数学北师大版八年级下册3. 线段的垂直平分线.doc

1.3 线段的垂直平分线郑州市第七十三中学 李志苹第一章 三角形的证明郑州市第七十三中学 李志苹教学 课题：1.3 线段的垂直平分线教学目标：（1） 教学知识点 1.证明线段垂直平分线的性质定理，能运用定理进行有关计算和证明. 2.探索并证明线段的垂直平分线的逆定理,能用逆定理进行有关计算和证明. 3.能运用线段垂直平分线的定理及逆定理解决实际问题.（二）能力训练要求 经历探索、发现、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明能力. （三）情感价值观要求 1.通过小组活动，学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果. 2.通过探究活动，引起学生学习的兴趣，并在今后的学习中，学会利用数学来解决实际问题。教学重点：线段垂直平分线的性质定理的证明及应用教学难点：线段垂直平分线性质定理的逆定理的证明及应用教学方法：自学、讨论、引导法.教学过程：.巧设情境，引入新课师“数学来源于生活，又服务于生活”，今天早上花花牛站长请教老师一个问题.用PPt展示问题，对学生提出目标，相信学完本节课的内容之后我们就可以帮花花牛站长解决她的困惑。引出本节课的课题，1.3线段的垂直平分线（1）（板书）师我们先来了解本节课的学习目标.老师展示学习目标.生齐读：学习目标： 1.证明线段垂直平分线的性质定理，能运用定理进行有关计算和证明. 2.探索并证明线段的垂直平分线的逆定理,能用逆定理进行有关计算和证明. 3.能运用线段垂直平分线的定理及逆定理解决实际问题.讲授新课师带着我们的学习目标让我们开启今天的数学学习之旅吧！1、 复习回顾师其实我们在七年级下册的时候已经对线段的垂直平分线有了一些了解，让我们先来完成下面的两道题.(ppt展示)1. 折一折：请同学们画线段AB，并动手折出AB的对称轴.2. 线段的垂直平分线的定义:_师怎样用折纸的方法找出线段AB的对称轴呢？生用圆规的尖或用笔尖扎线段的两个端点，然后对折让两个端点对齐，则折痕即为线段AB的对称轴。师我们找出的这条对称轴其实就是线段的什么？生线段的垂直平分线师哪位同学可以想起线段垂直平分线的定义？生垂直且平分一条线段的直线.师老师补充并板书，线段垂直平分线的定义.并让学生从定义中发现线段垂直平分线的性质.生垂直，平分这条线段.师线段的垂直平分线除了这两个性质之后还有其他的性质吗？（激发学生学习的兴趣，为下面的探究做好铺垫）.【收获】线段的两个基本性质：1.垂直于一条线段.2.平分这条线段.下面让我们继续我们的数学之旅吧！进行我们的第二个学习环节：二、合作探究探究一：线段垂直平分线的性质在线段AB的垂直平分线MN上任取一点P，连接PA,PB,量一量PA,PB的长，能发现什么？再任取一点Q，连接QA和QB,结论一样吗？生动手操作，直尺或三角板测量发现PA=PB,QA=QB.师能否得到线段垂直平分线的性质呢？生线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.师这是我们猜想，且测量的结果有时难免有误差，你能给出更有力的方法验证这个命题的正确性吗？先分析猜想的命题的条件和结论.生条件是：线段垂直平分线上的点；结论是：到线段的额两个端点的距离相等.通过讨论和思考，引导学生分析并写出已知、求证的内容。师哪位同学来证明这个命题呢？生已知：如图：直线MN垂直平分线段AB,P是MN上任一点，求证PA=PB.证明：MNAB PCA=PCB=90AC=BC PC=PC APCBPC(SAS) PA=PB(全等三角形的对应边相等)师这位同学用我们学过的三角形全等的知识解决了问题。证明了我们猜想的命题是一个真命题，这就是我们学习的-线段垂直平分线的性质定理.性质定理师用的时候怎么用呢？PA=PB点P在线段AB的垂直平分线上符号语言：点P在线段AB的垂直平分线上 PA=PB师你学会了吗？生学会了.师让我们来检测下，完成学以致用一.学以致用一：1.如图2,在ABC中,AB=AC,MN垂直平分AB.(1) 若BN=10,则AN=_(2) (2)若A=40,则1=_2=_3=_ (3)若AB=14,BCN的周长是26,则BC=_ 图22.如图3，在ABC中，BAC=120,AB=AC, BC=12,AB的垂直平分线交BC边于点E,AC的垂直平分线交BC边于点N.(1) 求AEN的周长.(2) 求EAN的度数.(3) 判断AEN的形状.变式1.在ABC中，BAC=130,AB=AC, BC=12,AB的垂直平分线交BC边于点E,AC的垂直平分线交BC边于点N.(1) 求AEN的周长.(2) 求EAN的度数.(3) 判断AEN的形状.变式2.在ABC中，BAC=130,BC=12,AB的垂直平分线交BC边于点E,AC的垂直平分线交BC边于点N.(1) 求AEN的周长.(2) 求EAN的度数. 图3 师点评：第2题和它的两道变式题中发现：三道题由特殊到一般，从顶角是120的等腰三角形到顶角是钝角的一般的等腰三角形到一般钝角三角形，AEN的形状也不断的变化，EAN的度数也变化，但AEN的周长不变，因此得出结论：1）AEN的周长=BC长.2）AEN的形状变化规律是由等边三角形到等腰三角形到一般三角形，与ABC的形状有关.3）EAN的度数与BAC的度数有关.因为EAN=180-2B-2C=180-2（B+C）=180-2（180-BAC）=2BAC -180.从等式中也得出BAC必须大于90.师总评：从上述两道例题中得出无论是图形变化还是题目条件变化，都和基本图形及由基本图形得出的结论有关.因此同学们在以后的学习或解题中，善于在复杂图形中找出基本图形，这样就会将图形简单化.应用由基本图形得出的相关结论，就会找出解题思路.探究二：线段垂直平分线的逆定理师我们经历了学以致用环节之后，我们对线段的垂直平分线的性质定理有了进一步的认识，让我们再回过头来看这个定理： 线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等.问题：如果交换定理的条件和结论，会得到一个什么样的命题？它是真命题吗？生原命题的条件是线段垂直平分线上的点，结论是到线段两个端点距离相等.交换条件和结论之后的命题就是：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上.师它是真命题吗？能不能用所学的知识来证明它呢？小组合作探究.经激烈的谈论之后：生已知，如图，线段AB,PA=PB,求证：点P在线段AB的垂直平分线上.证明：过点P作AB边上的高PC 在RtPCA和RtPCB中： PC=PC,PA=PB RtPCARtPCB(HL) AC=BC(全等三角形的对应边相等) 点P在线段AB的垂直平分线上生补充：作辅助线的方法一样： 过点P作AB边上的高PC， PA=PB PC平分AB（等腰三角形“三线合一”） 点P在线段AB的垂直平分线上师第一位同学用全等方法得AC=BC,而第二位同学直接根据等腰三角形的性质得到AC=BC，方法上更巧妙，就如我们今天学习的性质定理一样，在以后的应用上就可以直接用了.师这道题还有没有其他的证明方法呢？辅助线的作法唯一吗？作为一个思考题，大家课后探究下.师我们已经证明了该命题的正确性，它就是性质定理的逆定理，用的时候怎么用呢？逆定理点P在线段AB的垂直平分线上PA=PB符号语言：PA=PB点P在线段AB的垂直平分线上师你掌握住了吗？生掌握了.师让我们来检测下，完成学以致用二.学以致用二：1.(1)用尺规作出线段AB的垂直平分线 (2)用所学的知识解释做出的直线为什么是线段AB的垂直平分线?2.已知:如图5,在 ABC 中,AB = AC,O 是 ABC 内一点,且 OB = OC.求证：直线 AO 垂直平分线段BC. 图5师学完两个定理的证明及两个定理的简单应用之后，你能解决花花牛站长的困惑吗？生把我们学校和领航学校分别看作两个点A,B连接AB,作线段AB的垂直平分线，垂直平分线与航海路的交点就是奶站应建的位置.师我们用线段垂直平分线的性质定理解决了生活中的实际问题，帮了花花牛站长一个大忙，给自己这个伟大的设计师一个掌声鼓励吧！师现在让我们再帮花花牛站长一个问题吧！三、延伸迁移花花牛公司除了要向中原领航实验学校A、七十三中学B提供牛奶外，为了扩大业务，还要向闫垌小学C提供牛奶，奶站应建在什么地方,才能使它到三个学校的距离相等？四、学习小结：同学们，经历了课上的探究活动，你有哪些收获？今后你会选择什么样的方法解决数学和生活中的问题呢？（学生畅所欲言）师在完成性质定理和判定定理的证明及简单的应用后，引导学生进行总结：（1）线段的垂直平分线可以看成是到线段两个端点距离相等的所有点的集合。（2）到一条线段两个端点的距离相等个点在这条线段的垂直平分线上因此只需作出这样的两个点即可做出线段的垂直平分线。同学们通过本节课的学习，不仅学会了线段垂直平分线的性质定理和逆定理的证明过程，还要会用用数学知识来解决实际问题。下面我们检查一下大家这节课的收获，请完成当堂检测。【收获】探索-发现-猜想-证明是一种重要的数学方法.线段的垂直平分线的性质定理和逆定理的证明及应用.五、当堂检测1.已知，如图6，ABC的周长为19cm，AC的垂直平分线DE交BC于D，E为垂足，AE=3cm，则ABD的周长为_cm 图62.已知，如图7，已知：在中，AB、BC边上的垂直平分线相交于点P. 求证：点P在AC的垂直平分线上. 图7 3.已知，如图8，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置? 图 8 师哪位同学分享一下你的答案？生学生的分享.师同学们在以上的学习环节表现的非常棒！用我们所学的数学知识解决了实际问题.希望把这种学习劲头发扬下去，接下来是老师送给学生们的话.同学们：在学习本节课的过程中，我们用“探索-发现-猜想-证明”的方法共同经历了线段的垂直平分线的性质定理和逆定理的探究过程，享受了探索数学几何问题的成就感。 生活中还有许多数学奥秘等着我们去探索，去发现。同学们,努力吧,相信自己！ “我是最棒的!”六、板书设计1.3线段的垂直平分线一.定义 二性质定理性质定理 逆定理点P在线段AB的垂直平分线上PA=PB逆定理符号语言：三、谈谈你的收获！四、当堂检测七、课后反思本节课是建立在“以学生的发展为本，为学生的终身学习奠定基础”的教育理念上，融入了新课标的思想内涵，尊重学生的直观感觉，并从学生的直观感觉出发逐步将学生的思维引向严密性、逻辑证明等方面，因此在设计中突出体现了学生的主体地位.在学习过程中，力求让学生学会将生活问题数学化，首先用一个生活实例，引起学生的兴趣，调动起学生学习的积极性。在复习回顾中，先让学生回顾七年级线段的对称轴，由对称轴引出线段的垂直平分线的定义，由线段的垂直平分线的定义得线段的垂直平分线的两个性质：垂直和平分.继续追问学生，除了这两个性质之外还有其他的性质吗？引出合作探究一：线段的垂直平分线的性质定理.在合作探究活动中， 首先让学生自己动手，在自己折的线段的垂直平分线上任选一点P，连接PA和PB,用直尺测量两条线段的长度，由测量可得PA=PB,由于测量是有误差的，让学生意识到证明的必要性，从而使学生意识到推理论证的必要性；同时也培养了学生“用数学”的意识，并使得学生有一种感受：数学来源于生活，服务于生活。接着在探究二中让学生学会提出问题，若交换性质定理的条件和结论，先得到一个命题，然后再证明命题的正确性，得到性质定理的逆定理.接着用我们所学的两