10信计-数值分析半期试卷答案_赖志柱20121031.pdf

毕节学院课程考试试卷纸 毕节学院 数值分析 课程试卷第 1 页 共 4 页 阅卷须知 阅卷用红色墨水笔书写 得分阅卷须知 阅卷用红色墨水笔书写 得分用阿拉伯数字写在用阿拉伯数字写在每小题每小题题号前 用正分表示 题号前 用正分表示 不得分则不得分则 在题号前写在题号前写 0 0 大题得分登录在对应题号前的得分栏内并签名大题得分登录在对应题号前的得分栏内并签名 统一命题的课程应统一命题的课程应集体阅卷集体阅卷 流水作业流水作业 阅卷后要进行复核 发现漏评 漏记或总分统计错误应及时更正 阅卷后要进行复核 发现漏评 漏记或总分统计错误应及时更正 对评定分数或统分记录进行修改时 对评定分数或统分记录进行修改时 修改人必须签名 修改人必须签名 一 填空题 每空一 填空题 每空 2 2 分 共分 共 3030 分 分 1 数值分析课程中 误差主要分为模型误差 观测误差 截断误差 或 方法误差 和舍入误差 2 用 3 141593 近似 有7位有效数字 3 3 1 5 4 T R R R Rx x x x 则 1 x x x x10 x x x x5 4 在 0 1 C上 已知函数 2f xx 则f 2 2 f 2 3 3 5 若 3 21f xx 求 1 2 3 4f 2 5 6 7 8 9f 0 6 设函数 f x在 a b上有定义 j x为 a b上的互异节点 0 1 jn 则f 的n次插值多项式的均差型余项为 011 nnn R xf x x xxx 7 已知 n P x为正交多项式系 则当nm 时有 mn P P 0 8 n阶 Newton Cotes 求积公式 n为偶数 具有 n 1次代数精度 9 机械求积公式稳定的充分条件为求积系数全大于 0 10 复合 Simpson 求积公式和复合 Cotes 求积公式的关系为 2 16 15 nn n SS C 11 高斯求积公式中求积系数的计算公式为 2 b jj a Ax lx dx 二 解答下列各题 每小题二 解答下列各题 每小题 1010 分 共分 共 2020 分 分 毕节学院课程试卷参考答案毕节学院课程试卷参考答案毕节学院课程试卷参考答案毕节学院课程试卷参考答案 2012201220122012 2013 2013 2013 2013 学年度第学年度第学年度第学年度第一学期 数值分析 学期 数值分析 学期 数值分析 学期 数值分析 数学与计算机科学学数学与计算机科学学数学与计算机科学学数学与计算机科学学院院院院 2010201020102010 级级级级信息与计算科学信息与计算科学信息与计算科学信息与计算科学专业专业专业专业本科本科本科本科班班班班 主考教师 赖志柱主考教师 赖志柱主考教师 赖志柱主考教师 赖志柱试卷类型 半期试卷类型 半期试卷类型 半期试卷类型 半期 毕节学院课程考试试卷纸 毕节学院 数值分析 课程试卷第 2 页 共 4 页 1 求超定方程组 2411 353 26 27 xy xy xy xy 的最小二乘解 解 原超定方程组的系数矩阵和常数项为 24 35 12 21 A 11 3 6 7 b 显然矩阵 A 列满秩 即 R A 2 且有 183 346 T A A 51 48 T A b 则原方程组对应的法方程 组 为 TT A AXA b 即 18351 34648 x y 解得 830 3 040293 273 x 339113 1 2417582 27391 y 此即原超定方程组的最小 二乘解 2 试 确 定 求 积 公 式 的 待 定 参 数 使 求 积 公 式 d 2 1 0 210 2 0 fAfAfAxxf的代数精度尽可能的高 解 取 2 1 f xx x 使题设求积公式精确成立 则 012 12 12 2 22 48 3 AAA AA AA 解得 012 141 333 AAA 即题设求积公式为 2 0 141 d 0 1 2 333 f xxfff 再取 3 f xx 左边 2 3 0 4x dx 右边 4 左边 右边 取 4 f xx 左边 2 4 0 32 5 x dx 右边 20 3 左边 右边 毕节学院课程考试试卷纸 毕节学院 数值分析 课程试卷第 3 页 共 4 页 从而原积分公式恰好具有 3 次代数精度 三 综合题 共三 综合题 共 5050 分 分 已知通过某一途径获得一组数据如下 j x00 10 20 30 4 j y11 22141 49181 82212 2255 j x0 50 60 70 80 91 j y2 71833 32014 05524 95306 04967 3891 1 现要求获得该组数据所代表的函数 yf x 请您根据自己对数据的理解给出 yf x 的若干种近似形式 并给出您的理由和进行适当的误差估计 2 若还要求计算积分 b a f x dx 其中min j ax max j bx 请您根据数值分 析课程中相关的知识进行求解 并给出您的理由和进行适当的误差估计 注意 不给出理由直接作答不给分 答题有创新及正确者最多可加注意 不给出理由直接作答不给分 答题有创新及正确者最多可加 30303030 分 本次考试总分分 本次考试总分 超过一百分按一百分计 答案写不下可另附页 超过一百分按一百分计 答案写不下可另附页 参考答案及说明 仅给出要点 该题主要就所给出的数据是否有误差及误差大小进行分类处理即可 提示 该题目的数据来源于函数 2x ye 使用 MATLAB 软件 默认输出 精度 得到 由于计算机四舍五入的原因 数据有误差但不大 但处理该题时 不必拘泥于数据具体来源于哪种函数 说明自己的理解并给出合理解答方法即 可 只要给出的解释合理 方法正确 不一定有最终结果 都可以酌情加分 加分额度从 0 分到 30 分 主要看创新程度 超出教学大纲即认可 对第一问 若数据不存在误差或误差很小 则可以采用插值的方法近似估计 yf x 1 直接用10n 的 Lagrange 插值或 Newton 差商 差分 插值都可以 具体思想 公式 过程及结果略 用10n 的 Newton 差分插值可酌情加分 2 使用事后误差分析法 即采用9n 的 Lagrange 插值处理 第一步用 0 0 1 0 9x 的数据进行插值计算 9 L x 第二步再用0 1 0 9 1x 的数据 进行插值9 Lx 再通过两者之间的关系给出 yf x 的近似表达式 该思路可 酌情加分 3 考虑到插值次数过高会出现 Runge 现象 采用分段插值 如分段线 性插值 分段二次插值和分段三次 Hermite 或样条 插值 导数可以应用数 值微分方法处理 超出教学大纲可酌情加分 毕节学院课程考试试卷纸 毕节学院 数值分析 课程试卷第 4 页 共 4 页 4 采用其他插值方法 如 Aitken 插值和样条插值 自己补充合理条件 可酌情加分 若数据存在较大误差 则可采用数据拟合的思想近似估计 yf x 具体可以采用多项式拟合或其他曲线拟合 最好是描点画出大致图形以确 定拟合的函数形式 给出的形式有新意可酌情加分 其它近似方法 必须给出其合理的解释并说明思路 如果可能要给出相关 步骤及公式等 可酌情加分 对第二问 超出教学大纲可酌情加分 1 采 用 第 一 问 给 出 的 yf x 的 近 似 形 式 x 计 算 即 若 yf xx 则 bb aa f x dxx dx 误差估计适当给出公式或表达式或说 明 2 可采用普通的机械求积公式求解 其求积系数自行确定 但要给出合 理