2010GCT串讲-初等数学讲义-扈志明(带答案).pdf

初等数学 Created by Hu Zhiming Page 1 of 61 1 一般复习过程 了解考试要求 复习考试内容 熟悉试题类型 掌握应试技巧 第一部分 算术 内容综述 1 数的概念 整数 分数 小数 百分数等等 2 数的运算 1 整数的四则运算 2 小数的四则运算 3 分数的四则运算 3 数的整除 整除 m l k m n 倍数 约数 奇数 偶数 质 素 数 合数 质因数 公倍数 最小公倍数 11 1 1 mnnm m n m n 公约数 最大公约数 互质数 最简分数 4 比和比例 比例 d c b a 正比例关系 k b a 反比例关系等kab 典型例题 一 算术平均数 平均值 问题 例 某书店二月份出售图书 3654 册 比一月份多出售 216 册 比三月份少出售 714 册 第 二季度的出售量是第一季度出售量的5 1倍 求书店上半年平均每月出售图书多少册 分析 4775 6 71421636543 2 5 6 7143654 3654 2163654 2 3 7143654 3654 2163654 又如前 10 个偶数 奇数 素数 合数等的平均值问题 二 植树问题 1 全兴大街全长 1380 米 计划在大街两旁每隔 12 米栽一棵梧桐树 两端都栽 求共栽 梧桐多少棵 分析 232 1 12 1380 2 2 将一边长为 2 米的正方形木板沿其边用钉子固定在墙上 为了安全 钉子的间距不能 超过 30 厘米 且四角必须固定 求需要的最少钉子数 分析 根据要求 每边至少需要 7 个空 所以至少需要2874 个钉子 三 运动问题 1 相遇与追及问题 vts 2121 vvvvvv 21 sss 例 某部队以每分钟 100 米的速度夜行军 在队尾的首长让通信员以 3 倍于行军的速度将一 命令传到部队的排头 并立即返回队尾 已知通信员从出发到返回队尾 共用了 9 分钟 求 行军部队队列的长度 分析 设队伍长度为 l 则 初等数学 Created by Hu Zhiming Page 2 of 61 2 9 100300100300 ll 解得 1200 l 2 顺流而下与逆流而上问题 例 两个码头相距 352 千米 一艘客轮顺流而下行完全程需要 11 小时 逆流而上行完全程 需要 16 小时 求此客轮的航速与这条河的水流速度 分析 因为 16 352 11 352 水水 vvvv 所以 22 32 水 水 vv vv 解得 5 27 水 vv 3 列车过桥与通过隧道问题 例 一列火车全长 270 米 每秒行驶 18 米 全车通过一条隧道需要 50 秒 求这条隧道的长 分析 设隧道长为 l 则 5018270 l 所以 630 l 四 分数与百分数应用问题 例 某工厂二月份产值比一月份的增加 0 0 10 三月份比二月份的减少 0 0 10 那么 A 三月份与一月份产值相等 B 一月份比三月份产值多 99 1 C 一月份比三月份产值少 99 1 D 一月份比三月份产值多 100 1 分析 设一月份的产值为 a 则三月份的产值为 a99 0 所以一月份比三月份产值多 99 1 99 0 99 0 a aa 五 简单方程 组 应用问题 1 比和比例应用题 例 1 有东西两个粮库 如果从东库取出 5 1 放入西库 东库存粮的吨数是西库存粮吨数的 2 1 已知东库原来存粮 5000 吨 求西库原来的存粮数 分析 设西库原来的存粮数为 x 则 5 5000 2 1 5 5000 5000 x 所以 7000 x 例 2 一件工程 甲独做 30 天可以完成 乙独做 20 天可以完成 甲先做了若干天后 由乙 接着做 这样甲 乙二人合起来共做了 22 天 问甲 乙两人各做了多少天 分析 设甲 乙两人分别做了x天和y天 根据题意得 1 20 1 30 1 22 yx yx 初等数学 Created by Hu Zhiming Page 3 of 61 3 解得 16 6 yx 2 求单位量与求总量的问题 例 搬运一堆渣土 原计划用 8 辆相同型号的卡车 15 天可以完成 实际搬运 6 天后 有两 辆卡车被调走 求余下的渣土还需要几天才能运完 分析 设要运完余下的渣土还需要x天 则 x 28 68158 所以 12 x 3 和倍 差倍与和差问题 例 把 324 分为 A B C D 四个数 如果 A 数加上 2 B 数减去 2 C 数乘以 2 D 数除以 2 之 后得到的四个数相等 求这四个数各是多少 分析 根据题意得 2 1 222 324 DCBA DCBA 解得 144 36 74 70 DCBA 样题与真题 一 数的概念与运算 一 概念与性质 1 2003 记不超过 10 的质数的算术平均数为M 则与M最接近的整数是 A 2 B 3 C 4 D 5 答 C 分析 本题主要考查了质数的概念及加法与乘法运算 由于不超过 10 的质数只有四个 即7 5 3 2 它们的算术平均数为 M25 4 4 7532 所以与M最接近的整数是4 故正确选项为 C 2 样题 某人左右两手分别握了若干颗石子 若其左手中的石子数乘以3加上其右手中的 石子数乘以4的和为29 则此人左手中的石子数是奇数 还是偶数 A 奇数 B 偶数 C 无法确定 D 无石子 答 A 分析 本题主要考查了奇数 偶数的运算性质 设此人左手中的石子数为x 右手中的石子数为y 根据题中条件可知 2943 yx 即 yx4293 由于y4是偶数 所以x3是奇数 从而x也必是奇数 故正确选项为 A 3 2003 EDCBA 五支篮球队相互进行循环赛 现已知A队已赛过 4 场 B队已赛 初等数学 Created by Hu Zhiming Page 4 of 61 4 过 3 场 C队已赛过 2 场 D队已赛过 1 场 则此时E队已赛过 A 1 场 B 2 场 C 3 场 D 4 场 答 B 分析 本题是 2004 年的一道考题 主要考查了奇偶数的运算性质及选择题的排除解法 由于EDCBA 五支队总的比赛场次一定是 2 的倍数 即为偶数 已知DCBA 四 队的比赛场次之和为101234 所以E队的比赛场次只能是偶数 这样就排除了选 项 A C 又因为D队只赛一场且已与A队赛完 所以E队的比赛场次不能是 4 这样选项 D 也被排除 故正确选项为 B 注 本题也可用列赛程表的方式求解 4 2004 在一条长 3600 米的公路一边 从一端开始等距竖立电线杆 每隔 40 米原已挖 好一个坑 现改为每隔 60 米立一根电线杆 则需重新挖坑和填坑的个数分别是 A 50 和 40 B 40 和 50 C 60 和 30 D 30 和 60 答 D 分析 本题是 2004 年的一道考题 考查的是植树问题的处理方法及最小公倍数问题 由于 40 和 60 的最小公倍数是 120 故只要弄清开始的 120 米长的范围内的情况便可 而 在开始的 120 米的距离内需在 60 米的位置挖一个新坑和填掉在 40 米与 80 米位置上的两个 旧坑 所以在 3600 米的公路一边需重新挖坑和填坑的个数分别是301 120 3600 和 602 120 3600 故正确选项为 D 5 2009 若将正偶数2 4 6 8 10 12 14 16 依次排成一行 246810121416 则从左向右数的第101个数码是 A 1 B 2 C 3 D 4 分析 本题是算术题 考查了奇偶数的概念 前一百个正整数中有五十个偶数 其中一位数字四个 三位数字一个 两位数字四十五 个 将它们按要求排成一行共有97位 所以后面几位应是102104 故第101个数码是1 正确选项为 A 二 分数运算 1 样题 方程 0 1 2 1 2 1 1 2 xx x 的根的个数为 A 0 B 1 C 2 D 3 答 A 分析 本题主要考查了方程根的概念及分数的加减运算 由 于0 1 3 1 1 2 1 21 1 2 1 2 1 1 222 xx xx xx x 所 以 方 程 0 1 2 1 2 1 1 2 xx x 没有解 即其根的个数为0 故正确选项为 A 初等数学 Created by Hu Zhiming Page 5 of 61 5 2 样题 设mba 均为大于零的实数 且 ab 则 A mb ma b a B b a mb ma 即 mb ma b a 法 2 由于 mb ma 与 b a 都大于零 且 amab bmab a b mb ma 所以在题中条件下有 1 a b mb ma 即 mb ma b a 法 3 考虑函数 xb ba xb xa xf 1 由于0 2 xb ab xf 所以函数 xf在 0 上是单调递增的 故 0 fmf 即 mb ma b a 注 如果仅仅需要判断选项 A B C 特殊值代入式最有效的方法 如取2 1 1 bam 则mba 满足题中条件 且 2 1 3 2 b a mb ma 这时谁大谁小就一目了然了 3 2003 已知 2004 2003 2003 2002 2002 2001 cba 则 A cba B acb C bac D abc 答 D 分析 本题是 2003 年的一个考题 主要考查了数的简单运算及判断两个数大小的常用方法 法 1 由于1 12002 2002 12002 12002 2002 20032001 2002 2 222 a b 所以ab 类似 地可以得到bc 法 2 考虑函数 xx x xf 1 1 1 可知 xf在 0 是单调递增函数 故 2004 2003 2002 fff 4 2004 设cba 均为正数 若 ac b cb a ba c 则 A bac B acb C cba D abc 所以 初等数学 Created by Hu Zhiming Page 6 of 61 6 0 22 cbba cacba cbba cabcaca cbba ccbaba ba c cb a 在题中条件下可知 ca 同样地 利用 ac b cb a 综上可知bac 故正确选项为 A 注 本题作为选择题还有一个简便的解法 因为四个选项中有且仅有一个正确选项 所以我 们只要看看哪个选项中的大小关系能够满足题干中的不等关系便可 在选项 A 中 由于 bac 故正分数 ac b cb a ba c 的分子依次增大 而分母依次减小 所以 ac b cb a ba c 故正确选项为 A 5 2008 2 5 9 7 5 3 c d c b b a 则 d a A 75 14 B 75 14 C 14 75 D 14 75 分析 本题是算术题 主要考查分数的乘除运算 因为 375 592 abd bcc 所以 37214 59575 aa b c db c d 故正确选项为 A 三 比与百分数 1 2003 某工厂二月份产值比一月份的增加 0 0 10 三月份比二月份的减少 0 0 10 那么 A 三月份与一月份产值相等 B 一月份比三月份产值多 99 1 C 一月份比三月份产值少 99 1 D 一月份比三月份产值多 100 1 答 B 分析 本题是 2003 年的一道考题 主要考查了百分比的概念及数的简单运算 设一月份的产值为 a 则二月份的产值为aaa1 110 0 0 三月份的产值为 aaa99 0101 11 1 0 0 所以一月份的产值比三月份的产值多 99 1 99 0 99 0 a aa 故正确选项为 B 2 2004 甲 乙两种茶叶以yx 重量比 混合配制成一种成品茶 甲种茶每斤 50 元 乙种每斤 40 元 现甲种茶价格上涨 10 乙种茶价格下降 10 后 成品茶的价格恰好 仍保持不变 则yx 等于 A 1 1 B 5 4 C 4 5 D 5 6 答 C 分析 本题是 2004 年的一道考题 主要考查了两个数之比与百分数的概念及处理简单应用 初等数学 Created by Hu Zhiming Page 7 of 61 7 问题的方法 在甲 乙两种茶的价格变化前后每斤成品茶的价格分别为yx4050 元 和 yx 104040 105050 0 0 0 0 元 根据题意可知 yxyx 1 04040 1 05050 4050 解得 5 4 y x 故正确选项为 C 3 2005 2005 年 我国甲省人口是全国人口的c 其生产总值占国内生产总值的d 乙省人口是全国人口的e 其生产总值占国内生产总值的f 则 2005 年甲省人均生产总 值与乙省人均生产总值之比是 A cd ef B ce df C cf de D de cf 分析 设全国人口为 p 国内生产总值为 h 则甲省人均生产总值为 cp dh 乙省人均生产总 值为 ep fh 所以甲省人均生产总值与乙省人均生产总值之比是 cf de 即正确选项为 D 4 2006 某型号的变速自行车主动轴有 3 个同轴的齿轮 齿数分别为 48 36 和 24 后轴 上有 4 个同轴的齿轮 齿数分别是 36 24 16 和 12 则这种自行车共可获得 种不 同的变速比 A 8 B 9 C 10 D 12 答 A 分析 本题是算术题 考查两个数的比的大小 由于 16 24 24 36 24 24 36 36 12 24 24 48 12 36 16 48 所以这种自行车共可获得8412 种不同的 变速比 5 2006 一个容积为 10 升的量杯盛满纯酒精 第一次倒出a升酒精后 用水将量杯注满 并搅拌均匀 第二次仍倒出a升溶液后 再用水将量杯注满并搅拌均匀 此时量杯中的酒精 溶液浓度为 49 则每次的倒出量a为 升 A 2 55 B 3 C 2 45 D 4 答 B 分析 本题是算术题 考查比与百分数 根据题意 49 0 10 10 10 10 a a a 即49 10 2 a 解得3 a 6 2007 图中 大长方形被平行于边的直线分成了 9 个小长方形 其中位于在角上的 3 个长方形的面积已经标出 则第 4 个 角上的小长方形面积等于 B 初等数学 Created by Hu Zhiming Page 8 of 61 8 A 22 B 20 C 18 D 11 25 题 6 图 分析 这是算术 几何综合题 考查平移变换 长方形面积 比例计算 设第 4 个角上的小长方形面积为x 将这四个角上的 4 个小长方形平移拼在一起 显然有比 例关系式 915 12x 解得 20 x 解法 2 如图 由于 4 3 12 9 5 3 15 9 c a d b 所以 20 9 cd ab 又9 ab 所以20 cd 故选 B 7 2008 把浓度为 50 的酒精溶液 90 千克全部稀释为 30 的酒精溶液 需要加水 千克 A 60 B 70 C 85 D 105 分析 本题是算术题 主要考查了百分数的概念和运算 设需要加水x千克 则根据题意可知 00 00 90 50 90 30 x 解得60 x 故正 确选项为 A 四 表达式求值 1 2003 11 1 1 11 1 1 i i i i i A 10 B 11 C 12 D 13 答 B 分析 本题是 2003 年的一道考题 主要考查了对数学运算符号的了解及一些常用的简单公 式 因为66 111 11 2 1 1110987654321 11 1 i i 6 11 109 87 65 43 21 1110987654321 1 11 1 1 i i i a b c d 9 12 15 初等数学 Created by Hu Zhiming Page 9 of 61 9 所以11 6 66 1 11 1 1 11 1 i i i i i 故正确选项为 B 2 2004 设nS n n 1 1 4321 则 20052004 SS A 2 B 1 C 0 D 1 答 B 分析 本题是 2004 年的一道考题 考查的知识点与上一例题相同 只是更强调了问题的一 般性 由于1002 20042003 43 21 2004 S 2005 20042005 SS 所以12005 1002 220052 200420052004 SSS 故正确选项为 B 3 2005 1111 1 1 1 1 2349 0 1 0 20 30 9 的值是 A 2 81 B 2 9 C 9 2 D 81 2 分析 分子 9 1 9 8 8 7 7 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 分母 2 9 10 987654321 所以正 确选项为 A 4 2006 111111 11223344556677 248163264 C A 15 30816 B 31 308 32 C 63 308 64 D 127 308 128 分析 本题是算术题 考查拆项分组的数字计算方法 等差数列 等比数列的求和公式 解 1 111111 11223344556677 248163264 111111 11223344556677 248163264 6 1 1 1177 7163632 308308 1 226464 1 2 解 2 考虑到选择题特点 该备选答案中整数部分相同 分数部分不相同 因此只须计算各 项的分数部分之和 即 11111163 24816326464 由此可知选 C 初等数学 Created by Hu Zhiming Page 10 of 61 10 5 2007 2222222222 01234567 12345678910 22222222 的值是 B A 11 51 B 11 51 C 22 51 D 22 51 分析 本题是算术题 考查拆项分组的数字计算方法 等差数列 等比数列求和公式 因为 22 1 2121kkkk 所以 2222222222 01234567 12 34 56 78 910 22222222 8 37 11 15 195511 2125551 6 2008 请你想好一个数 将它加 5 将其结果乘以 2 再减去 4 将其结果除以 2 再 减去你想好的那个数 最后的结果等于 A 2 1 B 1 C 2 3 D 3 分析 本题是算术题 主要考查了数的四则运算的概念 设所想的数为x 则根据题意的 2 5 4 5 23 2 x xxx 故正确选项为 D 7 2009 2 2010 2008 1 1 3579 11 13 A 41 B 49 C 1681 D 2401 分析 本题是算术题 考查简单算术表达式求值问题 本题中的知识点与处理方法已考过 多次 22 2 2 2010 2008 1 2009 1 2009 1 1 1 3579 11 13 7 7 2009 41 1681 49 正确选项为 C 二 简单应用问题 一 算术平均数 平均值 问题 1 样题 张某以51 10元 股的价格买进股票20手 又以8 9元 股买进30手 又以47 11 元 股买进50手 他要不赔钱 至少要卖到每股 元 1手 100股 A 98 9 B 32 10 C 78 10 D 02 11 答 C 分析 本题主要考查了几个数的加权平均数的概念及数的运算 由于张某每股股票的平均购进价格是 78 10777 10 503020 5047 11308 92051 10 元 初等数学 Created by Hu Zhiming Page 11 of 61 11 所以如果他不想赔钱 他的抛出价格至少是每股 10 78 元 故正确选项为 C 2 2008 五个不同的数 两两之和依次等于 3 4 5 6 7 8 11 12 13 15 这 五个数的平均值是 A 18 8 B 8 4 C 5 6 D 4 2 分析 本题主要考查了分组问题及平均数的概念与计算 根据题意可知所求的平均值为 1345678 11 12 13 15 4 2 45 故正确 选项为 D 注 设 5 个不同数分别为 a b c d e 则 345678 11 12 13 15 abacadae bcbdbe cdce de 二 植树问题 1 2003 1000 米大道两侧从起点到终点每隔 50 米安装一盏路灯 相邻路灯间安装一面广 告牌 这样共需要 A 路灯 40 盏 广告牌 40 面 B 路灯 42 盏 广告牌 40 面 C 路灯 42 盏 广告牌 42 面 D 路灯 40 盏 广告牌 42 面 答 B 分析 本题是 2003 年的一道考题 主要考查了简单植树问题的处理方法 根 据 题 意 可 知 共 需 路 灯 的 盏 数 为42 1 50 1000 2 共 需 广 告 牌 的 面 数 为 40 50 1000 2 故正确选项为 B 2 2008 假设地球有两颗卫星 A B 在各自固定的轨道上绕地球运行 卫生 A 绕地球一 周用 5 4 1小时 每经过 144 小时 卫星 A 比卫星 B 多绕地球 35 周 卫星 B 绕地球一周用 A 3 1 2 B 3 2 2 C 5 1 3 D 5 3 3 分析 本题是算术题 表面上是运动问题 实质上植树问题 卫星 A 绕地球一周用时1 8小时 144小时绕地球 144 80 1 8 周 所以卫星 B 144小 时绕地球803545 周 每周用时 144 3 2 45 小时 故正确选项为 C 三 运动问题 1 2004 在一条公路上 汽车 A B C 分别以每小时 80 70 50 公里的速度匀速行 驶 汽车 A 从甲站开向乙站 同时车 B 车 C 从乙站出发与车 A 相向而行开往甲站 途中 车 A 与车 B 相遇两小时后再与车 C 相遇 那么甲乙两站相距 A 2010 公里 B 2005 公里 C 1690 公里 D 1950 公里 答 D 分析 本题是 2004 年的一道考题 考查了运动物体在相遇过程中的距离 速度 时间的关 初等数学 Created by Hu Zhiming Page 12 of 61 12 系 设甲乙两站相距l公里 则 A B 两车从开始行驶到相遇所用的时间为 7080 l 小时 而 A C 两车从开始行驶到相遇所用的时间为 5080 l 小时 根据题意可知 5080 2 7080 ll 解得 1950 l 公里 故正确选项为 D 2 2007 甲乙两人沿同一路线骑车 匀速 从A区到B区 甲要用30分钟 乙要用40分钟 如 果乙比甲早出发 5 分钟去 B 区 则甲出发后 分钟可以追上乙 A 10 B 15 C 20 D 25 答 B 分析 设由A区到B区的路程为 1 则甲每分钟走全程的 1 30 乙每分钟走全程的 1 40 甲每分钟比乙多走 111 3040120 乙比甲先出发 5 分钟 则乙已走了全程的 11 5 408 因此 甲追上乙需要用 11 15 8120 分钟 3 2008 某人从家到工厂的路程为d米 有一天 他从家去工厂 先以每分钟a米的速 度走了 2 d 米后 他加快了速度 以每分钟b米的速度走完了剩下的路程 记该人在t分 钟走过的路程为 ts米 那么函数 tss 的图象是 分析 本题主要是算术题 考查了运动距离 速度和时间的关系 由于走过的距离随着时间的增加应该增大 所以正确选项不可能是选项 A B 在选项 C D 中 选项 C 表示的是走了 2 d 后速度变慢的情形 故正确选项为 D 注 由导数的物理意义与几何意义可直接得到正确选项 4 2009 甲 乙两车分别从 A B两地同时相向开出 甲车的速度是50千米 时 乙车的 速度是40千米 时 当甲车驶到 A B两地路程的 1 3 再前行50千米时与乙车相遇 A B两 地的路程是 千米 A 225 B 220 C 215 D 210 分析 本题是算术题 考查了简单应用问题 运动中的相遇问题 初等数学 Created by Hu Zhiming Page 13 of 61 13 设两地的距离是x千米 根据题意得 2 5050 33 5040 xx 解得225x 正确选项为 A 四 求单位量与求总量的问题 1 2004 某校有若干女生住校 若每间房住 4 人 则还剩 20 人未住下 若每间住 8 人 则仅有 间未住满 那么该校有女生宿舍的房间数为 A 4 B 5 C 6 D 7 答 C 分析 本题是 2004 年的一个考题 也是一个单位量与总量的问题 考查的主要是每种住宿 方案下住下的人数与总人数之间的关系 设该校有女生宿舍的房间数为x 则该校的女生人数是204 x 每间住 8 人没有住满 说明xx8204 而只有一间没住满则意味着204 1 8 xx 由不等式xx8204x 由不等式204 1 8 xx得7 x 考虑到x是整数得6 x 故正确选项为 C 注 本题也可利用选项验证的方法处理 若只有4间女生宿舍 则女生人数是36人 每间 8 人不可能住下 故选项 A 错误 若只有 5 间女生宿舍 则女生人数是 40 人 每间 8 人恰 好住满 说明选项 B 错误 当有 6 间女生宿舍时 女生人数是 44 人 这时每间 8 人 5 间住 不下 6 间住不满 符合题意 故正确选项为 C 2 2005 某项工程 8 个人用 35 天完成了全工程量的 1 3 如果再增加 6 个人 那么完成剩 余的工程还需要的天数是 A 18 B 35 C 40 D 60 分析 设完成剩余的工程还需要的天数是x 则x 68 2 1 358 故40 x 即正确选 项为 C 五 和倍 差倍与和差问题 年龄问题 样题 小明今年一家四口人 全家年龄之和为69岁 父亲比母亲大一岁 姐姐比小 明大两岁 四年前全家年龄之和为54岁 则父亲今年多少岁 A 28 B 29 C 30 D 31 答 D 69 1 2 yyxx 六 其他问题 1 样题 设直线方程 0 abbaxy 且x的截距是y的截距的 2 倍 则a与 2 1 谁 大 C A a B 2 1 C 一样大 D 无法确定 分析 因为b a b 2 所以 2 1 a 初等数学 Created by Hu Zhiming Page 14 of 61 14 2 相同表面积的立方体和球 谁的体积大 B A 前者 B 后者 C 一样大 D 无法确定 分析 首先可由常识性结论可导正确选项 或由特殊值代入法处理 由 22 64aR 取3R 则2a 所以 33 4 22 43 3 aR 而 23 42 3 3 2006 100 个学生中 88 人有手机 76 人有电脑 其中有手机没电脑的共 15 人 则 100 个学生中有电脑但没手机的共有 D 人 A 25 B 15 C 5 D 3 分析 本题也基本上是算术题 考查简单逻辑知识 集合的概念 解 1 看作通常的算术题 利用一般的逻辑 数量关系可知 这 100 人中 有电脑的 76 人 因此 没有电脑的有1007624 人 这 100 人中 有手机的 88 人 因此 没有手机的有1008812 人 今己知 在没有电脑的 24 人中 有 15 个人有手机 因此 既没手机又没电脑的只有 24 159 人 从而可知 在 12 个没有手机的人中 有电脑的共有1293 人 解 2 看作通常的代数方程题 设有电脑但没手机的共有x人 因此 有电脑也有手机的人 数 7688 15x 解得3x 人 解 3 根据题意 既有电脑又有手机的人数为731588 所以有电脑但没有手机的人 数是37376 第二部分 代数 内容综述 一 数和代数式 1 实数的运算 1 乘方与开方 乘积与分式的方根 根式的乘方与化简 xyyxxxxyx y x yxyx aabaaba a a aaa 2 绝对值aaababa aa a aa a 0 0 0 0 2 复数的运算及其几何意义 虚数单位 实部 虚部 共轭复数 模 幅角 2 1i ibaz zaib 22 baz a b tan ba 初等数学 Created by Hu Zhiming Page 15 of 61 15 212121222111 bbiaazzibazibaz biaz biaz 1111 sincos izz 2222 sincos izz sin cos 21212121 izzzz sin cos 2121 2 1 2 1 i z z z z 1 0 zz 3 几个常用公式 和与差的平方 和与差的立方 平方差 立方和 立方差等 222 2 bababa 32233 33 babbaaba 32233 33 babbaaba 22 bababa 2233 babababa 2233 babababa 1 2 1 321 nnn 二 集合与函数 微积分 1 集合运算 交集 并集 补集 全集 运算律 摩根律 BABACABACBA CBACBAACABABA I 2 函数 1 概念 定义 两要素 图形 反函数 Dxxfyyx 1 xfy 2 简单性质 有界性 单调性 奇偶性 周期性 xfxxfxxfxxfxxfx a T xgb a T xafTbaxfbaxfxg 3 幂函数 指数函数 对数函数 含义 性质 常用公式 xyxyxyayxy a xa ln lg log a x yxyxyx y x yxxy b b a y log log log lnln lnlnln lnlnln 三 代数方程 1 二元一次方程组解的存在性 111 222 a xb yc a xb yc 初等数学 Created by Hu Zhiming Page 16 of 61 16 当 11 22 ab ab 时 有唯一解 当 111 222 abc abc 时 无解 当 111 222 abc abc 时 无穷多解 2 一元二次方程 1 求根公式 判别式 2 根与系数的关系 0 2 cbxax acb4 2 a c xx a b xx a acbb x 2121 2 2 4 3 二次函数的图像 开口 对称轴 顶点坐标 a bac a b xacbxaxy 4 4 2 2 22 四 不等式 1 不等式的基本性质及基本不等式 算术平均数与几何平均数 绝对值不等式 性质 0 0 kbkakbakbkakba cbdadbcadcba 基本不等式 abba 2 1 baba 2 几种常见不等式的解法 绝对值不等式 一元二次不等式 分式不等式 指数不等式 对数不等式等 0 2 cbxax 0 a axfaxfaxf 0 五 数列 1 数列的概念 数列 通项 前n项的和 各项的和 数列与数集的区别 21n aaa n k knn aaaaS 1 21 2 等差数列 1 概念 定义 通项 前n项的和 2 简单性质 中项公式 平均值 2 1 2 1 2 1 1 1 21 111 n n nknkn nnnnn aa n aaa aaa dnnnaSdnaadaaa 3 等比数列 1 概念 定义 通项 前n项的和 2 简单性质 中项公式 2 1 1 1 1 1 1 0 nknkn n n n n n n nn aaa q q aSqaaq a a aa 六 排列 组合 二项式定理 1 分类求和原理与分步求积原理 2 排列与排列数 初等数学 Created by Hu Zhiming Page 17 of 61 17 1 定义 2 公式 1 2 1 mnnnnPm n 注 阶乘 全排列 mPm m 3 组合与组合数 1 定义 2 公式 m m m nm n m m m n m n P P CPCP 3 基本性质 0 2 n mn mkn nnn k CCC 4 二项式定理 n k knkk n n baCba 0 七 古典概率问题 1 基本概念 必然事件 不可能事件 和事件 积事件 互不相容事件 对立事件 2 概率的概念与性质 1 定义 非负性 规范性 可加性 2 性质 1 0 AP 0 P BAPBPAPBAP 3 几种特殊事件发生的概率 1 等可能事件 古典概型 n m AP 2 互不相容事件 BPAPBAP 对立事件 1 BPAP 3 相互独立事件 BPAPBAP 4 独立重复试验 如果在一次试验中某事件发生的概率为p 那么在n此独立重复试验中这个事件恰好 发生k次的概率为 knkk nn ppCkP 1 典型例题 一 数和代数式 1 若Cz 且122 iz 则iz22 的最小值是 B A 2 B 3 C 4 D 5 分析 1 22 22 iziz表示复数 z对应的点在以点 2 2 为圆心 半径是1的圆 周上 22 22iziz 最小 是指复 初等数学 Created by Hu Zhiming Page 18 of 61 18 数z对应的点到点 2 2 的距离最短 此最短距离为3 2 如果 1 x整除1 223 axxax 则实数 a D A 0 B 1 C 2 D 2 或1 分析 1 x能够整除1 223 axxax说明 1 x是1 223 axxax的一个因子 因此当1 x时 1 223 axxax的值应为0 即 011 2 aa 解得 2 a或 a1 二 集合和函数 1 设 xf是周期为2的偶函数 且在 1 0 上单调递减 则 2 1 2 1 fff 的大小关 系是 A 2 1 2 1 fff B 2 2 1 1 fff C 1 2 2 1 fff C 2 1 2 1 fff 答 B 分析 本题考查了函数单调性 奇偶性及周期性的概念与性质 因为函数 xf在 1 0 上单调递减 所以 0 2 1 1 fff 又因为 xf是周期为 2的偶函数 所以 0 2 2 1 2 1 ffff 从而 2 2 1 1 fff 故正确选 项为 B 注 本题利用数形结合的方法会更简单 2 设 xf是定义在 上的奇函数 且当0 x时 2 xxxf 则当0 x时 xf A 2 xx B 2 xx C xx 2 D 2 xx 答 A 分析 本题主要考查了奇函数的概念与性质 当0 x时 根据奇函数的概念可知 22 xxxxxfxf 故正确选项为 A 注 因为奇函数的图像关于原点对称 利用选项验证法 只要画一画 2 xxxfy 和 2 xxy 的图像就可以了 初等数学 Created by Hu Zhiming Page 19 of 61 19 注 特殊值代入法 3 已知0 a 函数dcxbxaxxf 23 的图像关于原点对称的充分必要条件是 D A 0 b B 0 c C 0 d D 0 db 分析 函数dcxbxaxxf 23 的图像关于原点对称的充分必要条件是函数 xf为 奇函数 故其偶次项的系数为0 即0 db 注 也可利用 1 1 0 0 ff f 求得0 db 再说明当0 db时 xfy 的图像关 于原点对称 4 设0 0 ba 且abba7 22 那么 3 1 lnba B A ln ln 2 1 ba B ln 2 1 ab C ln ln 3 1 ba D ln 3 1 ab 分析 由于0 0 ba 所以选项 A C 不正确 根据 9 2 ln 2 1 3 1 ln 2 1 3 1 ln 22 2 abba baba 及abba7 22 可知 3 1 lnba ln 2 1 ab 三 代数方程和简单的超越方程 1 设0 c 若 21 x x是方程0 2 cbxx的两个根 求 2 1 1 2 21 2 2 2 1 x x x x xxxx 3 2 3 1 xx 分析 根据韦达定理可知 cxxbxx 2121 所以 cbxxxxxx22 2 21 2 21 2 2 2 1 cbxxxxxxxx42 2 21 2 2 2 1 2 2121 c cb xx xx x x x x2 2 21 2 1 2 2 2 1 1 2 33222 12121122 3 xxxxxx xxbcb 2 指数方程组 632 1624 yx yx 的解 A 初等数学 Created by Hu Zhiming Page 20 of 61 20 A 只有一组 B 只有两组 C 有无穷多组 D 不存在 分析 在方程组 632 1624 yx yx 中每个方程的两端取对数 得 6ln3ln2ln 16ln2ln4ln yx yx 由于x与y的系数不成比例 所以此方程组只有一组解 四 不等式 已知集合 32 xxA 集合 0 1 2 axaxxB 若AB 求a得取 值范围 分析 2 11 2 4 1 1 2 2 1 aaaaa x 当1 a时 1 xaxB 当1 a时 1 axxB 所以当1 a时 不会有AB 当1 a时 若AB 则5 a 五 数列 1 设 n a是一等差数列 且 231011 64aaaa 求 76 aa 和 12 S 分析 由于 76 aa 112103 aaaa 所以 76 aa 32 2 111032 aaaa 192 6 7612112112 aaaaaaS 2 设 n a是一等比数列 且48 12 53 aa 求 101 a a和 62a a 分析 设数列 n a的公比为q 则4 2 3 5 q a a 所以 3 4 12 2 3 1 q a a 153623 99 110 qaa 或 1536 2 3 99 110 qaa 5764812 5362 aaaa 六 排列 组合 二项式定理 1 5 个男生和 2 个女生拍成一排照相 1 共有多少种排法 7 7 P 初等数学 Created by Hu Zhiming Page 21 of 61 21 2 男生甲必须站在一端 且两女生必须相邻 有多少种排法 2 2 5 5 2 2 PPP 2 100 件产品中 只有 3 件次品 从中任取 3 件 1 恰有一件次品的取法有多少种 2 97 1 3C C 2 至少有一件次品的取法有多少种 3 97 3 100 CC 3 至多有两件次品的取法有多少种 3 3 3 100 CC 3 求 9 21 x 展开式中所有无理项系数之和 分析 无理项指的是x的指数是非整数的项 根据二项式定理可知要求的和为 9 9 97 9 75 9 53 9 31 9 22222CCCCCS 4 如果 7 1 ax 的展开式中 3 x的系数等于 25 7 那么a的值是 A 5 B 5 C 5 1 D 5 1 答 D 分析 本题考查了二项式定理的展开式 由于 7 0 7 7 1 1 k kkkk xaCax 所以3 k对应的项是 33333 7 35xaxaC 根据题意可知 25 7 35 3 a 所以 5 1 a 故正确选项为 D 七 古典概率问题 1 在 100 件产品中 只有 5 件次品 从中任取两件 1 两件都是合格品的概率是多少 2 100 2 95 C C 2 两件都是次品的概率是多少 2 100 2 5 C C 3 一件是合格品 一件是次品的概率是多少 2 100 1 95 1 5 C CC 2 甲 乙两人各投篮一次 如果两人投中的概率分别是6 0和5 0 1 两人都投中的概率是多少 5 06 0 2 恰有一人投中的概率是多少 5 04 05 06 0 3 至少有一人投中的概率是多少 5 04 01 3 将 10 个球等可能地放到 15 个盒子中去 求下列事件的概率 1 某指定的 10 个盒子中各有 1 个球 10 15 10 初等数学 Created by Hu Zhiming Page 22 of 61 22 2 正好有 10 个盒子中各有 1 个球 10 10 15 15 10 C 样题与真题 一 数与代数式 1 2003 已知实数x和y满足条件1 999 yx和1 1000 yx 则 10001000 yx 的 值是 A 1 B 0 C 1 D 2 答 C 分析 本题是 2003 年的一道考题 主要考查了简单的开方和乘方运算 由 于1 999 yx 所 以1 yx 而 由1 1000 yx可 知1 yx或 1 yx 解方程组 1 1 yx yx 和 1 1 yx yx 得 1 0 y x 和 0 1 y x 从而 1 10001000 yx 故正确选项为 C 2 2004 实数cba 在数轴上的位置如下图表示 图中O为原点 则代数式 ccaabba A ca23 B caba2 C ba2 D a3 答 A 分析 本题是 2004 年的一道考题 主要考查了实数与数轴上点的对应关系及绝对值的概 念 本题的关键就是要正确去掉绝对值符号 从题中图上可知 cab 0 所以 cacacbabaccaabba23 故正确选项为 A 3 2004 zarg表示z的幅角 今又 21arg 2arg ii 则 sin A 5 4 B 5 3 C 5 4 D 5 3 答 D c O ab 初等数学 Created by Hu Zhiming Page 23 of 61 23 分析 本题是 2004 年的一道考题 主要考查了复数幅角的三角函数值与其实部和虚部的关 系及两角和的正弦公式 将复数与复平面上的点联系起来时处理此类问题的常用方法 如图 易知 5 1 cos 5 2 sin 5 2 cos 5 1 sin 所以 5 3 sincoscossin sin 故正确选项为 D 4 2005 复数 2 1 ziz 的模 A 4 B 22 C 2 D 2 分析 因为21 i 所以21 1 2 2 ii 即正确选项为 C 5 2006 复数 i z 1 的共轭复数z是 A i B i C 1 D 1 答 A 分析 本题是代数题 考查复数的基本概念 由于i i z 1 所以iz 6 2007 复数z 1234567 iiiiiii 则 zi C A 2 B 3 C 2 D 1 分析 考查虚数单位i的正整数幂的周期性规律 因为 1234 1 1ii iii i 所以 234567 1 1 1 1iiiiiiiiiii 7 2008 i是虚数单位 6 1 i 的模等于 A 64 B 26 C 8 D 22 分析 本题时代数题 考查了复数模的概念与计算 1 2 2 1 初等数学 Created by Hu Zhiming Page 24 of 61 24 6 66 1 1 2 8ii 故正确选项为 C 8 2009 若复数 1 1 1z i 23 2 25zii 则 12 zz A 3 B 4 C 5 D 2 2 分析 本题是初等代数题 考查了复数的基本概念与简单运算 1 1 11zi i 23 2 2525ziii 12 345zzi 正确选项为 C 9 2005 已知510 xyzy 且 则 222 xyzxyyzzx A 50 B 75 C 100 D 105 答 B 分析 本题是 2005 年的一道考题 主要考查了两数差的平方公式 根据题中条件 如何将 平方项及交叉乘积项与两数之差联系起来是求解本题的关键 由于10 5 yzyx 所以5 xz 从而 75 2 1 222222 xzyzyxzxyzxyzyx 故正确选项为 B 注 特殊值代入法 令0y 则5 10 xz 所以 222 251005075xyzxyyzzx 10 2005 设p为正数 则 2 99 xpx A 9 11 xx B 9 11 xx C 9 11 xx D 9 11 xx 分析 选项验证法 由于9920 11 9 2 xxxx 992 11 9 2 xxxx 992 11 9 2 xxxx 9920 11 9 2 xxxx 根据题意便知正确选项 为 C 11 2007 当1x 和2x 时 2 1 3212 xmn xxxx 恒成立 则 A A 2 3mn B 3 2mn C