中学数学直观性教学与生动性教学的实现毕业论文

分类号 论文选题类型 师范类教育研究 U D C 编号 本科毕业论文（设计） 题 目 中学数学直观性教学与生动性教学的 实现 华中师范大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下独立进行研究工作所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包 含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 学位论文作者签名： 日期： 年 月 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保障、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关学位论文管理部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权省级优秀学士学位论文评选机构将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1、保密 ，在 _年解密后适用本授权书。 2、不保密 。 （请在以上相应方框内打“”） 学位论文作者签名： 日期： 年 月 日 导师签名： 日期： 年 月 日 目 录 内容摘要 1 关 键 词 1 1 1 1. 中学数学直观性教学与生动性教学的理论依据及意义 2 2. 中学数学直观性教学的实现 2 抽象概念直观解释 2 高知识的应用性 (模型直观 ) 3 合数学软件教学 4 用图像直观和语言直观 5 用图像直观 5 用语言直观 6 3. 中学数学生动性教学的实现 7 设情境结合苏格拉底“产婆术” 7 计课堂小试验 8 音语调体态 8 合多媒体教学 10 4. 结 语 11 参考文献 12 1 内容摘要 ：本文以高中数学知识的教学为例，主要探讨直观性教学与生动性教学在中学数学教学的实现方式，旨在让学数学变得简单有趣，提高学生的主观能动性，从而促进有效教学的实现。 关 键 词 ：高中数学 直观性教学 生动性教学 In we to by of of We at of of of 2 1. 中学数学直观性教学与生动性教学的理论依据及意义 直观性教学是指在教学过程中，通过实物、模型、语言的形象描写，使学生对要学习的事物形成清晰的表象，丰富学生的感性经验，为学生形成新概念，掌握新规律奠定基础。生动性教学是指用具有活力能感动人的方式进行教学活动。 直观形象利于学生理解记忆抽象的数学结论。在中学数学的教学中，利用语言直观、图像直观、模型直观来处理数学中的一些问题，可以适当降低数学学习的难度。如果直观性教学运用微妙，还可让学生体会代数与几何，数与形的转换联系的奇妙。传统数学课堂是相对比较枯燥的课堂，采取一些措施使课堂生动起来，提高学生的主观能动性，对课堂效率的提高大有裨益。教育心理学研究结果也表明：学习某一份材料， 单凭听觉学习记忆率为 16 %，单凭视觉学习记忆率为 27 %，而视听并用记忆率可达 66%1 。直观性教学和生动性教学再结合起来，我们的数学课堂将会变得简单有趣，学生也会想去学敢去学数学，这样我们数学课的有效教学才能得以实现。 2. 中学数学直观性教学的实现 抽象概念直观解释 中学数学中抽象概念是少不了的，如果能给予这些抽象概念直观解释，学生理解起来将会事半功倍。特别是一些有几何背景的代数概念，用直观的几何解释出来，教学效率将会大大提高。例如高中数学中的导数、定积分的概念，这些都是属于高等数 学的知识，对于高中生来说是一个学习难点，我们可以借助直观解释去突破难点。 在新人教 A 版高中教材 2中，导数是先由变化率提出，再解释其几何意义。笔者认为由导数的几何意义出发，再提出变化率的概念，这样学生更容易接受这个抽象概念。先提出曲线切线的概念，然后去找切线的斜率，最终提出函数在某一点切线的斜率就是函数在该点的导数。如图 1 所示，当 时， 函数)( P 点的割线 趋于函数在 P 点的切线 这条切线的斜率就称为函数 )(点 P 的导数。我国著名数学家徐利治先生说过“无论是从事数学教学或研究，我是喜欢直观的。学习一条数学定理及其证明，只有当我能把定理的直观含义和证明的直观思路弄明白了，我才认为真正懂了” 3。这里是类似的，有了对导数的直观印象之后，再提出变化率的概念，进而揭示导数与变化率的关系，这样学生将会有更深刻的理解。 3 图 1 高知识的应用性（模型直观） 数学是许多学 科的基础学科，是一门应用性很强的学科。在中学数学的教学中，仅仅教授学生抽象的概念、定理，培养其严谨的数学逻辑思维能力，提高做题运算技巧，往往会使学生感到单调乏味。因此在中学数学的教学中加入一些应用性的东西，会使我们的数学“生动”许多，也更利于学生理解应用知识。 在高中数学中，函数的强应用性毋庸置疑，我们一般是由具体的实际问题中抽象出函数模型。类似的还有线性规划，也是从实际应用中抽象出来的模型。所以在讲授此类知识时，我们建议这样处理：先提出一个实际问题，然后抽象出数学模型，再去研究这个数学模型的解法，最后回归 到最初提出的问题，应用研究结果去解决它。如此带着问题学习，带领学生感悟数学知识的发展过程，在解决过程中掌握知识，把“冰冷的美丽”与“火热的思考”结合起来。 例如高中数学计数原理的教学，这一章是一个难点。这一阶段，学生会遇到许多棘手的问题，让他们无从下手，这时教师就可以在模型中教学。我们有“捆绑、插空、插板、分组”等模型，下面以分组模型为例说明在模型中教学。可以大致分为三步进行。 第一步， 2 个人平均分成 2 组。许多同学可能会脱口而出，有 212 C 种分法。实际上， A 和 B 两人分成 2 组就 1 种分法：一组是 A ，另一组是 B 。上面那种算法，是把一组是 A ，另一组是 B 与一组是 B ，另一组是 A 看成了两种分法，但实际上应该是同一种分法。这种错误的算法无意中把组排序了，所以算重复了。正 4 确的算法应是 1221112 分法。类似的 3 人平均分成 3 组，应是 133111213 分法。 第二步， 4 个人平均分成两组。 A ， B ， C ， D 四人分成两组，有 3 种分法： 算式为 3222224 类似的 6 人平均分成 3组，应是 1533222426 分法。至此，可以得出结论：平均分组，选好后要除以组数的阶乘。 第三步， 5 个人分成 3 组，一组 1 人，另两组各 2 人。由“特元优先”的原则，我们先选出一人组，即 15C。余下 4 人分成 2 组，每组各 2 人，这就回归到平均分组问题了，有222224 种分法。所以总共的分法为 1522222415 。 合数学软件教学 随着现代科学技术的发展，多媒体在中学越来越普及。在传统的“黑板教学”中加入数学软件的操作，会激发学生对数学的学习兴趣，能够让学生“提神”。对于中学数学教学来说，专用的数学软件几何画板、超级画板或者 些 几何画板、超级画板或者 了能绘制静态的几何图形外，还可以做一些几何动画。在基本初等函数的性质教学过程中，可以先使用他们做出函数图像，由直观感受到函数性质，再去证明其性质，这样学生的印象会更深刻。再如研究不同底数的指数函数，在同一坐标系中的相对位置。我们可以直接用几何画板先做出一个指数函数的图像，再去变换其底数，学生可以从图像的变换中留下直观的印象。 比较容易操作的可以进行数据分析的软件，必修 3 中均匀随机数、整数值随机数、相关关系的研究等都可用 讲解。超级画板的轨迹功能在圆锥曲线中有许多应用，下面以椭圆为例说明数学软件在教学中的直观应用。 方式 一 ：利用椭圆的基本定义，平面内到两定点距离之和为定值的点的轨迹。 打开超级 画板 ，以 A 为圆心过 B 作圆，在圆内取一点 C，在圆上任取一点D，连接线段 线段 ；过点 E 作线段 垂线交 点 F；作点 D 的动画，再跟踪点 F，观察点 F 运动所得轨迹，如图 2 所示 . 由平面几何知识易知 C 等于圆的半径，这表明点 F 到定点 A 和 C 的距离之和为定值，因此当点 D 在圆上运动时，点 F 的轨迹是以 A、 C 为焦点，以圆半径为长轴的椭圆。 5 图 2 方式二：利用椭圆的参数方程。在学习椭圆概念的过程中， 两个同心圆生成椭圆是学生必须理解和掌握的内容，但教学过程中往往只是教师的描述，没有直观的展示，利用超级画板可以实现这个动态过程 所示，通过这个动态过程的观察和学习，学生 更容易体会到椭圆参数方程 的意义。 图 3 用图像直观和语言直观 用图像直观 图像直观主要是指教师在具体的教学过程中，利用具体的图像对数 学概念进行直观表现。与这一点联系最紧密的当属“数形结合”这一重要的数学思想了。比如涉及函数极值时，把单调性的表格列出后，可以画一副函数图像的草图，这样就容易判断是极大值还是极小值，函数的单调性也更为直观，利于我们分析题目。还有解析几何的教学中，数形结合思想的渗透也是一个重点。再来看一个具 6 体的例子： （ 2013 辽 宁 ， 11 ） 已 知 函 数 22 )2(2)( ，8)2(2)( 22 设 )(),(m a x1 ）（ ， )(),(m ）（ 。记 ）（ 最小值为 A ， ）（ 最大值为 B ，则 ） C. 1622 D. 1622 分析：此题初看起来好像无从下手，但是如果能想到作图，问题就迎刃而解了。 令 )()( 解得 2 2刚好在两个对称轴处相交。 )()(图像如图 4。由图易知， ）（ 最小值是 )2( ）（ 最大值为)2( 故 16)2()2( 答案为 B。 图 4 直观的图像可以促进我们快捷甚至巧妙的解决问题。不仅如此，图像直观还有利于学生理解概念，比如韦恩图在集合教学中的应用。 用语言直观 苏霍姆林斯基在谈到教师的素质时 指出：“教师的语言修养，在很大程度上决定着学生在课堂上的脑力劳动的效率”。语言直观主要是指教师在教学过程中，对抽象的数学概念用形象的语言进行阐释，让学生通过动员和组织原有知识和生活经验，对所学知识形成清晰的表象，深入浅出地理解数学的一种直观教学方法。有的问题用图像也不够直观，但用文字就可以轻易做到。比如积线成面的定积分，这是高等数学的内容，学生不容易理解。我们可以这样解释：正如织布一样，布是一个面，而这个面却是一根一根的细纱紧密排列在一起而成的。“织”与“积”两者原理相近。这样用文字给予数学概念一个表象，学 生就容易接受理解了。再如线面垂直，我们可以用“大漠孤烟直”去想象；直线和圆相切，我们可以用“长河落日圆”去想象。把古诗词融入数学课堂，既给予学生抽象的数学概念的表象，又让学生领略到中国诗词文化的博大精深，这样的课堂必然是直观生动的。 7 3. 中学数学生动性教学的实现 设情境结合苏格拉底“产婆术” 在胡典顺老师等所著数学教学论 4中，介绍了五种创设情景的方式：创设实际问题情境；创设操作、实验、观察的问题情境；从类比猜想中创设情境；立足于数学的内部矛盾，开门见山创设问题情境；立足于数学的概括、抽 象过程及实质，创设问题情境。无论哪种方式，都可以自然生动的导入数学课题。此时，如果再结合苏格拉底的“产婆术”，把问题情境“进行到底”，一节连贯生动的数学课就诞生了。 古希腊著名的哲学家、教育家苏格拉底，在与学生的谈话中，并不直截了当地把学生想知道的结论告诉他们，而是通过讨论、问答甚至辩论的方式进行引导，使得学生自己得出正确的答案。苏格拉底的母亲是一个接生婆，他受母亲影响，把教师形象地比喻为“知识的产婆”，而这种教育方式则被后人称为“产婆术”。 “产婆术”包含三个基本步骤，即讥讽、助产、归纳和定义。讥讽即苏格 拉底通过不断的提问让对方陷入矛盾之中，承认自己的无知；助产是苏格拉底启发、引导学生，使学生自己思考得出结论；归纳与定义是使学生逐渐掌握明确的定义和概念。显然，“产婆术”与新课改的理念是不谋而合的，这里强调情境教学与“产婆术”的结合，下面举例来说明。 这是课题为“直线与平面垂直（ 1）”的一节公开课的教学片断 5。 师：前面我们研究了直线与平面的位置关系，请大家回忆一下，一条直线与一个平面的位置关系有哪几种？ 生：平行、相交和直线在平面内这三种位置关系 . 师：很好！现在请大家观察这里的几幅图片（多媒体分别展示 了： 1 旗杆 2桥柱 3 电视塔 4 比萨斜塔的图片）如果把旗杆、桥柱、电视塔和斜塔分别抽象成直线，而把地面与桥面分别抽象成平面，请问这里的直线与平面都是什么样的位置关系？ 生：都是相交的 追问：与最后一张图片相比，前三张图片中的直线与平面间的位置关系给人的感觉有何特殊性？ 生：垂直 师：那么什么叫做直线与平面垂直？又如何判定直线与平面垂直呢？这就是我们今天这节课将要研究的问题 . 这是创设情境 引入新课了，下面就是施展“产婆术”了。 问题 1 如果比萨斜塔真的倒了，它会向哪个方向倒去？ 生：略 . 8 问题 2 如果从斜塔所在直线与地面上过塔基的直线所成的角度来考察，你认为它为什么会向这个方向倒去？ 生：因为这个方向的角度最小 师：那么前面的旗杆、桥柱、和电视塔为何不会倒？ 生：因为它们与地面或桥面上每个方向上的直线所成的角都相等，都等于 90. 问题 3 由此，你认为什么情况下直线就与平面垂直了呢？ 生：当直线与平面内所有方向上的直线都垂直时，直线就与这个平面垂直 . 问题 4 进一步地，当直线与平面垂直时，这 条直线与平面内的任意一条直线是何位置关系？理由是什么？ 生：因为相互平行的直线与同一条直线所成的角相等，所有这条直线与平面内的任意一条直线都垂直 . 问题 5 这里的“所有”能不能换成“任意”？ 生：可以 . 追问：能不能改为“无数”呢？ 生：不可以 . 这样一气呵成探究式的教学方式，能很好的引导学生发现事物的本质和核心。同时，探究对话式的方式使得数学课堂不那么枯燥死板，可以增强学生的参与性。 计课堂小试验 让学生在玩儿中学知识是教学中的最高境界了，数学课堂也可以做到，如果加入一些小试验。笔者曾经接连 听过两节“随机事件的概率”，一节由一名高级教师讲授，另一节由一名实习生讲授。 高级教师在讲授硬币试验时，让同学们两或三人一组拿出硬币做试验。先是每组抛掷 10 次，统计正面朝上的频率，做完试验的小组直接说出来，由教师记录在黑板上；再是三个小组把试验结果合起来，又得到一组频率；最后是 10 个小组把试验结果合起来，得到一组频率。做试验时，基本上每个学生都参与其中，积极的做试验，统计结果，课堂上非常“热闹”。当然做完试验后，教师再去讲解频率与概率。学生就容易理解并掌握“概率是稳定的，频率是概率的近似”。 实习生在讲授硬 币试验时，只是把教材给的试验过程解释了一遍，最后给出一个条形图，根据条形图再去讲解，并未让学生亲自做试验。课堂上非常“安静”，基本上是教师的“独角戏”。 同样是硬币试验，前者让学生操作了，而后者没有。试验揭示的数学知识必然是前者的学生理解记忆更深刻，因为那是学生自己试验得出的结论。 做试验可以激发学生的学习兴趣，让学生主动参与课堂，让其在玩儿中学到知识。教师引导学生让其自己去探索知识必然会成就生动的课堂。 音语调体态 9 在概念、公理、定理、逻辑推理、论证、数学思想方法等组成的数学知识中，经常有些 关键点需要教师去强调。要突出这些关键点，除了口头强调和做重点记号外，语音语调体态也是很重要的途径。 许多新教师常犯的毛病就是“一节课一个调子”，这样的课学生听着会很累，真正听进去的东西有多少可想而知。老教师讲课就不同，他们讲课有“抑扬顿挫”，有语音语调的调整，这样的数学课堂必然是生动的。学生听起来“有味道”，才能更多的吸收教师传达的数学知识。例如算法中电脑语言“ 1，我们读作“把 1i 赋值给 i ”，停顿不同，重读不同，给出的强调的点也会不同。能通过语音语调的调整让学生潜意识记住你的关键点，这才是高手。 在数学教学中，体态也是尤为重要的。有些运动变化的东西，想办法通过体态表现出来，这样会使我们的数学知识“生动”许多。例如在讲授直线的斜率时，有许多求直线斜率或者倾斜角范围的题目。我们来看一个具体例子： （ 2012青岛模拟）实数 x， y 满足 )31(0523 则小值分别为 _. 分析 ：法一、数形结合（由斜率公式1212 xx ，找其与 设00 B： )31(0523 的点与原点连线的斜率，其中 A(1， B(3， 2)。由图 5 易知的最大值为32小值为 1法二、代数方法（二元化一元，消元） 图 5 在第一种做法中，找到一步就转化为找斜率最值。这个过程可以通过手势或者教棍来完成：手或者教棍绕 O 点旋转，从 这就确定了活动范围，这样斜率最值就显而易见了。通过体态表现数学中的变化过程，如此数 学课堂便会生动许多。 10 合多媒体教学 多媒体的“遍地开花”给各科教学带来许多便利，数学学科也不例外。数学中往往有演算过程，有了多媒体，我们可以直接把这些过程投影出来。变板书为投影使得数学教学的效率提高了很多。除此之外，在课堂中融入多媒体课件，可以大大提高学生的学习兴趣，从而促进数学课堂的有效教学。下面以立体几何为例说明多媒体教学在数学课堂的应用。 立体几何对学生的空间想象能力要求很高，在此之前学生接触的都是平面几何。因此刚接触这个新领域时，学生可能会感觉很难上手，遇到问题会无从下手。我们可以借助 多媒体来帮助学生们度过这个“难关”。 在立体几何这一块，多媒体最基本的功能就是通过改变直线颜色、平面颜色与填充效果或者制作一些动画来增强立体感，用现在时尚的一个词就是“ 3D 维效果） ”。 例如我们讲线面垂直，一方面可以在课件里加入一些带有线面垂直关系的实物图，如图 6： 图 6 第一幅图有