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实数知识点及典型例题教案 第二章 实数知识点汇总及经典练习题 一,知识点归纳 1.实数的分类 （1）按实数的定义分类： （2）按实数的正负分类： ?自然数(0,1,2,3?)?整数?负整数(?1,?2,?3?)?12?有理数?正分数(,?)(整数、有限小数、无限循环小数)?23?分数(小数)?实数?12?负分数(?,?)?23?正有理数?(无限不循环小数)?无理数?负有理数? ?正整数?正有理数?正实数?正分数 ?正无理数?实数?零（既不是正数也不是负数） ?负整数?负有理数?负实数?负分数?负无理数? 2实数与数轴的关系 每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；反之，数轴上每一个点都表示一个实数，即数轴上的点与实数是一一对应关系 实数的运算 （1）有理数的运算定律在实数范围内都适用，其中常用的运算定律有加法交换律、乘法交换律、加法结合律、乘法分配律、乘法结合律。 （2）在实数范围内进行运算的顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减。运算中有括号的，先算括号内的，同一级运算从左到右依次进行。 3、实数的大小比较 常用方法：数轴表示法、作差法、平方法、估值法。 （1）在数轴上表示两个数的点，右边的点表示的数大，左边的点表示的数小。 （2）正数大于零，负数小于零；两个正数，绝对值大的较大；两个负数，绝对值大的较小。 （3）设a，b是任意两实数， 若a-b0,则ab; 若a-b=0,则a=b; 若a-b1）写成a?10的形式，其中1?a?10，指数n为原数的整数位数减1的差； （3）将将较小的正数N表示为a?10的形式，其中1?a?10，指数n为第一位有效数字前零的个数的相反数。 3.算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么正数x叫做a的算术平方根，记作a。0的算术平方根为0；从定义可知，只有当a0时,a才有算术平方根。 nn 4.平方根：一般地，如果一个数x的平方根等于a，即x2=a，那么数x就叫做a的平方根。 正数有两个平方根（一正一负）它们互为相反数；0只有一个平方根，就是它本身；负数没有平方根。 5.正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。 6.a?ab?a?0,b?0?aa?(a?0,b?0)bb （2）若b3=a，则b叫做a的立方根。 （3 ?a?a(a?0) ?a(a?0). 二【典型例题】 例1若a为实数,下列代数式中,一定是负数的是() A. a2B. ( a+1)2 C.a2 D.(?a+1) 例2 实数a在数轴上的位置如图所示, 化简:a?(a?2)2例3 如图所示,数轴上A、B两点分别表示实数1，5，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的实数为（ ） A. C. 52 B. 2 53 D.3 例4 已知a、b是有理数，且满足（a2）2+b?3=0，则ab的值为三【能力训练】 1.已知a?2?5,则a的相反数是 a的倒数是；若在数轴上表示a,它在原点的 侧(填“左”或“右”)；且到原点的距离是. 2. 在两个连续整数a和b之间, ab,那么a、b的值分别是 2?3. 已知：22334455?22?，3?32?，4?42?，5?52?， 338815152424 bb，若10?102?符合前面式子的规律，则a?b?。 aa 4下列结论正确的是（） A.a?b ， ab B. C. a与a2?(a)2 1不一定互为相反数 D. a+bab a 5请你估算的大小（） A.12B. 23 C. 34 D. 45 6若数轴上表示数a的点在原点的左边，则化简2a?a2的结果是（ ） A. a B. 3a C. aD. 3a 7已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值等于1，求a+b+x2cdx的值 8已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，x、y满足x ?2?y?4y?4?0，求 的值 (a?b)xxx2?(cd)xxy?(a?b?cd)y2xy 9如图2，数轴上表示1和2的点分别为A和B，点B关于点A的对称点为C设C点所表示的数为x，求x+ 10.计算： 22的值 x (1) 111(?2)3?()?2?(1?)0?4 326 (2) ?xx)0?311. 已知：?x?2?0.125 ，求x的值 12. .已知：81x?25?0 ，求x的值. 13. 给出下列说法：?6是36的平方根；16的平方根是4 ；? 2无理数；一个无理数不是正数就是负数其中，正确的说法有（ ） 2 14. 以下四个命题 若a是无理数， 若a是有理数， 若a是整数， 是有理数；若a ） 2 15. 已知实数a 满足?a?a，则a?1992的值是（ ） 1991 1992 1993 1994 16. .已知x、y互为倒数，c、d互为相反数，a的绝对值为3，z的算术平方根是5 ，求c2?d2?xy? 第一部分 知识点总结 考点一、实数的概念及分类 （3分） 1、实数的分类 正有理数 有理数 零有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数无限不循环小数负无理数 整数包括正整数、零、负整数。 正整数又叫自然数。 正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。 2、无理数 无理数有三个条件：（1）是小数；（2）是无限小数；（3）不循环. 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如,2等； （2）有特定意义的数，如圆周率，或化简后含有的数，如+8等； 3 （3）有特定结构的数，如0.1010010001?等； 考点二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=-b，反之亦成立。 2、绝对值 一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|0。零的绝对值是它本身，若|a|=a，则a0；若|a|=-a，则a0。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。 3、倒数 如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 考点三、平方根、算数平方根和立方根 1、平方根 如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。 一个数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 正数a的平方根记做“?”。 2、算术平方根 正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“a”。 正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 a（a?0） a2?a? -a（a1 （2）当m 与n 互素时，如果n 为奇数，那么分数指数幂中的底数a 可为负数 （3）整数指数幂和分数指数幂统称为有理数指数幂 有理数指数幂运算性质： 设为a?0,b?0.p,q有理数，那么（1）apaq?ap?q;ap?aq?ap?q；（2）(ap)q?apq； apap （3）(ab)?ab;()?p bb p p p 第二部分 经典题型 例1 填空： 4 的平方根是 ，的算术平方根是 ； 25 99 (2) 的平方等于，的算术平方根是. 1616 |a| 5?a，则a 。(3)若|a|?a，则a ；若 ?1，则a；若|a?5|? a (1) (4) 若x x?_ ?3.14 ?_ (5)把20492用四舍五入法保留两个有效数字的近似值为（ ） （A）20000 （B）2.0?104 （C）2.1?104 （D）2.05?104 22 例2 已知(2x)?16，y是(?5)的正的平方根，求代数式x? x?y x的值. x?y 例3 将下列实数按从小到大的顺序排列，并用“”连接. ，?，2?5，0， ?1. 2 例4 数a、b在数轴上的位置如图所示： 222 化简：(a?1)?(b?1)?(a?b) 例7 已知a是7的整数部分，b是的小数部分，求(b7)a的值 例8在实数中，绝对值等于它本身的数有（ ） A.1个 B.2个 C.3个D.无数个 例9 一组数 1? ,3.14,?27,?,22 这几个数中，无理数的个数是（） 32 A. 2 B. 3C. 4D. 5 例10 下列说法中，不正确的是（ ） A. 3是(?3)2的算术平方根 B. 3是(?3)2的平方根 C. 3是(?3)2的算术平方根 D.3是(?3)3的立方根 例11 下列运算正确的是（）； A、任何数都有平方根 ；B、9的立方根是3 ；C、0的算术平方根是0 ； D、8的立方根是3。 例12 的平方根是（ ）； A、4 ；B、4 ；C、2 ； D、2 例13 2是_的平方根；12的相反数是 ；若x的立方根是? 22 例14 计算: (3?)?(4?)?_ 1 ，则x4 例15 将下列各数由小到大重新排成一列，并用“”号连接起来： ， 0， 2， 3.15， 3.5 例16计算 (1) 例17 化简 (1) 6?8?25 (2) 211515111 ?2? (3) ?2a3b2?3a6b6?(4) (2a3b2)(?6a2b3)?(?3a6b6) ? 425 ； (2) 3?0.064 (3) 2?52 ?216? 97 ?.25? 169 例18设x,y为实数,且已知x?1?y?2?0，求x 例19 实数a,b在数轴上对应的点如图，化简：|a?b|?|b?a |?|b|?|a?|a| y 实数知识点总结 考点一、实数的概念及分类 （3分） 1、实数的分类 正有理数 有理数 零有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数无限不循环小数负无理数 整数包括正整数、零、负整数。 正整数又叫自然数。 正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。 2、无理数 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如7,2等； （2）有特定意义的数，如圆周率，或化简后含有的数，如3 +8 等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001?等； 1、相反数 实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=-b，反之亦成立。 2、绝对值 一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|0。零的绝对值是它本身，若|a|=a，则a0；若|a|=-a，则a0。正数大于零，负数 小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。 3、倒数 如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 考点三、平方根、算数平方根和立方根 1、平方根 如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。 一个数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 正数a的平方根记做“?a”。 2、算术平方根 正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“a”。 正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。a（a?0）a?0a2?a? -a（a0）；注意a a?0 3、立方根 如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。 注意：?a?a，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。考点四、科学记数法和近似数 1、有效数字 一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个 数的有效数字。 2、科学记数法 把一个数写做?a?10n 的形式，其中1?a?10，n是整数，这种记数法叫做科学记数法。 考点五、实数大小的比较 1、数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。 解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。 2、实数大小比较的几种常用方法 （1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 （2）求差比较：设a、b是实数， a?b?0?a?b,a?b?0?a?b,a?b?0?a?b （3）求商比较法：设a、b是两正实数， ab?1?a?b;ab?1?a?b;a b ?1?a?b; （4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则a?b?a?b。 （5）平方法：设a、b是两负实数，则a2 ?b2 ?a?b。 考点六、实数的运算 （做题的基础，分值相当大） 1、加法交换律a?b?b?a 2、加法结合律(a?b)?c?a?(b?c) 3、乘法交换律ab?ba 4、乘法结合律(ab)c?a(bc) 5、乘法对加法的分配律 a(b?c)?ab?ac 6、实数混合运算时，对于运算顺序有什么规定？ 实数混合运算时，将运算分为三级，加减为一级运算，乘除为二级运算，乘方为三级运算。同级运算时，从左到右依次进行；不是同级的混合运算，先算乘方，再算乘除，而后才算加减；运算中如有括号时，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序进行。 7、有理数除法运算法则就什么？ 有理数除法运算法则可用两种方式来表述：第一，除以一个不等于零的数，等于乘以这个数的倒数；第二，两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。零除以任何一个不为零的数，商都是零。 8、什么叫有理数的乘方？幂？底数？指数？ 相同因数相乘的积的运算叫乘方，乘方的结果叫幂，相同因数的个数叫指数，这个因数叫底数。记作: an 9、有理数乘方运算的法则是什么？ 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。正数的任何次幂都是正数。零的任何正整数幂都是零。 10、加括号和去括号时各项的符号的变化规律是什么？ 去（加）括号时如果括号外的因数是正数，去（加）括号后式子各项的符号与原括号内的式子相应各项的符号相同；括号外的因数是负数去（加）括号后式子各项的符号与原括号内式子相应各项的符号相反。 三经典题型 例1 填空： (1) 4 25 的平方根是 ，的算术平方根是 ； (2) 的平方等于99 16，16 的算术平方根是. 例2 已知(2x)2?16，y是(?5)2 的正的平方根，求代数式x 的值. x?y ? xx?y 例3 将下列实数按从小到大的顺序排列，并用“”连接. ，?5，2?5，0， 2 ?1. 例4 数a、b在数轴上的位置如图所示： 化简：(a?1)2 ?(b?1)2 ?(a?b)2 例5请你观察、思考