 其他条件不变，试 证明矩形管内任意点的电位函数是 s (2 25,3,12 0 证 1)电位满足方程 02222 ,022 yx ,02 02 得 , 2) 通解 hk hk s i nc 11110000 3) 由边界条件确定常数 由 , 00 B、 ;01 A 由 , 00 D、 ;01 C hk s 1100 由 , ,000 CA,(n=1,2,3 ), b n n s 1 由 , 01 220 上式两边乘从 b0 对 y 积分 ,当 时 : s 020 00 2 s i ns i ns i 02200 ,2s 2 0 nn n (n=1,3,5, ) 39 得 : s . . ,1220 矩形管的截面尺寸和四壁的电位 如题图 3示，管内媒质为空气。 (a)求管内任意点的电位和 电场强度； (b)求 y=0 处内壁上的面电荷密度 s|y=0。 解 (a) 该题为二维场 ,满足二维拉普拉斯方程 . 边界条件为 : ;0,0 y 00, x ; ;0, 0, (常数 ) 通解 : s hk xA c hk s 由边界条件确定常数 : 根据 得 , A=0; 由 得 , C=0, sh k s 由得， 12 （ n=0， 1， 2，） n 212s 2,0 由得 n n 23s 2s 2, 00 ； 2n+1=3， 1n 0 i 0y00, 矩形 管 40 b yb yb s 3co (b) 在 y=0 处， b s 3330, 00000 无限长矩形导体槽如 题 图 3示， 上板电位为 板电位为零。 求槽中任意点的电位 和电场强度。 解 该题为二维场 ,满足方程 : 02222 边界条件为 : 0,0 z ; 0, 000,0 , 通解为 : s i nc 根据边界条件确定常数 , 由 得 , ;0,0 由得 , ,0,0 s 00 00 , 矩形导体槽 41 由 得 , , ( n=1,2,3, ) 10 s 由 得 : 100102,s s 上式两边乘并在 a0 区间对 y 积分 ,当 时 ,得 : n na n n 02 1020 10 s i ns i ns i ns i ns i n n 002 00 2 s 得 2 (n=2,4,6, ) 该区域的电位为 : s o 6,4,200 s o o , 一长方形导体空腔，边长分别为 a、 b、 c，其边界均为零电位，空腔内充填体电荷，密度为 )()s s 求腔内任意点的电位 （ x,y,z）。 提示： 需满足泊松方程02 v。设 可用三维傅里叶级数表示为 c m n s 代入泊松方程后，利用正弦函数正交性确定系数 42 解 长方体内电位 满足泊松方程02 v 设该方程通解为：c m n s 将 , 代入泊松方程得： c za m n s i ns i ns i ns i ns i 两边乘 c s 从 a0 对 从 b0 对 从 c0 对 三重积分， 根据三角函数正交性，必须 1,1 得 2223021118， （ n=1， 3， 5， 7，） s i i ns i n,5,3,12223020 知在（ x,y,z）空间中， z=0 平面上电位分布为 0 请确定空间中任意点的电位和电场强度。 解 1)边界条件）： 0(1) 2） 方程）： 02222 3) 解式： , X： 取 s o s Z： 取 4) 定常数：因 22xz ， ，故 由（ 1）知， 43 当 z , 0故 0, 0, 从而得 0,s x 0,s x当 z=0，由（ 1）知， s 011 得 故 0,s z 0,s z 得 0,s o z 0,s o z 沿 z 轴方向半无限长导体圆筒 的 半径为 a，该圆筒接地，但在 z=0 处的筒底上加电压 筒内电位和电场强度。 解 1) 0, （） 00, U（） 2） 0122 z3) 解式： , R ：由于轴对称性，圆柱函数必为零阶， n=0,且因区域中包括轴线 00,0 故只有 ，即 44 由于 0, 得 D=0，即 ,zk 4) 定常数： 由 (1)， 00 ,3,2,1,0 i 根，于是 100, 由 (2)， 01 00 为求系数上式两边同乘 由 0 积分至 a: a 0000000 00因 i,0,2 201200000 i 得 A 010 02最后得 0001002, 45 001010 12 0 半径为 a 的无限长导体圆柱外侧包有一层半 径为 b、介电常数为的介质，如题图 3示。 令其外空间外加一均匀电场00 ，取导体 圆柱表面处为电位参考点，求（ 1）区（ 电位函数。 解 区域（ 1）、（ 2）的电位均满足拉氏方程： 01112122 b 011 22222 题图 3包有介质层的导体圆柱 电位通解： 1 11111c o ss 1 22222c o ss b 边界条件： , 2211 0,1 a , 21 ， a 120 ， c o s,002 根据边界条件确定常数： 由 得， 021 由得， 11 46 由得， 022,1 由及三角函数正交性得， 1 解重写为： c o 中， 2 c o b 时， c o sc o c o sc o s 2002 各区域的电位函数为 ： c o c o b 其中： 02022002 020222002 0202 002204 无限长扇形导体柱的三壁均为零电位，但 =a 处壁电位为 题 图 3示。求此扇形域内的电位分 布。 解 1 1) 00, （ 1） 0, （ 2） 0, b （ 3） 0, （ 4） 2） 011222 题 图 3扇形导体柱 3) 解式： F ： 具有 2 周期性，取 s s R ：电位解与 z 无关， 0必有 0k，故取 4) 定常数 ： 47 由（ 1），得 A=0， 由（ 2），得 ,3,2,1,0s in 由（ 3），得 ,0 于是 s 1 将（ 4）式代入上式得 s 为确定上式两边以 从 0 至 积分，有 s 0 0 右边仅当 m=n 时不为零，得 2c o ,114220 n=1,3,5, 最后得 222,5,3,10 限大导体平板由一条细缝分布两块无限大平板，二板电位分别是 0，如题图 3示。试用复位函数法 ，取对数复变函数为变换函数，求出平板上半空间的电位函数和电场强度。 解 令， j 根据物理状态，取 v 为位函数， 即， ， 当 ;0,0 0, U 题 图 3二半无限大平板 48 0 则，电位函 数 0U， 改写成， 0U电场强度 11 00 长轴为 2a 的椭圆导体柱内，在其相距 2c 的二焦点连线处是一极薄的导体片（宽 2c），如 题 图 3用复位函数法，取变换函数 w= 证明此片与椭圆柱面间单位长度电容为 01 2 。 证 取复位函数为 211c o 3椭圆柱电容器 21211111v 为电位函数， u 为通量函数。 设导体片电位为 U，椭圆柱电位为零。当 ,01 ，得 ., 12 令 ,0,11 当 ,0,01 得 11 ,0 当 1 故 u 得证。 用保角变换法再解 。 证 取变换函数 1co s令 v 为电位函数，边界与 1和 2一致， 题 0 u 0 v= v=v2 jv u 49 则 z 平面上的椭圆变换为 w 平面上的直线，如右图所示。矩形区域中电位为 当 ,01 得 B=U； 当 ,0,2 故 22 因 c 1 u s h c h s o sc o s u sh c h s in,c o s 由上二式消去 u，得 vv c 222222 即 22222222 02222242 2222222222224 得 212222222222124 c 在椭圆短半轴（ 0