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2007年上海市高中数学竞赛（新知杯）试卷（2007年3月25日 星期日 上午8：3010：30）【说明】解答本试卷不得使用计算器一、 填空题（本题满分60分，前4题每小题7分，后4小题每小题8分）1 方程的实数解_2 有一条长度为的线段，其端点，在边长为的正方形的四边上滑动，当绕着正方形的四边滑动一周时，的中点所形成的轨迹的长是_3 复数数列满足，（，为虚数单位），则它的前项的和为_4 已知是大小为的二面角，为二面角内一定点，且到半平面和的距离分别为和，分别是半平面，内的动点，则周长的最小值为_5 已知平面直角坐标系中点与点的对应法则 若一段曲线在对应法则下对应椭圆的一段弧，则这段曲线的方程是_6 已知，计算：_7 已知数列满足，则数列的通项公式_8 已知圆：，过轴上的点存在圆的割线，使得，则点的横坐标的取值范围是_二、 解答题9 （本题满分14分）对任意正整数，用表示满足不定方程的正整数对的个数，例如，满足的正整数对有，三个，则求出使得的所有正整数10 （本题满分14分）已知关于的方程有三个正实根，求的最小值11 （本题满分16分）已知抛物线，是过焦点的弦，如果与轴所成的角为，求12 （本题满分16分）求满足如下条件的最小正整数，在圆周上任取个点，则在个角中，至少有个不超过2007年上海市高中数学竞赛试卷答案1. (2,8,18) 2. 3. 1003+2 i 4. 5. 6
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