考拉兹猜想的一点思考.doc

考拉兹猜想的一点思考作者：湖南省冷水江市煤炭局 YONGAO考拉兹猜想：自然数，见奇数乘以3加上1，见偶数除以2，最后一定得到4，2，1。证明：一、如93+1=28282=14，142=773+1=22222=11113+1=34342=17173+1=522=26，262=13133+1=40402=20,202=10，102=553+1=16162=8，82=4，42=2，22=1。得到4，2，1。约定“4，2，1。”前第1个奇数为N1（如5），第2个奇数为N2（如13），第3个奇数为N3（如17），一般地，“4，2，1。”前第k个奇数为Nk，k=1，2，3，N1=（22n1）3 n=1，2，3， 如5=（241）3当N1包含于6h5,6h1时，h=1，2，3，N2=（2aN11）3 如13=（5231）3当N2包含于6h5,6h1时，N3=（2bN21）3 如17=（13221）3当N3包含于6h5,6h1时，N4=（2cN31）3 如11=（1721）31、N1=（22n1）3当n=1，2，3，4时，N1=1，5，21，85。5=1+22=41+1=41+4021=1+22+24=45+1=42+41+4085=1+22+24+26=421+1=43+42+41+40A、猜想：当n1时，N1=（22n1）3=1+22+24+22n2证明（）当n=2时，N1=（2221）3=1+22（）假设n=k时，N1=（22k1）3=1+22+24+22k2成立。当n=k+1时，N1=22（k+1）13=（22k1）3+22k=1+22+24+22k2+22（k+1）2综合（）（）所证：当n1时，N1=（22n1）3=1+22+24+22n2成立。B、猜想：设an=（22n1）3，当n1时，则有an=4an1+1=4n1+4n2+40证明（）当n=2时，a2=（2221）3=5a1=（221）3=1 4a1+1=41+1=5 a2=4a1+1=41+40（）假设n=k时，ak=4ak1+1=4k1+4k2+40成立。当n=k+1时，ak+1=22（k+1）13 =4（22k1）3+1 =4ak+1 =4（k+1）1+4（k+1）2+40综合（）（）所证：当n1时，an=4an1+1=4n1+4n2+40成立。2、当N1包含于6h5,6h1时，如N1=5N2=（522n11）3当n=1，2，3，4时，N2=3，13，53，213。13=3+52=43+1=341+4053=3+52+523=413+1=342+41+40213=3+52+523+525=453+1=343+42+41+40猜想且容易证明：A、当n1时，N2=（522n11）3=3+52+523+522n3B、设an=（522n11）3，当n1时，则有an=4an1+1=34n1+4n2+403、当N2包含于6h5,6h1时，如N2=13N3=（1322n1）3当n=1，2，3，4时，N3=17，69，277，1109。69=17+1322=417+1=1741+40277=17+1322+1324=469+1=1742+41+401109=17+1322+1324+1326=4277+1=1743+42+41+40猜想且容易证明：A、当n1时，N3=（1322n1）3 =17+1322+1324+1322n2B、设an=(1322n1)3，当n1时，则有an=4an1+1=174n1+4n2+404、当N3包含于6h5,6h1时，如N3=17N4=（1722n11）3当n=1，2，3，4时，N4=11，45，181，725。45=11+172=411+1=1141+40181=11+172+1723=445+1=1142+41+40725=11+172+1723+1725=4181+1=1143+42+41+40猜想且容易证明：A、当n1时，N4=（1722n11）3 =11+172+1723+1722n3B、设an=（1722n11）3，当n1时，则有an=4an1+1=114n1+4n2+405、根据以上推理，猜想且容易证明：A、当n=1时，（6M5）22n13=8M7（6M1）22n113=4M1当n1时，（6M5）22n13=8M7+（6M5）22+（6M5）24+（6M5）22n2（6M1）22n113=4M1+（6M1）2+（6M1）23+（6M1）22n3B、（）设an=（6M5）22n13，当n1时，则有an=4an1+1=（8M7）4n1+4n2+40（）设an=（6M1）22n113，当n1时，则有an=4an1+1=（4M1）4n1+4n2+406、根据以上论证，可以得出这样的结论：（1）“4，2，1。”前的奇数Nk可以表示为：8M7或8M7+（6M5）22+（6M5）24+（6M5）22n2或4M1或4M1+（6M1）2+（6M1）23+（6M1）22n3。即Nk=8M7，8M7+（6M5）22+（6M5）24+（6M5）22n2，4M1，4M1+（6M1）2+（6M1）23+（6M1）22n3，但M还不能确定为全体正整数。（2）“4，2，1。”前的奇数Nk是从1和5开始，1按照（6h5）22n13=8h7，8h7+（6h5）22+（6h5）24+（6h5）22n2 （h=1，2，3，）的公式得到1，1+22+24+22n2，5按照（6h1）22n113=4h1，4h1+（6h1）2+（6h1）23+（6h1）22n3的公式得到3，3+52+523+522n3；1，1+22+24+22n2，3，3+52+523+522n3 包含于6h5,6h1的数分别按照（6h5）22n13=8h7，8h7+（6h5）22+(6h5)24+(6h5)22n2，（6h1）22n113=4h1，4h1+（6h1）2+（6h1）23+（6h1）22n3的公式得到相应的数如此循环递推得到的。1和5，见奇数乘以3加上1，见偶数除以2，得到4，2，1。那么，Nk见奇数乘以3加上1，见偶数除以2，最后一定得到4，2，1。（3）1，5，21，85， 出现6a15，6b11，6c13；6d15的规律， 3，13，53，213， 出现6a23，6b25，6c21；6d23的规律 ， 17，69，277，1109， 11，45，181，725， 出现6a31，6b33，6c35；6d31的规律。二、（1，1+22+24+22k2）3+122n=1（3，3+52+523+522n3）3+1 22n1=5（17，17+1322+1324+1322n2）3+1 22n=13（11，11+172+1723+1722n3）3+1 22n1=178M7，8M7+（6M5）22+（6M5）24+（6M5）22n23+122n=6M54M1，4M1+（6M1）2+（6M1）23+（6M1）22n33+122n1=6M1要证明考拉兹猜想，必须证明当M为全体正整数时，Nk满足以下条件：（1） Nk=6a15，6b11，6c13；6d15，6e11，6f13； 或=6a23，6b25，6c21；6d23，6e25，6f21； 或=6a31，6b33，6c35；6d31，6e33，6f35；（2）Nk包含自然数的全体奇数，且没有重复的数。（3）当Nk1时，Nk见奇数乘以3加上1，见偶数除以2，一定存在小于Nk的数。1、证明：当M为全体正整数时，Nk=6a15，6b11，6c13；6d15，6e11，6f13； 或=6a23，6b25，6c21；6d23，6e25，6f21； 或=6a31，6b33，6c35；6d31，6e33，6f35；证明 要证明所求，只需证：A、8M7，8M7+（6M5）22+（6M5）22n2=6xn5，6yn1，6zn3。B、4M1，4M1+（6M1）2+（6M1）22n3=6Xn5，6Yn1，6Zn3。首先证明：B、4M1，4M1+（6M1）2+（6M1）22n3=6Xn5，6Yn1，6Zn3。（1）当n=1时，设M=3m1，则4M1=62m5=6X15设M=3m，则4M1=62m1=6Y11设M=3m2，则4M1=6（2m1）3=6Z13（2）当n=2时，设M=3m2，则（4M1）41+40=6（8m5）5=6X25设M=3m1，则（4M1）41+40=6（8m3）1=6Y21设M=3m，则（4M1）41+40=68m3=6Z23（3）当n=3时，设M=3m，则（4M1）42+41+40=6（32m1）5=6X35设M=3m2，则（4M1）42+41+40=6（32m23）1=6Y31设M=3m1，则（4M1）42+41+40=6（32m12）3=6Z33（4）猜想：a、当n=3n12，M=3m1，3m，3m2时，4M1，4M1+（6M1）2+（6M1）22n3=6Xn5，6Yn1，6Zn3。b、当n=3n11，M=3m2，3m1，3m时，4M1+（6M1）2+（6M1）22n3=6Xn5，6Yn1，6Zn3。c、当n=3n1，M=3m，3m2，3m1时，4M1+（6M1）2+（6M1）22n3=6Xn5，6Yn1，6Zn3。证明猜想a：（）当n=312=1，M=3m1，3m，3m2时，4M1=6X15，6Y11，6Z13。当n=3n121时，4M1+（6M1）2+（6M1）22n3=（4M1）4n1+4n2+40当n=322=4，M=3m1，3m，3m2时，（4M1）43+42+41+40=256M43256M43=256（3m1）43=6（128m49）5=6X45256M43=2563m43=6（128m7）1=6Y41256M43=256（3m2）43=6（128m93）3=6Z43（）假设n=3k2，M=3m1，3m，3m2时，（4M1）43k21+43k22+40=6X3k25，6Y3k21，6Z3k23成立。即43k2M43k3+43k4+43k5+40=6X3k25，6Y3k21，6Z3k23。当n=3（k+1）2，M=3m1，3m，3m2时，43（k+1）2M43（k+1）3+43（k+1）4+43（k+1）5+40=4343k2M443k3+43k1+43k2+43k3+43k4+43k5+40=6（42M7）43k2+43k2M43k3+43k4+43k5+40=6X3（k+1）25，6Y3（k+1）21，6Z3（k+1）23。综合（）（）所证：猜想a成立。同理可证：猜想b和猜想c都成立。可以确定：4M1，4M1+（6M1）2+（6M1）22n3=6Xn5，6Yn1，6Zn3。同理：8M7，8M7+（6M5）22+（6M5）22n2=6xn5，6yn1，6zn3。所以，命题得到证明。2、证明：当M为全体正整数时，Nk包含自然数的全体奇数。证明 an=8M7，8M7+（6M5）22+（6M5）22n2，an=4M1，4M1+（6M1）2+（6M1）22n3。当n1时，an=4an1+1。a1=8M7，不妨设a1=8h7。a1=4M1，不妨设a1=8h1，8h5。显然a18h3。设a1=2b01，a2=2b11，a3=2b21，则b0=4h，4h2，4h3，b04h1。a2=4a1+1=8b03a3=4a2+1=8（4b01）3=8b13a4=4a3+1=84（4b01）13=8（4b11）3=8b23a5=4a4+1=844（4b01）113=8（4b21）3=8b33猜想且容易证明：当n2时，an=8（4bn31）3=8bn23要证明Nk包含自然数的全体奇数，则需证明：a1a2a3a4=自然数的全体奇数因为a1=8h7，8h1，8h5。只需证a2a3a4=8h3a1=8h1，8h5，8h7。则a2=4a1+1=4（8h1）+1=84h3a2=4a1+1=4（8h5）+1=8（4h2）3a2=4a1+1=4（8h7）+1=8（4h3）3但a28（4h1）3研究当n2时，an=8（4bn31）3=8bn23的情形（b04h1）：b0=1，2，（3）， 4， 5， 6，（7），8， 9，10，（11），12，13，14，（15），显然，b0是一个自然数数列，但数列的第4m1项没有确定。只要确定第4m1项，就可以确定a3a4=8（4h1）3。第1项：d1=1，第3项：d3=411=3第2项：d2=2，第7项：d7=421=7第3项：d3=3，第11项：d11=431=11猜想：第4m1项：d4m1=4dm1证明（）当m=1时，d3=4d11=411=3（）假设m=k时，d4k1=4dk1成立。当m=k+1时，d4（k+1）1=d4k1+4=d4k1+4=4dk1+4=4（dk+1）1=4dk+11综合（）（）所证：d4m1=4dm1成立。于是，b0的第4m1项按照d4m1=4dm1的规律确定，与a3=4a2+1=8（4b01）3=8b13a4=4a3+1=8（4b11）3=8b23a5=4a4+1=8（4b21）3=8b33当n2时，an=8（4bn31）3=8bn23完全吻合。于是，a3a4=8（4h1）3a2a3a4=84h3, 8（4h1）3, 8（4h2）3, 8（4h3）3a1a2a3a4=自然数的全体奇数所以，当M为全体正整数时，Nk包含自然数的全体奇数，显然没有重复的数。即Nk=8M7，8M7+（6M5）22+（6M5）22n2，8M1，8M1+（12M1）2+（12M1）22n3，8M5，8M5+（12M7）2+（12M7）22n3包含8M7，8M5，8M1，84M3，8（4M1）3，8（4M2）3，8（4M3）3。3、证明：当M为全体正整数、Nk1时，Nk见奇数乘以3加上1，见偶数除以2，一定存在小于Nk的数。证明（1）当n=1、M=1时，（6M5）22n13=8M7=6M5=1当n=1、M1时，（6M5）22n13=8M76M5当n1时，（6M5）22n13=8M7+（6M5）22+（6M5）22n26M5当n=1时，（12M1）22n113=8M112M1 （12M7）22n113=8M512M7当n1时，（12M1）22n113=8M1+（12M1）2+（12M1）22n312M1 （12M7）22n113=8M5，8M5+（12M7）2+（12M7）22n312M7于是，当Nk1、Nk=8M7，8M7+（6M5）22+（6M5）22n2，8M1+（12M1）2+（12M1）22n3，8M5+（12M7）2+（12M7）22n3时，Nk见奇数乘以3加上1，见偶数除以2，存在小于Nk的数。但Nk=8M1，8M5时，Nk见奇数乘以3加上1，见偶数除以2，暂时不能确定存在小于Nk的数。（2）显然，奇数2nM（2R1）（12R12n)见奇数乘以3加上1，见偶数除以2，会出现（2a1）M（2b1）。2n，2R1，2a1，2b1为常数，M=1，2，3，求证：如果2nM（2R1）（2a1）M（2b1），那么当M为特别确定的奇数时，（2a1）M（2b1）能被2m整除，m=1，2，3， m大于某一个常数时，（2a1）M（2b1）2m2nM（2R1）。证明任意奇数表示为2mK1,2mK3, 2mK5, 2mK7， 2mK（2m7），2mK（2m5），2mK（2m3），2mK（2m1）。2m 为常数，K=1，2，3，任意奇数可表示为2mC(2r1)，12r12m。2m ，2r1为常数，C=1，2，3， 显然，2mC(2r1)为确定的奇数时，C为常数。 2mC（2r1）（2mK1）=2m2mC（2r1）KC+（2r1）=2mKa+2ra12mC（2r1）（2mK3）=2m2mC（2r1）K3C+3（2r1）=2mKb+2rb12mC（2r1）（2mK5）=2m2mC（2r1）K5C+5（2r1）=2mKc+2rc1 2mC（2r1）（2mK7）=2m2mC（2r1）K7C+7（2r1）=2mKd+2rd1 2mC（2r1）2mK（2m -11）=2m2mC（2r1）K（2m -11）C+（2m -11）（2r1）2mC（2r1）2mK2m （2m -11）= 2m2mC（2r1）K2mC（2r1） +（2m -11）C（2m -11）（2r1）2mC（2r1）2mK（2m7）=2m2mC（2r1）K2mC（2r1） +7C7（2r1）=2mKD+2rD1 2mC（2r1）2mK（2m5）=2m2mC（2r1）K2mC（2r1） +5C5（2r1）=2mKC+2rC1 2mC（2r1） 2mK（2m3）=2m2mC（2r1）K2mC（2r1） +3C3（2r1）=2mKB+2rB1 2mC（2r1） 2mK（2m1）=2m2mC（2r1）K2mC（2r1） +C（2r1）=2mKA+2rA1 2ra1，2rb1，2rc1 ，2rd1 ， 2rD1，2rC1，2rB1，2rA1为常数，且12ra1，2rb1，2rc1 ，2rd1 ， 2rD1，2rC1，2rB1，2rA12m。证明：2ra1，2rb1，2rc1，2rd1， 2rD1，2rC1，2rB1，2rA1共有2m -1个数， 其中任意两个数都不相等。先证明：2ra1，2rb1，2rc1，2rd1，共有2m -2个数， 其中任意两个数都不相等。2r1，3（2r1），5（2r1），7（2r1）， 是首项为2r1、公差为2（2r1）的等差数列。假设2ra1，2rb1，2rc1，2rd1，有两个数都相等，那么数列2r1，3（2r1），5（2r1），7（2r1），有两项之差是2 m 的整数倍。数列的最大项第2m -2项=（2m -11）（2r1）,显然，任意两项之差都不是2 m的整数倍，与假设矛盾。所以，假设不成立。2ra1，2rb1，2rc1，2rd1，共有2m -2个数， 其中任意两个数都不相等。又（2ra1）+（2rA1）=2m （2rb1）+（2rB1）=2m（2rc1）+（2rC1）=2m （2rd1）+（2rD1）=2m且（2ra1），（2rA1），（2rb1），（2rB1），（2rc1），（2rC1），（2rd1），（2rD1） 都为奇数。则2ra1，2rb1，2rc1，2rd1， 2rD1，2rC1，2rB1，2rA1共有2m -1个数， 其中任意两个数都不相等。2mC（2r1）（2mK1）(2ra1)=2mKa2mC（2r1）（2mK3）(2rb1)=2mKb2mC（2r1）（2mK5）(2rC1)=2mKC2mC（2r1）（2mK7）(2rd1)=2mKd 2mC（2r1） 2mK（2m7）(2rD1)=2mKD2mC（2r1） 2mK（2m5）(2rC1)=2mKC2mC（2r1） 2mK（2m3）(2rB1)=2mKB2mC（2r1） 2mK（2m1）(2rA1)=2mKA 当M=2mK1或2mK3 时，（2a1）M（2b1）=2mKa或2mKb （2a1）M（2b1）能被2m整除，m=1，2，3， m大于某一个常数时，（2a1）M（2b1）2m2nM（2R1）。（3）为了便于证明，做如下约定：当M为全体正整数时，M约定为“1”； 当M=2M1，2M11时，2M1，2M11分别约定为“1/2”；当M=4M2，4M21，4M22，4M23时，4M2，4M21，4M22，4M23分别约定为“1/4”；依此类推。现在证明：4M1见奇数乘以3加上1，见偶数除以2，一定存在小于4M1的数。（4M1）3+1=12M2（12M2）2=6M1（6M1）3+1=18M2（18M2）2=9M1（）当M=4M13时，4M1=16M1139M1=36M128（36M128）22=9M1716M113于是，当M=4M13时，4M1有“1/4”的数见奇数乘以3加上1，见偶数除以2，存在小于4M1的数。但M=4M1，4M11，4M12时，4M1有“3/4”的数见奇数乘以3加上1，见偶数除以2，暂时不能确定存在小于4M1的数。（）当M=4M1，4M11，4M12时，当M=4M1时，4M1=16M119M1=36M11（36M11）3+1=108M12（108M12）2=54M11（54M11）3+1=162M12（162M12）2=81M11M1=8M27时，4M1=16M11=128M211381M11=648M2568（648M2568）23=81M271128M2113于是，当M=4M1，M1=8M27，即M=32M228时，4M1有“1/32”的数见奇数乘以3加上1，见偶数除以2，存在小于4M1的数。但M=4M1，M1=8M2，8M21，8M22，8M23，8M24，8M25，8M26，即M=32M2，32M24，32M28，32M212，32M216，32M220，32M224时，4M1有“7/32”的数见奇数乘以3加上1，见偶数除以2，暂时不能确定存在小于4M1的数。当M=4M11时，4M1=16M159M1=36M110（36M110）2=18M15（18M15）3+1=54M114（54M114）2=27M17M1=2M21时，4M1=16M15=32M22127M17=54M234（54M234）2=27M21732M221于是，当M=4M11，M1=2M21，即M=8M25时，4M1有“1/8”的数见奇数乘以3加上1，见偶数除以2，存在小于4M1的数。但M=4M11，M1=2M2，即M=8M21时，4M1有“1/8”的数见奇数乘以3加上1，见偶数除以2，暂时不能确定存在小于4M1的数。当M=4M12时，4M1=16M199M1=36M119（36M119）3+1=108M156（108M156）22=27M114M1=2M2时，4M1=16M19=32M2927M114=54M214（54M214）2=27M2732M29于是，当M=4M12，M1=2M2，即M=8M22时，4M1有“1/8”的数见奇数乘以3加上1，见偶数除以2，存在小于4M1的数。但M=4M12，M1=2M21，即M=8M26时，4M1有“1/8”的数见奇数乘以3加上1，见偶数除以2，暂时不能确定存在小于4M1的数。综合（）、（）的运算，4M1有“1/49/32=17/32”的数见奇数乘以3加上1，见偶数除以2，存在小于4M1的数。但4M1还有“15/32”的数见奇数乘以3加上1，见偶数除以2，暂时不能确定存在小于4M1的数。（）当M=32M2，32M24，32M28，32M212，32M216，32M220，32M224，8M21，8M26时，当M=32M2时，4M1=128M219M1=288M219M1=288M21（288M21）3+1=864M22（864M22）2=432 M21（432M21）3+1=1296M22（1296M22）2=648M21（648 M21）3+1=1944M22（1944M22）2=972M21（972 M21）3+1=2916 M22（2916M22）2=1458M21（1458M21）3+1=4374M22（4374M22）2=2187M21M2=32M329时，4M1=128M21=4096M337132187M21=69984M363424（69984M363424）25= 2187M319824096M33713于是，当M=32M2，M2=32M329，即M=1024M3928时，4M1有“1/1024”的数见奇数乘以3加上1，见偶数除以2，存在小于4M1的数。但M=32M2，M2=32M3，32M31，32M32，32M33，32M34，即M=1024M3，1024M332，1024M364，1024M396，1024M3128，时，4M1有“31/1024”的数见奇数乘以3加上1，见偶数除以2，暂时不能确定存在小于4M1的数。当M=32M24时，4M1=128M2179M1=288M2379M1=288M237（288M237）3+1=864M2110（864M2110）2=432M255（432M255）3+1=1296M2164（1296M2164）22=324M241（324M241）3+1=972M2122（972M2122）2=486M261（486M261）3+1=1458M2182（1458M2182）2=729M291M2=8M35时，4M1=128M217=1024M3657729M291=5832M33736（5832M33736）23= 729M34671024M3657于是，当M=32M24，M2=8M35，即M=256M3164时，4M1有“1/256”的数见奇数乘以3加上1，见偶数除以2，存在小于4M1的数。但M=32M24，M2=8M3，8M31，8M32，8M33，8M34，8M36，8M37，即M=256M34，256M336，256M368，256M3100，256M3132，256M3196，256M3228时，4M1有“7/256”的数见奇数乘以3加上1，见偶数除以2，暂时不能确定存在小于4M1的数。当M=32M28时，4M1=128M2339M1=288M2739M1=288M273（288M273）3+1=864M2218（864M2218）2=432M2209（432M2209）3+1=1296M2626（1296M2626）2=648M2313（648M2313）3+1=1944M2938（1944M2938）2=972M2469（972M2469）3+1=2916M21406（2916M21406）2=1458M2703（1458M2703）3+1=4374M22108（4374M22108）2=2187M21054a、M2=2M0，4M1=128M233=256M0332187M21054=4374M01054（4374M01054）2= 2187MO527M0=16M33时，4M1=128M233=256M033=4096M38012187M0527=34992M37088（34992M37088）24= 2187MO4434096M3801于是，当M=32M28=64M08，M0=16M33，即M=1024M3200时，4M1有“1/1024”的数见奇数乘以3加上1，见偶数除以2，存在小于4M1的数。但M=32M28=64M08，M0=16M3，16M31，16M32， 即M=1024M38，1024M372，1024M3136， 时，4M1有“15/1024”的数见奇数乘以3加上1，见偶数除以2，暂时不能确定存在小于4M1的数。b、M2=2M01，4M1=128M233=256M01612187M21054=4374M03241（4374M03241）3+1= 13122MO9722（13122MO9722）2= 6561MO4861M0=32M33时，4M1=128M233=256M0161=8192M39296561M04861=209952M324544（209952M324544）25= 6561MO7678192M3929于是，当M=32M28=64M040，M0=32M33，即M=2048M3232时，4M1有“1/2048”的数见奇数乘以3加上1，见偶数除以2，存在小于4M1的数。但M=32M28=64M040，M0=32M3，32M31，32M32， 即M=2048M340，2048M3104，2048M3168， 时，4M1有“31/2048”的数见奇数乘以3加上1，见偶数除以2，暂时不能确定存在小于4M1的数。当M=32M212时，4M1=128M2499M1=288M21099M1=288M2109（288M2109）3+1=864M2326（864M2326）2=432M2163（432M2163）3+1=1296M2488（1296M2488）23=162M261（162M261）3+1=486M2182（486M2182）2=243M291M2=2M31时，4M1=128M249=256M3177243M291=486M3334（486M3334）2= 243M3167256M3177于是，当M=32M212，M2=2M31，即M=64M344时，4M1有“1/64”的数见奇数乘以3加上1，见偶数除以2，存在小于4M1的数。但M=32M212，M2=2M3，即M=64M312时，4M1有“1/64”的数见奇数乘以3加上1，见偶数除以2，暂时不能确定存在小于4M1的数。当M=32M216时，4M1=128M2659M1=288M21459M1=288M2145（288M2145）3+1=864M2434（864M2434）2=432M2217（432M2217）3+1=1296M2650（1296M2650）2=648M2325（648M2325）3+1=1944M2974（1944M2974）2=972M2487（972M2487）3+1=2916M21460（2916M21460）22=729M2365M2=8M33时，4M1=128M265=1024M3449729M2365=5832M32552（5832M32552）23= 729M33191024M3449于是，当M=32M216，M2=8M33，即M=256M3112时，4M1有“1/256”的数见奇数乘以3加上1，见偶数除以2，存在小于4M1的数。但M=32M216，M2=8M3，8M31，8M32，8M34，8M35，8M36，8M37，即M=256M316，256M348，256M380，256M3144，256M3176， 256M3208，256M3240时，4M1有“7/256”的数见奇数乘以3加上1，见偶数除以2，暂时不能确定存在小于4M1的数。当M=32M220时，4M1=128M2819M1=288M21819M1=288M2181（288M2181）3+1=864M2542（864M2542）2=432M2271（432M2271）3+1=1296M2812（1296M2812）22=324M2203（324M2203）3+1=972M2608（972M2608）22=243M2152M2=2M3时，4M1=128M281=256M381243M2152=486M3152（486M3152）2= 243M376256M381于是，当M=32M220，M2=2M3，即M=64M320时，4M1有“1/64”的数见奇数乘以3加上1，见偶数除以2，存在小于4M1的数。但M=32M220，M2=2M31，即M=64M352时，4M1有“1/64”的数见奇数乘以3加上1，见偶数除以2，暂时不能确定存在小于4M1的数。当M=32M224时，4M1=128M2979M1=288M22179M1=288M2217（288M2217）3+1=864M2650（864M2650）2=432M2325（432M2325）3+1=1296M2974（1296M2974）2=648M2487（648M2487）3+1=1944M21460（1944M21460）22=486M2365（486M2365）3+1=1458M21094（1458M21094）2=729M2547M2=8M35时，4M1=128M297=1024M3737729M2547=5832M34192（5832M34192）23= 729M35241024M3737于是，当M=32M224，M2=8M35，即M=256M3184时，4M1有“1/256”的数见奇数乘以3加上1，见偶数除以2，存在小于4M1的数。但M=32M224，M2=8M3，8M31，8M32，8M33，8 M34，8M36，8M37，即M=256M324，256M356，256M388，256M3120，256M3152，256M3216，256M3248时，4M1有“7/256”的数见奇数乘以3加上1，见偶数除以2，暂时不能确定存在小于4M1的数。当M=8M21时，4M1=32M259M1=72M2109M1=72M210（72M210）2=36M25（36M25）3+1=108M214（108M214）2=54M27（54M27）3+1=162M220（162M220）2=81M210a、M2=2M0时，4M1=32M25=64M0581M210=162M010（162M010）2= 81M05M0=2M31时，4M1=32M25=64M05=128M36981M05=162M386（162M386）2= 81M343128M369于是，当M=8M21，M2=2M0=4M32，即M=32M317时，4M1有“1/32”