4解读2007年高考试题中的导数问题.pdf

上海中学数学 2 0 0 8 年第5 期 解读2 0 0 7 年高考试题中的导数问题 3 3 1 6 0 0 江西省吉水县金滩中学 导数进入中学数学教材 成为一个很好的 工具 在解决高中数学问题时应用极为方便 尤 其是利用导数来解决函数的单调性问题 求函 数的极值 最值问题 也可以利用导数来解决几 何 物理及实际生活问题 导数的工具性和导数 的几何意义也使得导数与解析几何 不等式 函 数 概率等传统知识联系紧密 在这些知识交汇 点处设计层次不同 难度可控的试题来考查学 生对知识的整体把握和综合能力正成为高考中 新的热点之一 笔者分析了2 0 0 7 年全国各省市 高考数学理科试题 发现高考对导数的考查 可 分为下列几个考点 考点一 导数的定义及其几何意义的应用 解 将 x 刘兴明 0 y 万代入函数y Zc os 二 万 尸口 少 寸 U O万 口一二犷 乙 因为 蕊口 镇要 乙 所以 粤 O 又因为夕 一 Z w s in 二 6 少 二 一 一 2 刀 晋 所 以 w 一 2 因 此 一 Z c o s Z x 晋 考点二 利用导数研究函数的单调性 例3 2 0 0 7 福建卷理科第n题 已知对任意 物 线 一 合 ax 1 斗 第12题 已知一组抛 其中a 为2 4 6 8 中任 例1 2 0 0 7 四川卷理科第 取的一个数 b 为 1 3 5 7中任取的一个数 从 这些抛物线中任意抽取两条 它们在与直线x 1 交点处的切线相互平行的概率是 5 16 D 6 25 C 7 60 B 1 12 A 分析与解 本题是以函数为载体考查导数 概率的一道综合性问题 共有抛物线4 X4二 1 6 条 总的取法有n 日6 120 抛物线 y 1 二 二 二 区 2 州 卜口 尤州 卜1士 tx 乙 二a b 抛物线在x 1 处的导数为了 二 一 1 1 处的切线的斜率k a b 由于2 十3 4 1 2 5 4 3 2 7 4 5 6 3 8 1 6 7 4 7 6 5 8 3 相互平行共有m 以 1 以 二14 其概率为尸 7 一 俞 故 选B 6 1 8 5 1 璐 l 4 1 2 0 m n 例2 2 0 0 7 江西卷理科第 18题 函数y Z c o s 二 夕 x 任R 0 e 要 的图 像与 轴 一 一 一 一 一 一 一 一 2 四 叨萨 交于 点 0 万 且在该点处的 斜率为一2 1 求6 和二的值 2 略 实数x 有f 一x 一f x 9 一x 9 x 且 x 0 时 厂 x 9 x 则x 0 9 x 0 B f x 0 9 x 0 c f x 0 D f x 0 9 x 0 时 厂 x 0 9 x 可得 函数f x 及函 数9 x 在区间 0 co 上单调递增 奇函数的图像关于原点对称 偶函数的 图像关于y 轴对称 函数f x 在区间 一co 0 上单调递增 函数9 x 在区间 一co 0 上单调递减 即当x 0 9 x 0 故应 选 B 例4 2 0 0 7 辽宁卷理科第 22 题 已知函数 f x e Z x 一2 1 产 x x Z 2 t 2 1 9 x 1 月 二 r 吸 X 少 2 D 证明 当t k 时 9 x 在闭区间 a 司上是减 函数 皿 略 1 证明 由题设得9 x 砂 一t 产 1 x 9 x Z e Z x 一扮 x 1 又由Z ez e z 2 万 且t 2 万得t 0 由此可知 9 x 在R上为增函数 n 证明 因 为9 x k 时 9 x Z e Z x 一扮 x 1 2 护 x 在闭区间 a 司上成立即可 因为y Z ex e 在闭区间 a 习上连续 故在闭区间 a 司有最大值 设其为k 于是在t k 时 9 x 时 令厂 x 得到x l 一 生 x Z 一 当 二 变 化 时 厂 二 f 二 的 变 化 情 况如下表 证明所有极值之和大于 解 f x 的定义域为 一a 十co 厂 x 2 x 2 2 盯 1 x a 方程2 护 Z ax 1 0 的判别式 X 一 co 一 止 l 一 上 a a 二 a 卜 X 0 0 f x 极小值尸极大值 4 护 一 n 若对所有x 0 都有f al 求a 的取 值范围 解 令9 x f x 一 二 则了 x 厂 x 一 a二 ex 一 必 一 工一 a 1 若a 2 当x 0 时 9 x 产一 e 一a 2 一a 0 故9 x 在 0 co 上为增函 数 所以 x 0 时 9 x 9 0 即f x ax i1 若a 2 方程9 x 的正根为xl in 例8 2 0 0 7 福建卷理科第19题 某公司经销 某种品牌产品 每件产品的成本为3 元 并且每 件产品需向总公司交a 元 3 a 5 的管理 费 预计当每件产品的售价为x 元 9簇x 簇1 1 时 一年的销售量为 12一x 2 万件 1 求分公司一年的利润L 万件 与每件 产品的售价x的函数关系式 n 当每件产品的售价为多少元时 分公 司一年的利润L最大 并求出L的最大值Q a 解 1 分公司一年的利润 L 万元 与售 价x的函数关系式为 L x一3 一a 12 一 x 2 x任 9 1 2 11 L x 1 2 一x 2 一2 x 一3 一a 1 2 一x 1 2一x 1 8 Z a一3 x 令L 一 得 二 一 6 粤 或 x 一 1 2 不 合 题 一一 一一 3一一 一一 州一 意 舍弃 3 簇 5 簇 6 普 譬 两侧L 的值由正变负 所以 2 9 L 气 1 白 石饭 盏0 t 犷 召 瑞 胜 pJ妄 之a 福二 二口 丁 j L m a 二 L 9 9 一3 一a 1 2 一9 2 9 6 一a 2 2 8 9 2 当 毛6 亏 a 爹即 言 a 5 时 a 了 a Z 一4 2 此时 若x任 0 x l 时 9 x L 一 6 寻 2 二 L O州 卜二 二口一 J一 口 L l 一 气 0 j一 r 少 L 一 了 a 了 Q 9 0 0 即f x ax 与题设f x ax相矛 盾 综上所述 满足条件的a的取值范围是 一 co 2 2 寸 二 于a j一 4 3 一 李 3 3 所以 9 以 b一 忍 j 乓 竺 口 女t于 乙 考点六 利用导数研究函数应用题中 的优化问题 二 1 4叹 J一气尸a夕