2019-2020学年天津市河东区高二上学期期中数学试题（解析版）

2019-2020学年天津市河东区高二上学期期中数学试题一、单选题1设是等比数列，下列说法一定正确的是（ ）A成等比数列B成等比数列C成等比数列D成等比数列【答案】D【解析】 项中，故项说法错误；项中，故项说法错误； 项中，故项说法错误；故项中，故项说法正确，故选D.2在等差数列中，且，则（ ）A11B12C13D14【答案】C【解析】由等差数列性质得，即，然后与联立方程组可求得【详解】，等差数列是递增数列由数列是等差数列，得，即，由，（舍去），故选：C【点睛】本题考查等差数列的性质，掌握等差数列的性质是解题基础等差数列中，若，则3若，则以下不等式一定成立的是( )ABCD【答案】C【解析】利用不等式的运算性质分别判断，正确的进行证明，错误的举出反例.【详解】没有确定正负，时，所以不选A；当时，所以不选B；当时，所以不选D；由，不等式成立.故选C.【点睛】本题考查不等式的运算性质，比较法证明不等式，属于基本题.4已知，若，则（ ）A有最小值B有最小值C有最大值D有最大值【答案】A【解析】根据基本不等式的性质，即可求解有最小值，得到答案.【详解】由题意，可知，且，因为，则，即，所以 ，当且仅当时，等号成立，取得最小值，故选：A【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中合理应用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.5已知，则“”是“表示椭圆”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】先要理解椭圆方程的基本形式，再利用两个命题的关系即可得出必要不充分。【详解】当且时，表示圆，充分性不成立；当表示椭圆时，且，必要性成立，所以“”是“表示椭圆”的必要不充分条件，故选B【点睛】本题考查了椭圆方程的基本形式，以及命题之间的关系。6设是首项为，公差为-1的等差数列，为其前n项和，若成等比数列，则=（ ）A2B-2CD【答案】D【解析】把已知用数列的首项和公差表示出来后就可解得，【详解】因为成等比数列，所以，即故选D.【点睛】本题考查等差数列的前项和，考查等比数列的性质，解题方法是基本量法本题属于基础题7椭圆的短轴长为（ ）A2B4C6D12【答案】B【解析】化椭圆方程为标准方程后可求得得短轴长【详解】由题意椭圆的标准方程是，短轴长为故选：B【点睛】本题考查椭圆的标准方程在椭圆中，是长轴长，是短轴长，若焦点在轴上，则标准方程为，若焦点在轴上，则标准方程为8方程，化简的结果是（ ）ABCD【答案】B【解析】由所给方程,可知动点到定点和 距离和是定值,根据椭圆的定义可知其轨迹是椭圆,即可求出椭圆的,进而得到答案.【详解】根据两点间的距离公式可得: 表示点与点的距离,表示点与点的距离.所以原等式化简为因为所以由椭圆的定义可得:点的轨迹是椭圆: 根据椭圆中:,得:所以椭圆的方程为: .故选:B.【点睛】本题考查了由椭圆的几何意义来求椭圆方程,能理解椭圆定义是解本题关键.9下列命题中为真命题的是（ ）ABCD【答案】D【解析】对每个命题进行判断，注意存在命题与全称命题证明方法的不同【详解】，A为假命题；，B为假命题；，当时，C为假命题；恒成立，D为真命题故选：D【点睛】本题考查命题的真假判断存在命题要说明它是假命题必须证明，要证明它是真命题，只要举一例即可，而全称命题要证明它是真命题，必须给出证明，要说明它是假命题，只要举一反例二、填空题10在数列2，8，20，38，62，92中，第6项是_.【答案】92【解析】第一个数是第一项，第二个数是第2项，依次数下去即可【详解】数列中第6个数是92，即为第6项故答案为：92【点睛】本题考查数列的定义，考查数列项的概念属于基础题11不等式的解集为_.【答案】【解析】用因式分解确定相应二次方程的根，得不等式的解集【详解】由得，故答案为：【点睛】本题考查解一元二次不等式，属于基础题解一元二次不等式时一般要把二次项系数化为正数，然后再求解12_.【答案】【解析】由等比数列前项和公式计算【详解】故答案为：【点睛】本题考查等比数列前项和公式，属于基础题13在平面直角坐标系xOy中，分别是椭圆的左、右焦点，椭圆上一点P满足，若三角形为等腰直角三角形，则该椭圆的离心率是_.【答案】【解析】由，三角形为等腰直角三角形，知，化为的等式可得离心率【详解】，且三角形为等腰直角三角形，即，（舍去）故答案为：【点睛】本题考查求椭圆的离心率，关键是列出关于的等式，然后利用转化为的等式，再求得离心率14若命题“”是假命题，则实数a的取值范围是_.【答案】【解析】利用原命题的否定是真命题求解【详解】命题“”是假命题，命题“”是真命题，解得故答案为：【点睛】本题考查由命题的真假求参数取值范围，当一个命题为假命题时，其否定一定是真命题，从真命题角度求解比较容易理解，易得出解题方法15已知，若关于x的不等式的解集中的整数恰有3个，则实数a的取值范围是_.【答案】【解析】首先分析整数只有是不等式的解，然后根据不等式的解集与二次方程根的关系，确定二次方程根的分布，由此可求解.【详解】记题中不等式的解集为，易知，而，因此只有，设方程的两根为，则有，记，此时恒成立，若，（），此时原不等式为，解集为，满足题意，若，则，（），综上的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查解一元二次不等式，解题关键是掌握“三个二次”的关系，即二次方程的解，二次函数图象与一元二次不等式的解集之间存在的联系.本题不等式的解集问题最终转化为二次方程根的分布问题.三、解答题16已知椭圆对称轴为坐标轴，离心率且经过点，求该椭圆的标准方程.【答案】或.【解析】由离心率得，从而可得，按焦点在轴和轴分类设椭圆方程为和，再代入点的坐标后可求解.【详解】依题意，得：，又，即，即，当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆方程为：，点在椭圆上，所以，即，解得：，所以，椭圆方程为：；当椭圆的焦点在y轴上时，设椭圆方程为：，点在椭圆上，所以，即，解得，所以，椭圆方程为：综上：椭圆方程为：或.【点睛】本题考查椭圆的标准方程，在不确定焦点所在位置时，必须分类讨论.当然如果已知椭圆过两点，可设方程为或 ()，代入两点坐标解出，而不必分类设方程.17记为等差数列的前项和，已知， （1）求的通项公式； （2）求，并求的最小值【答案】（1）an=2n9，（2）Sn=n28n，最小值为16【解析】分析：（1）根据等差数列前n项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果，（2）根据等差数列前n项和公式得的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值.详解：（1）设an的公差为d，由题意得3a1+3d=15由a1=7得d=2所以an的通项公式为an=2n9（2）由（1）得Sn=n28n=（n4）216所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为16点睛：数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定义域为正整数集这一限制条件.18已知不等式的解集为或.（1）求实数a，b的值；（2）解不等式.【答案】（1）；（2）答案不唯一，见解析【解析】（1）题意说明是方程的解，代入可得，把代入可求得原不等式的解集，从而得值；（2）因式分解后讨论和6的大小可得不等式的解集.【详解】（1）依题意，得：，解得，所以，不等式为，解得，或，所以，所以，；（2）不等式为：，即，当时，解集为当时，解集为当时，解集为【点睛】本题考查解一元二次不等式，考查一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系，在解含参数的一元二次不等式时要注意分类讨论.19若数列的前项和，且，等比数列的前项和，且.（1）求和的通项公式（2）求数列的前项和.【答案】（1）,；（2）.【解析】（1）根据求解通项公式，同理根据求解的通项公式，都要注意的验证；（2）符合等差乘以等比的形式，用错位相减法完成求和.【详解】（1）由，得：，符合公式，同理：由，推得：，是等比数列，或：（2），是其前项和，两式相减得：【点睛】本题考查求数列的通项以及错位相减法求和，难度一般.（1）当一个数列的通项公式符合：等差等比的形式，此时对数列求和用错位相减法；（2）利用求解通项公式时，一定要记得检验的情况.20已知椭圆的右焦点为，A是椭圆短轴的一个端点，直线AF与椭圆另一交点为B，且.（1）求椭圆方程；（2）若斜率为1的直线l交椭圆于C，D，且CD为底边的等腰三角形的顶点为，求的值.【答案】（1）；（2）0【解析】（1）右焦点为，则，设，由可得点坐标（用表示），代入椭圆方程可解得；（2）直线l方程，直线方程与椭圆方程联立后可得（注意），中点为，由可求得（满足），然后计算的值.【详解】（1）右焦点为，设,，A是椭圆短轴的一个端点，直线AF与椭圆另一交点为B，且.