2015考研模拟试卷数学一(1)答案.pdf

全国硕士研究生入学统一考试数学一模拟试卷 1 解答 1 一 选择题 1 8 小题 每小题 4 分 共 32 分 下列每小题给出的四个选项中 只有一个选项符合题目要求 请将所选项前的字母填在题后括号位置上 1 答案答案答案答案 B 考点考点考点考点 拐点的概念 Rolle 中值定理 解析解析解析解析 y为 6 次多项式 从而 y是 4 次多项式 方程 0y 的单根必为曲线拐点的横坐标 但其二重根 却不是拐点的横坐标 对函数 24 1 yxx 在区间 0 1 上应用 Rolle 定理 存在 0 1 是导数 y的零点 而点0 x 和1x 也是导数 y的零点 再对函数 y分别在区间 0 和 1 上应用 Rolle 定理 存在 1 0 和 2 1 是 方程 0y 的根 注意到点1x 是方程 0y 的 2 重根 所以 1 和 2 均为方程 0y 的单根 从而所求曲线 的拐点为两个 2 答案答案答案答案 C 考点考点考点考点 交错级数的 Leibniz 判别法 正项级数的收敛原理 幂级数的收敛区间和收敛域 解析解析解析解析 按 Abel 定理 幂级数 1 1 n n n ax 的收敛区间为 1 1 RR 其中R为收敛半径 根据 Leibniz 判别法 交错级数 1 1 n n n a 收敛 幂级数 1 1 n n n ax 在2x 处收敛 根据正项级数的收敛原理 1 n nn k Sa 无界 幂级数 1 1 n n n ax 在0 x 处发散 综上 幂级数 1 1 n n n ax 的收敛域为 2 0 3 答案答案答案答案 A 考点考点考点考点 二元函数取得极值的充分条件 解析解析解析解析 由于 0 0 0 0 0 x y x y z fx g y x 0 0 0 0 0 x y x y z f x g y y 因此点 0 0 为驻点 而 全国硕士研究生入学统一考试数学一模拟试卷 1 解答 2 2 0 2 0 0 0 0 0 0 x y x y z Afx g yfg x 2 0 0 0 0 0 0 x y x y z Bfx g xfg x y 2 0 2 0 0 0 0 0 0 x y x y z Cf x gyfg y 因此 当 0 0 0fg 时 有 22 0 0 0ACBfg 即点 0 0 不是极值点 4 答案答案答案答案 B 考点考点考点考点 定积分的比较 指数函数的单调性 解析解析解析解析 当0 2 x 时 有sintanxxx sintan 222 000 xxx edxe dxedx 5 答案答案答案答案 B 考点考点考点考点 本题考查的是初等变换和初等矩阵 解析解析解析解析 由A的第 2 行加到第 1 行得B 有 1 1 110 010 001 ABAP B 交换B的第 2 列与第 3 列 得到单位矩阵得 1 22 100 001 010 BEBPP 1 12 AP P 6 答案答案答案答案 D 考点考点考点考点 本题考查的是线性齐次方程组的基础解系与矩阵的秩 解析解析解析解析 因为 1 1 0 0 T是方程AXO 的一个基础解系 故有 3r A 且 12 0 所以 1r A 而 21 线性相关意味着 A C 不正确 又 1234 A AAA EO 故 4321 是的OXA 解 又OXA 的基础解系含线性无关解的个数为3 4 Ar 选 D 7 答案答案答案答案 D 全国硕士研究生入学统一考试数学一模拟试卷 1 解答 3 考点考点考点考点 分布函数与概率密度的性质 解析解析解析解析 f x为密度函数的充要条件是 0f x 且 1f x dx 故选 D 8 答案答案答案答案 A 考点考点考点考点 相关系数的计算 解析解析解析解析 因为X和Y分别表示出现奇数点和出现偶数点的次数 所以YnX 故X和Y的相关系数等于 1 应选 A 二 填空题 9 14 小题 每小题 4 分 满分 24 分 请将答案写在题后横线位置上 9 答案答案答案答案 ln 12 考点考点考点考点 计算曲线的弧长 变限积分的导数 解析解析解析解析 22 2222 4444 1 1cotcscln csccot ln 12 sydxxdxxdxxx 10 答案答案答案答案 sin x ex 考点考点考点考点 求解一阶线性微分方程初值问题 解析解析解析解析 由一阶线性微分方程通解公式 得 coscos sin dxdx xxx yeCexedxeCxdxe Cx 由 0 0y 得0C 因此sin x yex 11 答案答案答案答案 1 12ln2 4 考点考点考点考点 变上限积分函数求导数 计算二阶偏导数 解析解析解析解析 2222 2 ln 1 lnln 1 y Fyyxxyx yxxxy x 222 2 2222 2 lnln yxy xyxxy Fx xy xxy 2 2 1 1 1 12ln2 4 x y F x 12 答案答案答案答案 0 考点考点考点考点 计算空间闭曲线积分 Stokes 公式 全国硕士研究生入学统一考试数学一模拟试卷 1 解答 4 解析解析解析解析 设S是平面xy 位于柱面 22 1yz 内的部分 在yoz平面的投影 22 1 Dy z yz 方向与x轴成锐角 根据 Stokes 公式 2322 23 30 1 LS dydzdzdxdxdy x y dxdyzdzx y dxdy xyz x yz 注 S与xoy平面垂直 13 答案答案答案答案 2 考点考点考点考点 本题考查的是正惯性指数 解析解析解析解析 f的矩阵表示为 112 150 205 求得矩阵的特征值为 5 6 0 因此f的正惯性指数为 2 14 答案答案答案答案 22 考点考点考点考点 随机变量数字特征的计算 解析解析解析解析 因为二维随机变量 X Y服从 22 0 N 因此X与Y相互独立 故 2222 E X YE XE Y 三 解答题 15 23 小题 共 94 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 15 考点考点考点考点 计算极限的方法 L Hospital 法则 常用的等价无穷小和重要极限 解析解析解析解析 利用 L Hospital 法则 有 32 00 sin11cos1 limlim 36 xx xxx xx 因此 3 1 sin 6 xxx 从而 3 0 3 0 1 sin 6 1 lim 1 cos sin 11 lim 1 cossin 1 cos 32 00 sinsin limlim1 x x x x x x xx x x xx xx xx xx xxx eee xx 16 考点考点考点考点 求复合函数的高阶偏导数 解析解析解析解析 12 2 1 zg y ff xyx 2 1111222122 22222 11 zxg yg yg yxg y ffffff x yyyyxxxyx 由于 1 1g 为极大值 因此 1 0g 于是 2 11121 1 1 1 1 1 1 1 1 x y z fff x y 17 考点考点考点考点 导数的应用 讨论方程的根 全国硕士研究生入学统一考试数学一模拟试卷 1 解答 5 解析解析解析解析 令 1 1f xkx x 0 x 则 2 1 fxk x 3 2 0fx x 时 0fx 且 0 lim lim x x f xf x 方程有唯一正实数根 2 分 当0k 时 1x 为方程唯一的正实数根 1分 当0k 时 曲线 yf x 上凸 且最大值点为 0 1 x k 最大值 0 1 2f xk 2 分 当 1 4 k 时 最大值 0 0f x 时 最大值 0 0f x 方程有两个正实数根 1 分 18 考点考点考点考点 Lagrange 中值定理 数列极限的单调有界原理 解析解析解析解析 I 对于 2f xx 在区间 1 n n 上应用 Lagrange 中值定理 1 n n 使得 1 21 111 1 nn nn 11 21 1 nn nn 4 分 评注评注评注评注 这里的不等式也可以使用分子有理化等方法直接证明 II 由于 1 1 2 1 0 1 nn aann n 2212nn 因此 n a有下界2 根据单调有界原理 数列 n a收敛 6 分 19 考点考点考点考点 二元复合函数求导法则 交换二重积分的积分次序 分部积分法 解析解析解析解析 I 令 tf t t 则 0 xy tf t tft t 全国硕士研究生入学统一考试数学一模拟试卷 1 解答 6 因此 t 为常值函数 从而 1 1 1 f t ttfa 3 分 II 将所求二重积分化为累次积分 并利用分部积分法 得 1 00 y xyxy D xyfx y dyxfx y dx dy 111 0000000 yyyx y yyyy x yxdfx ydyy xfx yfx y dx dyydyfx y dx 1111 1 00 y y x xx dxydf x yyf x yf x y dy dx 1 0 1 D f xxf x x dxf x y dxdy 1 0 1 1 2 axdxaa 7 分 20 考点考点考点考点 本题考查的是向量组能否线性表示的问题转化为线性方程组是否有解的问题 解析解析解析解析 I 向量组 321 不能由向量组 1 2 3 线性表出相当于至少有一个向量 321 i i 不能由 1 2 3 线性表出 因此 3 个线性方程组 112233i xxx 1 2 3i 至少有一个会无解 将矩阵 321321 化为行阶梯形矩阵 582 2 400 222 2 220 22222 2 2 a a a a a a a 应有0 2 4 2 a a 即2 a或4 a II 当2 a时 显然有 321321 001 当4 a时 将矩阵 321321 化为行最简形矩阵 224100 022010 011001 得 3211 42 3212 22 33 2 21 考点考点考点考点 本题考查的是矩阵的相似对角化的问题 反求矩阵A 全国硕士研究生入学统一考试数学一模拟试卷 1 解答 7 解析解析解析解析 I 由 22 12 21 22 12 21 A知1 1 21 是A的特征值 其相应的特征向量分别为 11 1 2 2 k 1 0k 22 2 1 2 k 2 0k 由0 A知0 3 是A的特征值 设相应于0 3 的特征向量为 T xxx 3213 则 21 31 从而 123 123 220 220 xxx xxx 333 2 2 0 1 kk II 将 123 单位化 得正交矩阵 122 1 212 3 221 Q 因此 0 1 1 AQQT 1102 1 1012 3 0220 T AQQ 22 考点考点考点考点 离散型二维随机变量的概率分布 随机变量函数的分布及其数字特征的计算 解析解析解析解析 I 评注评注评注评注 红色的得数 结合边缘分布律获得 X Y 0 1 i p 1 1 4 0 1 4 0 0 1 2 1 2 1 1 4 0 1 4 j p 1 2 1 2 1 1 1 1 全国硕士研究生入学统一考试数学一模拟试卷 1 解答 8 II XY 1 0 1 P