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2011-2012学年第二学期数学物理方法试卷A答案一、选择题1. C 2. D 3. C 4. A 5. C二、填空题1、 或过(2,0)点以为斜率的直线和过(3,0)点以为斜率的直线所围成的上开口梯形区域.2、 .3、 4、，5、 三、（本题15分）利用分离变量法求解如下定解问题：第一步：分离变量 (5分)设，代入方程可得，其中为常数。将代入边界条件得从而可得特征值问题第二步：求解特征值问题 (5分)1) 若，方程的通解形式为：由定解条件知，从而，不符合要求。2) 若，方程的通解形式为：由边界条件知，从而。3) 若，方程的通解形式为：代入边界条件得从而得特征值问题的一系列特征值及相应的特征函数将每特征值代入函数满足的方程可得出相应的解第三步：叠加，确定叠加系数 (5分) 由初始条件得：故原方程的解为四、（本题10分）设，利用行波法求解下列初值问题：解：（一）、求特征线，做特征变换： (5分)问题中方程对应的特征方程为：则可得特征线为：以及做特征变换则原方程可化为：（二）、积分求“通解” (2分)也即（三）、由定解条件，确定未知函数 (3分)由定解条件：解得：所以，五、（本题15分）利用Green函数法求解如下狄氏问题：解：（一）、用电像法求格林函数 (9分)在的空间上放一正单位点电荷，在边界上产生的电位为。关于边界的对称点记作，在处放置电量为负电荷，其在边界上的电位为。a) 的坐标为 b) 为了使边界上的电位为零，也即，由于，所以c)由于在内调和，在上具有连续的一阶偏导数，则得格林函数：（二）、对格林函数求法向导数 (3分)（三）、求解 (3分)六、（本题15分）用变换法求解定解问题：已知，其中。解：第一步：通过Laplace变换将原问题化为常微分方程定解问题 (8分)由题意知，需取关于时间t取拉普拉斯变换，记，对原问题取拉普拉斯变换可得 第二步：解此常微分方程定解问题 (5分)上常微分方程的通解为 再由定解条件可得，从而第三步：取Laplace逆变换得原定解问题的解 (2分) 七、（本题15分）求解下列定解问题 解：设，代人定解问题，得下面两个问题. 和 解方程得：， (5分)把解代人方程，解方程，采用分离变量法，设：，代入方程，得下面两个常微分方程： 解方程（1）得： 把代人方程（2），解得 由解的叠加原理，设 （3） (8分)
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