北京卷,高考文科数学试卷.pdf

2010201020102010 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学文科数学 北京卷北京卷 第 卷 一 选择题 本大题共 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 在每小题给出的四个选项中 只有一 项是符合题目要求的 1 2010 北京 文 1 集合P x Z Z Z Z 0 xa的概率是 A 5 4 B 5 3 C 5 2 D 5 1 答案 D 4 2010 北京 文 4 若a a a a b b b b是非零向量 且a a a a b b b b a a a a b b b b 则函数f x xa a a a b b b b xb b b b a a a a 是 A 一次函数且是奇函数B 一次函数但不是奇函数 C 二次函数且是偶函数D 二次函数但不是偶函数 答案 A 5 2010 北京 文 5 一个长方体去掉一个小长方体 所得几何体的正 主 视图与侧 左 视图 分别如下图所示 则该几何体的俯视图为 正 主 视图 侧 左 视图 A B C D 答案 C 6 2010 北京 文 6 给定函数 y 2 1 x y 2 1 log x 1 y x 1 y 2x 1 其中在区间 0 1 上单调递减的函数的序号是 A B C D 答案 B 7 2010 北京 文 7 某班设计了一个八边形的班徽 如图 它由腰长为 1 顶角为 的四个等 腰三角形 及其底边构成的正方形所组成 该八边形的面积为 A 2sin 2cos 2B sin 3cos 3 C 3sin 3cos 1D 2sin cos 1 答案 A 8 2010 北京 文 8 如图 正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为 2 动点E F在棱A1B1上 点Q 是棱CD的中点 动点P在棱AD上 若EF 1 DP x A1E y x y大于零 则三棱锥P EFQ的 体积 A A B B C C D D E F P Q 1 1 1 1 A 与x y都有关B 与x y都无关 C 与x有关 与y无关D 与y有关 与x无关 答案 C 第 卷 二 填空题 本大题共 6 小题 每小题 5 分 共 30 分 把答案填在答题卡的相应位置 9 2010 北京 文 9 已知函数y 2 2 2 log2 xx xx 下图表示的是给定x的值 求其对应的函数 值y的程序框图 处应填写 处应填写 开始 输入x 是 否 输出y 结束 yx 2 答案 x 2y log2x 10 2010 北京 文 10 在 ABC中 若b 1 c 3 C 3 2 则a 答案 1 11 2010 北京 文 11 若点P m 3 到直线 4x 3y 1 0 的距离为 4 且点P在不等式 2x y0 且方程f x 9x 0 的两个根分别 为 1 4 1 当a 3 且曲线y f x 过原点时 求f x 的解析式 2 若f x 在 内无极值点 求a的取值范围 解 由f x 3 a x3 bx2 cx d得f x ax2 2bx c 因为f x 9x ax2 2bx c 9x 0 的两个根分别为 1 4 所以 0 36816 092 cba cba 1 当a 3 时 由 式得 0 128 062 cb cb 解得b 3 c 12 又因为曲线y f x 过原点 所以d 0 故f x x3 3x2 12x 2 由于a 0 所以 f x 3 a x3 bx2 cx d在 内无极值点 等价于 f x ax2 2bx c 0 在 内恒成立 由 式得 2b 9 5a c 4a 又 2b 2 4ac 9 a 1 a 9 解 0 9 1 9 0 aa a 得a 1 9 即a的取值范围是 1 9 19 2010 北京 文 19 已知椭圆C的左 右焦点坐标分别是 2 0 2 0 离心率是 3 6 直线y t与椭圆C交于不同的两点M N 以线段MN为直径作圆P 圆心为P 1 求椭圆C的方程 2 若圆P与x轴相切 求圆心P的坐标 3 设Q x y 是圆P上的动点 当t变化时 求y的最大值 解 1 因为 a c 3 6 且c 2 所以a 3 b 22 ca 1 所以椭圆C的方程为 3 2 x y2 1 2 由题意知P 0 t 1 t 1 由 1 3 2 2 y x ty 得x 1 3 2 t 所以圆P的半径为 1 3 2 t 当圆P与x轴相切时 t 1 3 2 t 解得t 2 3 所以点P的坐标是 0 2 3 3 由 2 知 圆P的方程为x2 y t 2 3 1 t2 因为点Q x y 在圆P上 所以y t 22 1 3xt t 1 3 2 t 设t cos 0 则t 1 3 2 t cos 3sin 2sin 6 当 3 即t 2 1 且x 0 时 y取最大值 2 20 2010 北京 文 20 已知集合Sn X X x1 x2 xn xi 0 1 i 1 2 n n 2 对于 A a1 a2 an B b1 b2 bn Sn 定义A与B的差为 A B a1 b1 a2 b2 an bn A与B之间的距离为d A B n i ii ba 1 1 当n 5 时 设A 0 1 0 0 1 B 1 1 1 0 0 求A B d A B 2 证明 A B C Sn 有A B Sn 且d A C B C d A B 3 证明 A B C Sn d A B d A C d B C 三个数中至少有一个是偶数 1 解 A B 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 d A B 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 3 2 证明 设A a1 a2 an B b1 b2 bn C c1 c2 cn Sn 因为ai bi 0 1 所以 ai bi 0 1 i 1 2 n 从而A B a1 b1 a2 b2 an bn Sn 又d A C B C n i iiii cbca 1 由题意知ai bi ci 0 1 i 1 2 n 当ci 0 时 ai ci bi ci ai bi 当ci 1 时 ai ci bi ci 1 ai 1 bi ai bi 所以d A C B C n i ii ba 1 d A B 3 证明 设A a1 a2 an B b1 b2 bn C c1 c2 cn Sn d A B k d A C l d B C h 记O 0 0 0 Sn 由 2 可知 d A B d A A B A d O B A k d A C d A A C A d O C A l d B C d B A C A h