教学资源四（函数的单调性与最值）.doc

专题四 函数的单调性与最值1.单调性(1)定义：一般地，设函数yf(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是_(2)单调性的定义的等价形式：设x1，x2a，b，那么(x1x2)(f(x1)f(x2)00f(x)在a，b上是_；(x1x2)(f(x1)f(x2)00)在 (，)，(，)上是单调_；在(，0)，(0，)上是单调_；函数yx(a0)在x(1,1)上的单调性思维启迪可根据定义，先设1x1x21，然后作差、变形、定号、判断解设1x1x21，则f(x1)f(x2).1x1x20，x1x210，(x1)(x1)0.又a0，f(x1)f(x2)0，函数f(x)在(1,1)上为减函数思维升华利用定义法证明或判断函数单调性的步骤：(1)已知a0，函数f(x)x (x0)，证明：函数f(x)在(0，上是减函数，在，)上是增函数；(2)求函数y的单调区间(1)证明设x1，x2是任意两个正数，且0x1x2，则f(x1)f(x2)(x1x2a)当0x1x2时，0x1x2a，又x1x20，即f(x1)f(x2)，所以函数f(x)在(0，上是减函数；当x1a，又x1x20，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1) BaCa0成立，那么a的取值范围是_思维启迪利用函数的单调性求参数或参数的取值范围，解题思路为视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参答案(1)D(2)，2)解析(1)当a0时，f(x)2x3，在定义域R上是单调递增的，故在(，4)上单调递增；当a0时，二次函数f(x)的对称轴为x，因为f(x)在(，4)上单调递增，所以aa.综合上述得a0.(2)由已知条件得f(x)为增函数，解得a2，a的取值范围是，2)思维升华已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：若函数在区间a，b上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值(1)函数y在(1，)上单调递增，则a的取值范围是()Aa3 Ba3Ca3 Da3(2)已知f(x)是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为()A(1，) B4,8)C(4,8) D(1,8)答案(1)C(2)B解析(1)y1，由函数在(1，)上单调递增，有，解得a3.(2)因为f(x)是R上的单调递增函数，所以可得解得4a1时，f(x)0，代入得f(1)f(x1)f(x1)0，故f(1)0.(2)证明任取x1，x2(0，)，且x1x2，则1，由于当x1时，f(x)0，所以f0，即f(x1)f(x2)0，因此f(x1)0时，恒有f(x)1.(1)求证：f(x)在R上是增函数；(2)若f(3)4，解不等式f(a2a5)2.思维启迪(1)对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义应该构造出f(x2)f(x1)并与0比较大小(2)将函数不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性“去掉”是本小题的切入点要构造出f(M)f(N)的形式规范解答(1)证明设x1，x2R，且x10，当x0时，f(x)1，f(x2x1)1.2分f(x2)f(x2x1)x1f(x2x1)f(x1)1，4分f(x2)f(x1)f(x2x1)10f(x1)f(x2)，f(x)在R上为增函数6分(2)解m，nR，不妨设mn1，f(11)f(1)f(1)1f(2)2f(1)1，8分f(3)4f(21)4f(2)f(1)143f(1)24，f(1)2，f(a2a5)2f(1)，10分f(x)在R上为增函数，a2a513a2，即a(3,2)12分解函数不等式问题的一般步骤：第一步：确定函数f(x)在给定区间上的单调性；第二步：将函数不等式转化为f(M)0时，f(x)1.构造不出f(x2)f(x1)f(x2x1)1的形式，找不到问题的突破口第二个关键应该是将不等式化为f(M)f(N)的形式解决此类问题的易错点：忽视M、N的取值范围，即忽视f(x)所在的单调区间的约束.方法与技巧总结1利用定义判断或证明函数的单调性设任意x1，x2a，b且x10f(x)在a，b上是增函数；0f(x)在a，b上是增函数；(x1x2)f(x1)f(x2)0f(x)在a，b上是减函数函数的单调性是对某个区间而言的2求函数的单调区间首先应注意函数的定义域，函数的单调区间都是其定义域的子集；其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间常用方法：根据定义、利用图象和单调函数的性质、利用导数的性质3复合函数的单调性对于复合函数yfg(x)，若tg(x)在区间(a，b)上是单调函数，且yf(t)在区间(g(a)，g(b)或者(g(b)，g(a)上是单调函数，若tg(x)与yf(t)的单调性相同(同时为增或减)，则yfg(x)为增函数；若tg(x)与yf(t)的单调性相反，则yfg(x)为减函数简称：同增异减失误与防范函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减单调区间要分开写，即使在两个区间上的单调性相同，也不能用并集表示.A组专项基础训练一、选择题1函数f(x)中，满足“对任意x1，x2(0，)，当x1f(x2)”的是()Af(x) Bf(x)(x1)2Cf(x)ex Df(x)ln(x1)答案A解析由题意知f(x)在(0，)上是减函数A中，f(x)满足要求；B中，f(x)(x1)2在0,1上是减函数，在(1，)上是增函数；C中，f(x)ex是增函数；D中，f(x)ln(x1)是增函数2若函数f(x)x22ax与g(x)(a1)1x在区间1,2上都是减函数，则a的取值范围是()A(1,0) B(1,0)(0,1C(0,1) D(0,1答案D解析f(x)x22ax(xa)2a2在1,2上是减函数，a1.又g(x)(a1)1x在1,2上是减函数a11，a0.由、知，0a1.3已知函数f(x)2ax24(a3)x5在区间(，3)上是减函数，则a的取值范围是()A(0，) B(0， C0，) D0，答案D解析当a0时，f(x)12x5，在(，3)上是减函数，当a0时，由，得0f(1)的实数x的取值范围是()A(，1) B(1，)C(，0)(0,1) D(，0)(1，)答案D解析依题意得0，所以x的取值范围是x1或x0.5定义新运算“”：当ab时，aba；当ab时，abb2，则函数f(x)(1x)x(2x)，x2,2的最大值等于()A1 B1 C6 D12答案C解析由已知得当2x1时，f(x)x2，当11，函数f(x)的单调递减区间为.7设函数f(x)在区间(2，)上是增函数，那么a的取值范围是_答案1，)解析f(x)a，函数f(x)在区间(2，)上是增函数a1.8已知f(x)为R上的减函数，则满足ff(1)的实数x的取值范围是_答案(1,0)(0,1)解析由f1，1或1，0x1或1x2时，f(x)在t，t1上是增函数，g(t)f(t)t24t4；当t2t1，即1t2时，g(t)f(2)8；当t12，即t1时，f(x)在t，t1上是减函数，g(t)f(t1)t22t7.从而g(t)(2)g(t)的图象如图所示，由图象易知g(t)的最小值为8.10已知函数f(x)，x0,2，求函数的最大值和最小值解设x1，x2是区间0,2上的任意两个实数，且x1x2，则f(x1)f(x2)().由0x1x22，得x2x10，(x11)(x21)0，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，故f(x)在区间0,2上是增函数因此，函数f(x)在区间0,2的左端点取得最小值，右端点取得最大值，即最小值是f(0)2，最大值是f(2).B组专项能力提升1已知函数f(x)x22axa在区间(，1)上有最小值，则函数g(x)在区间(1，)上一定()A有最小值 B有最大值C是减函数 D是增函数答案D解析由题意知a1，g(x)x2a，当a0时，g(x)在，)上是增函数，故在(1，)上为增函数，g(x)在(1，)上一定是增函数2已知函数f(x)e|xa|(a为常数)若f(x)在区间1，)上是增函数，则a的取值范围是_答案(，1解析f(x)e|xa|f(x)在a，)上为增函数，则1，)a，)，a1.3对于任意实数a，b，定义mina，b设函数f(x)x3，g(x)log2x，则函数h(x)minf(x)，g(x)的最大值是_答案1解析依题意，h(x)当02时，h(x)3x是减函数，h(x)在x2时，取得最大值h(2)1.4已知函数f(x)lg(x2)，其中a是大于0的常数(1)求函数f(x)的定义域；(2)当a(1,4)时，求函数f(x)在2，)上的最小值；(3)若对任意x2，)恒有f(x)0，试确定a的取值范围解(1)由x20，得0，a1时，x22xa0恒成立，定义域为(0，)，a1时，定义域为x|x0且x1，0a1时，定义域为x|0x1(2)设g(x)x2，当a(1,4)，x2，)时，g(x)10恒成立，g(x)x2在2，)上是增函数f(x)lg(x2)在2，)上是增函数f(x)lg(x2)在2，)上的最小值为f(2)lg .(3)对任意x2，)恒有f(x)0，即x21对x2，)恒成立a3xx2，而h(x)3xx2(x)2在x