专家知识特征及其对中学数学解题教学的启示毕业论文

专家知识特征及其对中学数学解题教学的启示 专家知识特征及其对中学数学解题教学的启示 摘要 通过对认知科学关于专家知识特征研究结果的分析，我们可以获得一些对数学解题教学有意义的启示。专家具有很强的信息识别能力，对于同样的问题情境，专家能很快的与自己的知识模块建立联系并产生策略；专家能以“核心概念”和“大观点”来组织自己的知识，因此，专家的知识结构更适合与问题情境相匹配 ,可以说专家对于问题情境是从本质上加以理解的；其知识的情境性特征是使其有很强模式识别能力的重要原因；专家善于对自己的解决问题的思维过程进行自我监控，这一特点使专家的解题过程更具有创 造性。数学的解题教学不是要求每一个学生的认知结构都能达到专家的知识特征水平，而是通过对专家知识特征的认识和对其形成过程的探究，以获得对中学数学解题教学有意义的启示，从而改善我们的教学方法，提高学生解决数学问题的能力。 关键词： 专家知识特征 ；解题教学；启示 专家知识特征及其对中学数学解题教学的启示 F N of of we a of in a in up to of in of to to of of we to in 专家知识特征及其对中学数学解题教学的启示 目 录 1 引言 对专家知识特征的理解 家知识的模式特征 家知识的组织特征 家知识的情境性特征 家知识的自我监控特征 专家知识的特征对中学数学解题教学的启示 家知识的模式识别特征对中学数学解题教学的启示 家知识的组织特征对 中学数学 解题教学的启示 家知识的情境性特征对 中学 数学解体教学的启示 家知识的自我监控特征对 中学数学 解题教学的启示 结论 考文献 专家知识特征及其对中学数学解题教学的启示 1 1 引言 认知科学高度重视理解专家的专业知识，认为理解专家的专业知识能够洞察思维和问题解决的本质。 认知科学中的专家知识特征的研究成果对于教学，特别是数学解题教学就具有积极的意义。 南京师范大学涂荣豹教授基于认知心理学的理论对“专家”知识的特征及形成过程的研究结果的数学教学含义做了深入地分析与阐述，他把专家知识特征和数学教育联系起来，在 数学解题的有意义学习 一文中，涂荣豹运用了认知理论对数学解题思维过程进行了分析，并 在 2005 年数学教育学报第四期上，他发表了题为“专家知识的特征及其数学家学启示”的论文，从中概括总结了专家知识的特征及其对数学教学的启示，具体包括以下几个方面：第一，专家知识具有很强的模 式识别能力，对于同一个问题情境，专家能注意到“新手”注意不到的信息；第二，专家知识的组织结构非常优越，专家是围绕“大观点”和“核心概念”来组织知识的，并且知识与知识之间有紧密的联系，形成知识组块；第三，专家知识具有情境性特点，即专家的知识不仅是概念与定理的罗列和简单逻辑上的联系，专家知识的每一个知识都联系着与此知识相关的实际情境，因此专家知识的实际应用性强；最后，专家的自我监控能力远远高于新手，在整个问题解决过程中，专家能顺畅的进行模式识别、知识提取、产生策略、验证策略，而且能进行有效的自我评价。另外，对同 一个问题，专家更能体现出创造性特点。 对专家知识特征的研究有助于揭示最终能导致专业知识形成的成功的学习过程，这一研究对于人的学习与教学显然有着重要的意义。在数学教学中，数学解题教学至关重要，对于数学解题教学的研究，目前应该说已经具有相当的规模了，但仍存在一些问题，特别是许多教师的解题教学研究往往局限于经验，未能主动运用认知理论去研究中学数学解题教学。通过对专家知识特征的学习与理解，我们认为，若能深入挖掘专家知识特征的教学含义，特别是解题教学含义，并应用于中学数学解题教学中，相信这对于改善解题教学，提高学生解 题能力定会起到积极的作用。 专家知识特征及其对中学数学解题教学的启示 2 2 对专家知识特征的理解 所谓“专家”，就是在某个特定领域中具有广博而深刻的知识的人。他们在信息的识别、知识的组织、知识与情境的联系及自我控制的能力等这些方面都高于一般人（新手）。这里所谓的“专家”只是与“新手”相对而言的，对于学生而言，解题能力较强的学生就可称之为“专家”，解题能力较差的学生可称之为“新手”。“专家知识”，顾名思义就是“专家”头脑中的知识体系及结构组成。研究表明，专家知识的特征一般可以概括以下几点。 家知识的模式特征 有关专业知识形成的研究表明， 专家与新手最大的差异 不在于一般策略的使用上，而在于专家能更好地应用组块策略，具有把一个结构中的不同成分组成模块的能力。数学问题解决的思维活动是一个对问题识别、归类和假设、验证的过程。在解题中，识别和归类常常包括提出假设和验证假设的过程。对于那些不易识别和归类的问题，就要在认识了和研究了问题的条件和目标以后，联系已解决的问题的不同类型提出解题设想，因此，他们比新手更善于识别有意义的信息模式，并从中获得策略性的启示。这是因为某一领域的专业知识有助于增加人们对有意义的信息模式的敏感度。例如，数学家、对于专业图表、 公式、特定的问题类型及其解决方案的熟悉程度就远远高于这些领域的新手。专家对问题模式的识别较之新手不是依据问题表面的特征，而是根据问题内在的数量结构关系所对应的数学原理进行分析的，所以专家是根据问题内在的本质特征对问题进行分析的，这也是专家与新手的本质差异。 显然，专家知识涉及到有组织的概念结构或图式的发展，这些结构或图式有助于说明问题的表征和理解的方式。有关专业知识的这一研究结论揭示了专家学习的一个重要的本质特征，它为基于学习的课程教学改革提供了一条十分有价值的思路，那就是教学应该尽可能为学生提供更多的机会 ，以帮助他们获得识别有意义的信息模式的学习经验并从中形成对有意义的信息模块进行编码的能力。 家知识的组织特征 专家知识的识别模式体现了专家知识的组织方式，专家的知识是围绕着核心概念或“大观点” 组织起来的结构性的知识。 这里的“核心概念”和“大观点”该如何理解呢？在数学知识（认知）结构中，函数、方程、导数、圆锥曲线等就是核心概念。诸如方程的本质是由含有未知量的等式研究未知量 ；函数的本质是数集间随处定义和单值定义的映射等， 就是大观点。解决问题时，专家根据原理对问题分析，原理相对就是一种“大观点”。 另外， 专家的知识结构中 存在着大量彼此联系的知识模块，这些模块中的不同成分通过其基本功能和策略互相连接。一个结构中不同的成分不仅有不同的功能，还体现为不同的策略，各种成分在功能之间、策略之间、功能与策略之间相互连接，从而组合成各种“模块”。 由于人的短时记忆信 专家知识特征及其对中学数学解题教学的启示 3 息容量有限，只有把信息组合到与其有内在联系的类似模块中，才能提高短时记忆的能力。这样一旦回忆起一个模块时，实际上就是回忆起这个模块中所包含的大量信息。专家常常表现出超常的记忆力，实质上正是这种合成组块作用的反映。并且这些模块是采用有意义的联系方式将各种相关的成 分围绕基本概念和原理组合成的相关单元。这些单元又受基本概念和原理所支配，这些基本概念和原理正是“基本概念”和“大观点”，也正是围绕核心概念和大观点把相关成分联系组合成单元或者模块。在专家知识的图式中知道的越多就意味着在记忆中拥有的概念模块就越多，模块间的联系以及有效提取相关模块的方法也就越多。专家知识的独特的组织方式，产生出独特认识力，因此专家知识就能一独特的认识问题的方式表现出来，具有洞察力、敏锐力、预见力。 家知识的情景性特点 专家不仅拥有巨大的知识储存库，而且这些知识都不能简化为一些孤立的事实或命题，而是融汇与应用的情境之中。专家的知识与有用情境紧密相连，或者说专家知识是具有情境性的，不只是简单孤立的。这是专家知识的一种条件化特征。条件化就是指知识与运用情境中的具体情节之间产生了联系。这种联系是在一些具体的运用情境中提取出来的，这需要在运用的过程中提取，不是把知识与情境中的具体情节割裂开来、分离开来，而是能够发现他们的联系。例如看见“ y=z”这种比较复杂的符号，就意识到它是角，并知道一般以三角函数知识来研究。也正是专家的这种情境性特征，使其有很强的信息识别能力，因为对于具体的问题而言 ，都是以简单的情境方式给出的，而不是具体知识的陈述，由于专家头脑中的每一个知识都带有情境性，即每个知识都包含有实践和经验，所以遇到此问题情境或类似的问题情境时，专家能很快的与已知问题情境联系起来，也就是完成了模式识别。专家的这一特点也使其能够毫不费力的从自己的知识中随意的提取重要内容，并找到灵活的方法应付新情境和新挑战。 家知识的自我监控特征 在数学解题过程中，专家能进行主动的监测、控制和有效的调节。在解决一个问题的时候，专家通过对情境的分析，能做出最初的解题策略，但此策略不一定能真正的解决问题，但 专家能及时进行自我调节，做出另外一个有效的策略，直到解决问题为止。在这一方面，新手则表现为，遇到问题时盲目的从已知条件入手，将其带入公式，一旦得出答案就皆大欢喜，否则，就束手无策，放弃解题。另外，在问题解决结束后，专家善于回顾和评价，对问题本质进行重新剖析，回顾自己发现问题念头的经历，抽取解决问题的关键，总结解决问题的经验和教训，反思解题过程的成败得失及其原因，并从思维策略的高度对解题过程进行总结，从中概括出一般规律，并对问题进行推广、深化，寻找更优的解题方法和新的解题方法。此外，专家的自我监控特征还表现为 其解决问题的开放性和创造性。在解决问题时，专家能放眼全局，善于反思，始终将已有的成就作为起点，不断适应情境的变化，敢于将具有挑战性的新的需求作为挑战自我，拓展原有专业知识水平的机会。 专家知识特征及其对中学数学解题教学的启示 4 3 专家知识特征对中学数学解题教学的启示 专家知识特征是认知学理论所重点研究的问题，在中学数学解题教学中对专家知识特征的研究是为了揭示能导致专家知识形成的成功的学习过程，并从中受到启示，进而提高中学数学解题教学的质量。 家知识的 模式识别特征对中学数学解题教学的启示 对于同一个问题，专家能很快理解题意并提出解 决问题的策略，而对于一般学生来说却很难。原因在于专家的对 问题模式 的识别能力远远高于一般学生。提高学生的 问题模式 识别能力是提高学生解题能力的基础。 在数学问题的解决过程中，如何通过已知的条件激活认知结构中的知识并实现对当前问题的有意义的建构 ,从而实现对新问题的模式识别，这是学生在学习过程中进行信息转移的关键所在。在高中数学学习过程中，如果在大量的题目中，能够准确地进行模式识别，并采取相应的对策，那么就会节省大量的时间，这也是学生解题能力的表现。 例 1（ 2004全国卷理 22 题） 给定抛物线 C ： 2 4， F 是 C 的焦点，过点 F 的直线 l 与 C 交于 A 、 （ 1）设 l 的斜率为 1，求 角的大小； （ 2）设 F若 4,9 , 求 l 在 Y 轴上截距的变化范围。 例 2（ 2006全国理 21） 已知抛物线 2 4的焦点为 F ， A 、 B 是抛物线上的两动点，且 B 0) ，过 A 、 B 两点分别抛物线的切线，设其交点为 M 。 （ 1）证明： 定值； （ 2）设 的 面 积 为 S ， 写 出 S = f ( ) 的 表 达 式 ， 并 求 出 S 的 最 小 值 。 例 1 和例 2 就是同一个模式类型，都是关于抛物线的焦点弦问题，将圆锥曲线与平面向量知识有机结合起来。如果学生能把解决过的所有类似的问题都能进行总结归纳，就像上面的例 1 和例 2 可以归结纳为抛物线的焦点弦问题，那么就会对此类型的问题产生整体性把握，即提高了模式识别能力。 模式识别能力是学生解题能力的体现，很多学生虽然能掌握概念和基本定理的 专家知识特征及其对中学数学解题教学的启示 5 内容，但一到独立解决问题时就不知从何下手，就是因为没有模式识 别能力或识别能力很差，因此学生必须提高模式识别能力。通过对专家知识的学习理解，我们对提高学生模式识别能力提出几点教学建议： （一）开展一题多变教学 以某一个典型例题为中心，进行一题多变，即将某一熟悉问题模式进行扩展，从而提高模式识别能力。 例如：如图一，任意 ，以 边，分别向外作等边三角形， ，求证： E 。 此题可根据 A F C A B E 得证。 从此题出发，仔细观察分析，我们还可以得到很多结论和启示。从证明过程中容易发现，若将例题条件改为以 直角边，分别作等要直角三角形 ， ，如图二，结论同样成立。还可根据此题出一道新题，如图三，任意 ，以 边，分别作等腰直角三角形 ， ， D 为 点， 求证： E 。 根据上述内容的启示，我们很容易想到图二的模式，因此可作这样的辅助线，如图四， 别为 中位线，而 K 。所以 F 。试想此题若没有上面的模式， 对于中学生来说应该是很困难的。还可以这样出题，如图五， 任意 ， D 为底边上的中点， F 分别交 C 于 E,F ， F 分别垂直于 C ， 连接 C ，求证： O B E = O C F 。如图，做辅助线 B,延长线上， 且 N ，通过辅助线的连接，我们可以看到，以 为基础图形，以 C 为边做 、 ，便可得到如图一的模式，这一模式的识别是解决此问题的关键，接下来，就能很自然的想到证明 O N B O C M ，就能推出 B O M = C O N ，从而推出结论。这样就可以通过对一个问题的分析而得到一连串结论和新的问题。 二）一）C 专家知识特征及其对中学数学解题教学的启示 6 E（ 图三 ）图四 ） M （ 图五 ） 适当开展主题教学，常作专题训练 高中新课标中提倡开展研究性学习，我们认为，围绕一个数学主 题，对其所具有的内在性质进行分析，可以获得有意义的结论，此教学方法即是所谓的主题教学，其意义在于在学生的认知结构中所建立起的相关知识结构拥有同一主题，而相关结论可以转化为相应的习题，这些习题自然就属于同一问题模式。例如，可以对圆锥曲线焦点弦问题展开主题研究。 教师可以经常归纳题型，将具有相同模式的问题归为一个专题，特别是一些相对较难的题型，如函数极值问题、函数与数列问题、椭圆焦点三角形问题等。通过专题训练学生可以对其产生整体性的模式效应，进而提高模式识别能力。 （三）通过解题方法的应用对问题进行模式分类 对 相同问题模式的归类，不仅仅只根据问题的表征特点进行分类，还可以通过解题方法的应用对问题进行模式分类。 例 1 己知函数 xy x ，求这个函数的最大和最小值。 通过审题，容易想到的是， y 是由三角函数表示的，而在三角函数就最值的方法中，我们最容易想到对 s in c o 形式求最值的方法，因此，会想到能不能把其转化为 s in c o 形式。 专家知识特征及其对中学数学解题教学的启示 7 解：把己 知的式子变形整理 s i n c o s 1 2x y x y 即： 21 ( s i n c o s c o s s i n ) 1 2y x x y （其中， y ） 即：212s i n ( )1由正弦函数的有界性有： 212 11，解得： 403y。 此策略的产生，前提是解题者必须对 s in c o 的形式非常熟悉， 也就是已有这个模式，才能加以应用。另外，能够成为一个解题模式，不仅仅是能解决一道数学题，至少要对一类问题有效，下面在看两个例子。 例 2 己知：对于圆 22( 1) 1 上任意一点 ( , )p x y 不等式 0x y m 恒成立，求实数 m 的取值范围。 解：把。 22( 1) 1 化为参数方程： 且 1 ，其中 q 是 0,2 的角。由 0x y m 恒成立，得 c o s 1 s i n 0m 恒成立，即m 21。 此题表面上看，先分离常数，再化为最值问题是其一般解决方法，但如果了解，三角化后有形如上述所说的建构模式的话，都可以用正弦或余弦的有界性来处理。 例 3 使关于不等式 36x x k 有解的实数 k 的最大值是什么？ 分析：这个题用其它的方法都不是很顺手，如果我们注意到左式中两个根号的平方和为常数的话，就可以化： s in c o 的形式。 解：由于 3x 与 6 x 的平方和为 3，因此，我们对己知的不等式两边同时除以 3 。 专家知识特征及其对中学数学解题教学的启示 8 得： 363 3 3 ,x x k设 36c o s . , s i ，其中 q 是 0， 2 的角。则原式可化为： s i n c o 即有： 6 s i n ( )4 k （ q 为4时取到等号） 因此，符合条件的 k 值是 6 。 这些例子告诉我们，平方和为常数的两个式子都有可能用正余弦的三角变换，当然，这种问题一定要注意到最后函数的定义域，也即是否可以取到最值。 上述问题表面上模式不同，但其解决问题所用方法相同，我们可以根据解决问题所用的方法对问题的模式进行分析。 家知识的组织特征对中学数学解题教学的启示 由于专家能以核心概念和大观点来组织知识，因此，专家在解决问题时容易看到问题的本质。解题时专家比新手更倾向于首先去 理解题目，而非匆忙的运用某个具体公式或急于把数据带入运算。专家常常能立刻意识到所述问题是不可能的，这些正反映了专家知识围绕核心概念或大观点组织的特征。比如有这样两个例子： 例 1 对 R 上可导的任意函数 ()满足 ( 1) ( ) 0x f x，则必有（ ） A、 ( 0 ) ( 2 ) 2 (1 )f f f B、 ( 0 ) ( 2 ) 2 (1 )f f f C、 ( 0 ) ( 2 ) 2 (1 )f f f D、 ( 0 ) ( 2 ) 2 (1 )f f f 一般学生由于看到选项中是 (0) (2)与 (1)f 进行比较，便会盲目的在求解(0) (2)与 (1)f 上下功夫，专家则首先去了解题目，分析，若 ( 1) ( ) 0x f x，则 1x 与 ( )就是，当 10x 时 ( ) 0；当 10x 时( ) 0。即函数以 1x 为极值点， 1x 时单调减；当 1x 时单调增。所以 (1) (0) (1)且 (2) (1)，所以 ( 0 ) ( 2 ) 2 (1 )f f f。 例 2 已知 为第一象限角，且满足 4c o s ( 8 1 0 )5o，求 的值。 专家知识特征及其对中学数学解题教学的启示 9 很多学生看完此题后，立即应用诱导公式把 10 )o 变为 4c o s ( 4 ) c o s ( ) c o s ( )2 2 5 所以， 4) 5 ，再根据 2s i n 1 c o s ，又由于 为第一象限， 3。而仔细观察题目，会发现 为第一象限时， 8 1 0 42 以 10 )o 应该是负的，所以判断此题不成立。专家习惯于首先对题目进行理解，使其与头脑中的知识加以联系，所以更能看到问题的本质。另外，专家的知识与知识之间有着紧密的联系，使其知识形成有机的组合体。 例 3 已知点 M 是椭圆2222 1 ( 0 )xy 上的点，两焦点为1 内心，连接 点，求 此题关键在于找到关系 12M I M F M F N F，然后得到 1212M I M F M F而122M F M F a，122F F c则此题得解。难点在于发现 12M I M F M F N F，即，角分线定理。专家知识的良好组织特征，使其一看到内心，便能一下子联想到与内心有关系的一系列内容（包括知识点及思想方法），当想到角分线时，又由角分线联系到与角分线相关的内容，所以利用角分线定理的策略就这样产生了。很多学生虽然能掌握知识和定理，但知识与知识之间没有有机的组织起来，缺乏联系。 为了促进学生知识的良好组织，我们认为，在解题教学过程中，教师应该不断2 专家知识特征及其对中学数学解题教学的启示 10 的向学生介绍每一步所涉及到的知识点、方法，还有方法是如何想到的，以及题中哪一条件或特征激发了知识的提取和策略的产生。这里 应该强调的是，教师只是将自己的知识组织形式展示给学生，并帮助学生运用类似的方式组织自己的知识。 家知识的情境性特征对中学数学解题教学的启示 学生解题能力的高低，关键在于其对问题情境是否能产生有效的模式识别，而模式识别能力的高低则应取决于其知识的组织特征和情境性特征。对于相同问题情境刺激的感知和理解，会因个人应用于问题情境的知识组织特征而异。由于专家的每个知识都具有情境性，因而专家持有对某些与情境有特殊联系的信息特征的敏感。新手知识往往与应用情境缺乏联系，导致不能识别情境中的信息模式。在数学教学过程中 ，无论是概念教学、命题教学及解题教学均应尽可能的创设问题情境，充分交代知识的形成过程和应用过程，使学生获得的知识与知识运用相关的情境很好的匹配在一起。 （一）变式题组的设置 高一学生对二次函数 2()f x a x b x c 的理解有一误区： 0a 时 ()最小值 244ac 0a 时 ()44ac 0 时函数图象与 x 轴有两个交点； 0 时函数图象与 x 轴有没有交点。出现上述问题的主要原因是没有考虑函数的定义域，对于具体函数问题而言，具体问题的情境决定着所讨论的函数的定义域，即上述理论结果在具体的问题中的运用应随着问题情境的 不同也就是定义域的不同而进行相应的调整。 为了解决这一问题我们可以拟定下列题组： 求函数 2( ) 2 3 ,f x x x x R 的最值及与 x 轴的交点个数。 求函数 2( ) 2 3 , 1 , 3f x x x x 的最值及与 x 轴的交点个数。 求函数 2( ) 2 3 , ( 1 , 3 )f x x x x 的最值及与 x 轴的交点个数。 求函数 2( ) 2 3 , ( 1 , )f x x x x 的最值及与 x 轴的交点个数。 求函数 2( ) 2 3 , ( 1 , 6 )f x x x x 的最值及与 x 轴的交点个数。 求函数 2( ) 2 3 , ( 3 , )f x x x x 的最值及与 x 轴的交点个数。 求函数 2( ) 2 3 , , 1 f x x x x t t 上的最值。 专家知识特征及其对中学数学解题教学的启示 11 求函数 2( ) 2 3 , ( 1 , 3 )f x x tx x 上的最值。 求函数 2( ) 2 3 , , 1 f x x t x x t t 上的最值。 （二）开放性问题的设置 例椭圆 C ： 22142直线 :l y ax b，若 1_（请添加一个条件），求直线 l 的方程。 因为在习题课上总是教师按照事先备好的内容 一讲到底，学生只是被动的接受知识，不能适时的有效生成自己的知识，而这样开放的带有挑战性问题的提出，定能提高学生的积极性，并能通过此问题的解决对椭圆的性质会有更深和更全面的理解。对于此问题，答案是不唯一的，可以例举很多，比如： 直线与椭圆的交点的中点在轴上 直线过椭圆的焦点 原点到直线的距离 p 是弦 中点 l 90o ，或直线与椭圆圆弧的比为 1： 3 2 开放问题的设置，使学生通过变换问题的条件，从而改变问题的情境，并使学生认识到解决上述系列问题所用知识与问题的情境有着一定的对应性。 （三）在公式教学中创设问题情境 例如在等比数列前 n 项和公式的提出前，可以创设这样的问题情境情境： 2005年 蒙牛超级女声总决赛 8 月 26 日落下帷幕，来自成都赛区的人气选手李宇春在短信投票中以 3528308票摘取了本年度超级女声冠军 （ 1）假如从我开始，一次能同时发短信给 2 个人，而后收到的 2 个人又分别发给另外 2 个人，假如发短 信的人没有重复而且全都支持李宇春，至此共有 1 2 22 个人支持李宇春 （ 2）如果刚才收到的 4 个人又分别发给另外 2 个人呢？共有 1 2 22 23 个人支持李宇春 （ 3）如果发一次算作一轮，则 21 轮之后共有 1 2 2 2 2 3 2 2 1 问题提出：如何求 1 2 2 2 2 3 ( 2 1 ) L 专家知识特征及其对中学数学解题教学的启示 12 启发引导： 1, 2, 22, 23L 21n 这些项有何特征？共有多少项？从而点出课题等比数列的前 n 项和 ,回忆等比数列的概念并结合此数列的特征，每一项乘以2，就变成了它的后一项。 故 2 2 2 2 2 3 2 L 得： 2n，因此 1 2 22 23 222 1 这种方法叫做错位相减法，然后引出一般问题：已知 q 为公比，求活学生原有的知识，使新知识和旧知识在实际问题的情境中形成联系， 从而促进了学生的知识结构具有情境性特征。 家知识的自我监控特征对中学数学解题教学的启示 在解题过程中，教师能根据问题的情境选择有效的策略，并能随时对其进行验证，当出现问题时，又可以及时加以纠正，而且能对整个解题过程做出评价。这就是其自我监控能力即元认知的表现。自我监控在解题过程中非常重要，它指引着解题前进的方向。在中学数学解题教学中，加强学生的自我监控能力是非常必要的。通过对专家知识特征的分析及其形成过程的探究，我们提出几点建议： （一） 知识是学生进行解题自我监控的基础 问题解决过程既是对知识应用于实践的 过程，如果不掌握必要的知识，学生的自我监控能力的形成和提高是不可能实现的。这里所说的知识，不仅包括数学的概念、公式、公理等具体的数学知识，也包括数学的思想方法和数学的认知结构。 认知结构是从知识结构转化而来的，是数学活动中通过新旧知识的相互作用，通过对已有认知结构的组织和再组织才能实现。在数学教学过程中，常常会碰到这种情况，学生听得懂教师所讲的内容，也掌握可解决问题的相应方法，但到了具体的应用，只觉得似曾相似，却仍不得其解，经提示后又恍然大悟，这些说明了学生头脑中的知识混乱、结构性不强，抓不住新旧知识的结合 点，认知结构处于无系统状态，阻碍了学生解题自我监控能力的发挥。其实知识的学习与问题解题是相辅相成的，具有互相促进的作用。 （二） 重视数学思想方法的培养 数学认知结构是主体对数学知识结构的主观反映，由于数学思想方法的存在，才使得数学知识不再是刻板的套路或个别的一招一式，数学思想方法在数学认知结构中起着重要的固定作用。在数学过程中，由于学生能力及心理发展的限制，学生在学习数学时不能触类旁通、融会贯通，碰到没有见过的题目就会不知所措。布鲁纳指出：掌握基本的数学思想方法是通向迁移的“光明之路”。因此，在教学过程 专家知识特征及其对中学数学解题教学的启示 13 中 要重视数学思想方法的教学，通过反复的渗透，引导学生领会蕴藏在其中的数学思想方法，使学生在潜移默化中达到理解和掌握。 （三） 增强学生动机和自我效能感，可以促进学生学习自我监控能力的提高 数学学习动机、自我效能与数学解题活动中的自我监控能力显著相关，也必将极大地影响着数学学习成绩的好坏。因此，在数学教学中应当加强对数学学习动机和自我效能感等非智力因素的培养。由于非智力因素的形成与知识的掌握是两种不同的方式和过程。因此难以进行专门、专题、专时的培养。需要长期的熏陶、暗示、顿悟和主观上由意识的磨练，才能沉淀到某一 水平。在教学过程中首先应详细了解学生的学习动机，以便采取一定的措施激发与培养学生正确的数学学习动机，消除厌学现象，充分调动学生学习数学的兴趣，使学生在解决数学问题的过程中始终伴随着良好的情绪体验；引导学生对解决数学问题的过程进行积极的监控，使学生充分体会到成功的喜悦，从而增强学生解决数学问题的自我效能感，使学生建立起正确的内部归因。可以让学生体验这样的方式，例如：体验解题成功，观察他人解题等。 （四）在解题过程中，教师应暴露解题的思维过程 在解题教学过程中，教师要充分展示自己的解题的整个思维过程，让学生“ 看到”教师在解题时如何理解题意？怎样制定和事实解题计划？怎样选择方法或策略？当思路受阻时是如何调节和修正，解题后又是如何及时地进行总结和反思等。教师展现解题思维过程的教学方法，不仅仅是向学生展现思维的认知过程，更重要的是向学生展示解题过程中思维不断进行控制和调节的自我监控过程。这为学生的解题自我监控提供了