全国Ⅱ卷,高考文科数学试卷.pdf

2010201020102010 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学文科数学 全国全国 卷卷 第 卷 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 1 2010 全国卷 文 1 设全集U x N N N N x 6 集合A 1 3 B 3 5 则 U A B 等于 A 1 4 B 1 5 C 2 4 D 2 5 答案 C 2 2010 全国卷 文 2 不等式 2 3 x x 0 的解集为 A x 2 x 3 B x x 2 C x x3 D x x 3 答案 A 3 2010 全国卷 文 3 已知 sin 3 2 则 cos 2 等于 A 3 5 B 9 1 C 9 1 D 3 5 答案 B 4 2010 全国卷 文 4 函数y 1 ln x 1 x 1 的反函数是 A y ex 1 1 x 0 B y ex 1 1 x 0 C y ex 1 1 x R R R R D y ex 1 1 x R R R R 答案 D 5 2010 全国卷 文 5 若变量x y满足约束条件 523 1 yx xy x 则z 2x y的最大值为 A 1B 2C 3D 4 答案 C 6 2010 全国卷 文 6 如果等差数列 an 中 a3 a4 a5 12 那么a1 a2 a7等于 A 14B 21C 28D 35 答案 C 7 2010 全国卷 文 7 若曲线y x2 ax b在点 0 b 处的切线方程是x y 1 0 则 A a 1 b 1B a 1 b 1 C a 1 b 1D a 1 b 1 答案 A 8 2010 全国卷 文 8 已知三棱锥S ABC中 底面ABC为边长等于 2 的等边三角形 SA 垂直于底面ABC SA 3 那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为 A 4 3 B 4 5 C 4 7 D 4 3 答案 D 9 2010 全国卷 文 9 将标号为 1 2 3 4 5 6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中 若每个信 封放 2 张 其中标号为 1 2 的卡片放入同一信封 则不同的放法共有 A 12 种B 18 种C 36 种D 54 种 答案 B 10 2010 全国卷 文 10 ABC中 点D在边AB上 CD平分 ACB 若CB a a a a CA b b b b a a a a 1 b b b b 2 则CD等于 A 3 1 a a a a 3 2 b b b bB 3 2 a a a a 3 1 b b b b C 5 3 a a a a 5 4 b b b bD 5 4 a a a a 5 3 b b b b 答案 B 11 2010 全国卷 文 11 与正方体ABCD A1B1C1D1的三条棱AB CC1 A1D1所在直线 的距离相等的点 A 有且只有 1 个B 有且只有 2 个 C 有且只有 3 个D 有无数个 答案 D 12 2010 全国卷 文 12 已知椭圆C 2 2 a x 2 2 b y 1 a b 0 的离心率为 2 3 过右焦点F且 斜率为k k 0 的直线与C相交于A B两点 若AF 3FB 则k等于 A 1B 2C 3D 2 答案 B 第 卷 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 把答案填在答题卡的相应位置 13 2010全国卷 文13 已知 是第二象限的角 tan 2 1 则cos 答案 5 52 14 2010 全国卷 文 14 x x 1 9的展开式中 x3的系数是 答案 84 15 2010 全国卷 文 15 已知抛物线C y2 2px p 0 的准线l 过M 1 0 且斜率为3的直 线与l相交于A 与C的一个交点为B 若AM MB 则p 答案 2 16 2010 全国卷 文 16 已知球O的半径为 4 圆M与圆N为该球的两个小圆 AB为圆 M与圆N的公共弦 AB 4 若OM ON 3 则两圆圆心的距离MN 答案 3 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 2010 全国卷 文 17 ABC中 D为边BC上的一点 BD 33 sinB 13 5 cos ADC 5 3 求AD 解 由 cos ADC 5 3 0 知B0 故q 2 a1 1 所以an 2n 1 2 由 1 知 bn an n a 1 2 an2 2 1 n a 2 4n 1 1 4 1 n 2 因此 Tn 1 4 4n 1 1 4 1 1 4 1 n 2n 14 14 n 4 1 1 4 1 1 n 2n 3 1 4n 41 n 2n 1 19 2010 全国卷 文 19 如图 直三棱柱ABC A1B1C1中 AC BC AA1 AB D为BB1的中 点 E为AB1上的一点 AE 3EB1 A B C D A 1 B 1 C 1 E 1 证明DE为异面直线AB1与CD的公垂线 2 设异面直线AB1与CD的夹角为 45 求二面角A1 AC1 B1的大小 解法一 1 证明 连结A1B 记A1B与AB1的交点为F 因为面AA1B1B为正方形 故A1B AB1 且AF FB1 又AE 3EB1 所以FE EB1 又D为BB1 的中点 故DE BF DE AB1 A B C D A 1 B 1 C 1 E K H F G 作CG AB G为垂足 由AC BC知 G为AB中点 又由底面ABC 面AA1B1B 得CG 面AA1B1B 连结DG 则DG AB1 故DE DG 由三垂线定理 得DE CD 所以DE为异面直线AB1与CD的公垂线 2 因为DG AB1 故 CDG为异面直线AB1与CD的夹角 CDG 45 设AB 2 则 AB1 22 DG 2 CG 2 AC 3 作B1H A1C1 H为垂足 因为底面A1B1C1 面AA1C1C 故B1H 面AA1C1C 又作HK AC1 K为垂足 连结B1K 由三垂线定理 得B1K AC1 因此 B1KH为二面角 A1 AC1 B1的平面角 B1H 11 2 11 2 1111 2 1 CA BACABA 3 22 HC1 2 1 2 11 HBCB 3 3 AC1 22 3 2 7 HK 1 11 AC HCAA 73 32 tan B1KH HK HB1 14 所以二面角A1 AC1 B1的大小为 arctan14 解法二 1 证明 以B为坐标原点 射线BA为x轴正半轴 建立如图所示的空间直角坐标 系B xyz A B C D A 1 B 1 C 1 E x y z 设AB 2 则A 2 0 0 B1 0 2 0 D 0 1 0 E 2 1 2 3 0 又设C 1 0 c 则DE 2 1 2 1 0 AB1 2 2 0 DC 1 1 c 于是DE AB1 0 DE DC 0 故DE B1A DE DC 所以DE为异面直线AB1与CD的公垂线 2 因为 AB1 DC 等于异面直线AB1与CD的夹角 故AB1 DC AB1 DC cos45 即 22 2 2 c 2 2 4 解得c 2 故AC 1 0 2 又 1 AA 1 BB 0 2 0 所以 1 AC AC 1 AA 1 2 2 设平面AA1C1的法向量为m m m m x y z 则m m m m 1 AC 0 m m m m 1 AA 0 即 x 2y 2z 0 且 2y 0 令x 2 则z 1 y 0 故m m m m 2 0 1 设平面AB1C1的法向量为n n n n p q r 则 n n n n 1 AC 0 n n n n AB1 0 即 p 2q 2r 0 2p 2q 0 令p 2 则q 2 r 1 故n n n n 2 2 1 所以 cos m m m m n n n n n n n nm m m m n n n nm m m m 15 1 由于 m m m m n n n n 等于二面角A1 AC1 B1的平面角 所以二面角A1 AC1 B1的大小为 arccos 15 15 20 2010 全国卷 文 20 如图 由M到N的电路中有 4 个元件 分别标为T1 T2 T3 T4 电流 能通过T1 T2 T3的概率都是p 电流能通过T4的概率是 0 9 电流能否通过各元件相互独立 已知 T1 T2 T3中至少有一个能通过电流的概率为 0 999 M N T 2 T 3 T 1 T4 1 求p 2 求电流能在M与N之间通过的概率 解 记Ai表示事件 电流能通过Ti i 1 2 3 4 A表示事件 T1 T2 T3中至少有一个能通过电流 B表示事件 电流能在M与N之间通过 1 A 1 A 2 A 3 A A1 A2 A3相互独立 P A P 1 A 2 A 3 A P 1 A P 2 A P 3 A 1 p 3 又P A 1 P A 1 0 999 0 001 故 1 p 3 0 001 p 0 9 2 B A4 4 A A1 A3 4 A 1 A A2 A3 P B P A4 4 A A1 A3 4 A 1 A A2 A3 P A4 P 4 A A1 A3 P 4 A 1 A A2 A3 P A4 P 4 A P A1 P A3 P 4 A P 1 A P A2 P A3 0 9 0 1 0 9 0 9 0 1 0 1 0 9 0 9 0 989 1 21 2010 全国卷 文 21 已知函数f x x3 3ax2 3x 1 1 设a 2 求f x 的单调区间 2 设f x 在区间 2 3 中至少有一个极值点 求a的取值范围 解 1 当a 2 时 f x x3 6x2 3x 1 f x 3 x 2 3 x 2 3 当x 2 3 时f x 0 f x 在 2 3 上单调增加 当x 2 3 2 3 时f x 0 f x 在 2 3 上单调增加 综上 f x 的单调增区间是 2 3 和 2 3 f x 的单调减区间是 2 3 2 3 2 f x 3 x a 2 1 a2 当 1 a2 0 时 f x 0 f x 为增函数 故f x 无极值点 当 1 a2 0 时 f x 0 有两个根 x1 a 1 2 a或x2 a 1 2 a 由题意知 2 a 1 2 a 3 或 2 a 1 2 a 3 式无解 式的解为 4 5 a0 b 0 相交 于B D两点 且BD的中点为M 1 3 1 求C的离心率 2 设C的右顶点为A 右焦点为F DF BF 17 证明过A B D三点的圆与x轴 相 切 解 1 由题设知 l的方程为y x 2 代入C的方程 并化简 得 b2 a2 x2 4a2x 4a2 a2b2 0 设B x1 y1 D x2 y2 则x1 x2 22 2 4 ab a x1x2 22 222 4 ab baa 由M 1 3 为BD的中点知 2 21 xx 1 故 2 1 22 2 4 ab a 1 即b2 3a2 故c 22 ba 2a 所以C的离心率e a c 2 2 由 知 C的方程为 3x2 y2 3a2 A a 0 F 2a 0 x1 x2 2 x1 x2 2 34 2 a 0 故不妨设x1 a x2 a BF 2 1 2 1 2 yax 2 2 1 2 1 33 2 axax a 2x1 FD 2 2 2 2 2 yax 2 2 2 2 2 33