数学人教版六年级下册抽屉原理.doc

数学广角抽屉原理教学设计程芳婷王 贺 小 学2011.4.14数学广角抽屉原理教学设计教学内容：人教版六年级下册：数学广角抽屉原理。教科书第7071页的内容。教学目标：1、初步了解“抽屉原理”，会用“抽屉原理”解决实际问题。2、通过观察、猜测、验证、分析等数学活动，发现规律,建立数学模型。渗透“建模”思想。3、经历从具体到抽象的探究过程，提高学生有根据、有条理地进行思考和推理的能力。4、通过“抽屉原理”的灵活应用，激发学生探究数学知识的兴趣，感受到数学的魅力。教学重点：经历“抽屉原理”的探究过程，并会简单应用。教学难点：理解“抽屉原理”，并对一些简单实际问题加以“模型化”。教学过程：一、情境导入。游戏导入：师：同学们，开课之前，老师特别想和大家做个游戏，谁愿意参加？（学生举手表示愿意）游戏规则：有三把椅子，四位同学，老师喊开始，请同学们都坐在椅子上。师：我不用回头看，就知道一定有一把椅子上至少坐了两个同学。我说的对吗？（学生疑惑）师：假如让这几位同学反复再坐，不管怎么坐，我还肯定一定有一把椅子上至少坐了两个人。你们相信吗？（验证）师：想知道这是为什么吗？其实这个游戏中蕴藏着一个有趣的数学原理！想不想研究呢？（想）。很好！今天我们就用小棒和杯子来研究这类问题。二、操作探究。探究（一）题目：把3根小棒放进2个杯子中，可以怎么放？有几种不同的情况？摆摆看。1组织活动。（1）学生独立思考各种放法。（2）学生动手操作探究各种放法。（3）与小组同学交流思维的过程和结果。师：我们可以用数的分解来表示这些摆法。板书：（3,0）（2,1）引导学生说：把3根小棒放进2个杯子里，不管怎么放，“总有”一个杯子里“至少”有两根小棒。改题：把4根小棒放进3个杯子中，可以怎么放？有几种不同的情况？摆摆看。学生汇报，教师板书：（4，0，0）（3，1，0）（2，2，0）（2，1，1）引导学生说：把4根小棒放进3个杯子里，不管怎么放，“总有”一个杯子里“至少”有两根小棒。质疑：“总有”是什么意思？ “至少”什么意思？（最少）师：把6根小棒放进5个杯子中，会是怎样的情况呢？生猜想：把6根小棒放进5个杯子里，不管怎么放，“总有”一个杯子里“至少”有两根小棒。师：我的想法和大家一样，到底对不对呢？我们还需要干什么？（验证）师：要像刚才那样一一列举吗？有没有更简便的方法直接证明这个结论呢？学生交流汇报交流结果：把6根小棒给每个杯子里放一根，还剩下一根，剩下的这根小棒不论放进哪个杯子，一定有一个杯子里至少放了2根小棒。师：谁都选择了这种分法呢？（大部分人举手）师：这是怎样一种分法呢？（平均分）师：为什么只用平均分这种方法就能证明这样的结论呢？（学生交流）汇报交流结果：只有平均分才能使每个杯子里的小棒最少。假如每个杯子里放入1根小棒，剩下的1根还要放进一个杯子里，无论放在哪个杯子里，总有一个杯子里会有2根。师：可以用算式表示这个方法吗？板书：65=11 追问：把7根小棒放进6个杯子中，会是怎样的情况呢？（76=11 ）理由呢？（商1表示每个杯子里放1根，余下的1根不论放进哪个杯子里，总有一个杯子里有2根小棒。）追问：把10根小棒放进9个杯子中，情况会怎样呢？追问：把100根小棒放进99个杯子中，情况会怎样呢？（汇报结果及理由）师：这么大的数，同学们这么快就得出了结论，你们发现了什么规律呢？交流汇报：如果小棒的数量比杯子的数量多1，用小棒的数量除以杯子的数量，总会余下1根小棒，余下的这根小棒不论放进哪个杯子，总有一个杯子里至少有2根小棒。探究（二）师：刚才我们研究的都是小棒比杯子多1的情况，如果小棒的根数比杯子多2、多3、多4又会是怎样的结果呢？题目：把5根小棒放进3个杯子中，会是怎样的情况呢？先想一想，再试试看。生：5除以3，商1，余2，把余下的2根放在不同的杯子里，才能保证最少。因此，也是不论怎么放，总有一个杯子里至少有2根小棒。改题：把7根小棒放进4个杯子中，会是怎样的情况呢？（总有一个杯子至少放2根）找规律师：通过以上这些题目的研究，你发现了什么规律？归纳：小棒的数量比杯子的数量多，用小棒的数量除以杯子的数量，总有一个杯子里至少有“商+1”根小棒。质疑：为什么不管余几，总有一个杯子都至少是“商+1”，而不是“商+余数”呢？引导归纳：因为余下的小棒要平均放在不同的杯子里，才能保证杯子里的小棒最少，所以平均放在不同杯子里的只能是1根。，因此，要加1，而不是加余数。师总结：看来，余1时，是“商+1”这个规律；余2、余3时，也是“商+1”这个规律。三、解决问题。题目1： 8只鸽子飞进3个鸽舍，至少有几只鸽子飞进同一个鸽舍？为什么？（1）学生独立思考，自主探究。（2）与小组同学交流，说理。题目2：一幅扑克，拿走大、小王后还有52张牌，请你任意抽出其中的5张牌，我可以猜出你手中至少有2张同一花色。我是怎么猜出来的？四、抽屉原理的由来：我们将小棒看做物体，杯子看做抽屉，当把M个物体放进N个抽屉里时，如果MN=BC(C0),那么“必定有”一个抽屉“至少”可以放（B+1）个物体。人们把这一原理形象的称为“抽屉原理”。“抽屉原理”也叫“鸽巢原理”。最先发现这个原理人是19世纪的德国数学家“狄里克雷”，后人们为了纪念他从这么平凡的事情中发现的规律，就把这个规律用他的名字命名，叫“狄里克雷原理”。五、全课小结。通过今天学习，你有什么收获？六、拓展延伸。思考题：从抽屉里拿苹果，要拿出25个苹果，最多从几个抽屉中拿，才能保证从其中一个抽屉里至少拿了7个苹果。板书设计：抽屉原理小棒 杯子 总有一个杯子至少有“商+ 1” 3 2 4 3 = 11 （1 + 1） 6 5 = 11 （1 + 1） 7 6 = 11 （1 + 1）10 9 = 11 （1 + 1） 100 99 = 11 （1 + 1） 5 3 = 12 （1 + 1） 7 4 = 13 （1 + 1）把M个物体放进N个抽屉里，如果MN=BC（C0），那么一定有一个抽屉至少可以放（B+1）个物体。教 学 反 思抽屉原理这节课，是一节探究规律的课。其教学目的不只是让学生掌握抽屉原理的规律，更重要的是让学生在探究规律的过程中学会解决问题的策略和感知数学的魅力！培养学生的探究意识及学习数学的兴趣。初看教材，我也没有头绪，不知如何去教。于是，我认真看了教材及教学参考书，并查了有关资料，经过反复研究，便有了自己的思路。我根据教材内容确定了教学目标、重点、难点，设计了以下教学流程：（1）通过游戏“抢椅子”激发学生的学习兴趣，（2）通过把小棒放进杯子的实际操作，让学生体会、理解当小棒数比杯子数多1时，不论怎么放，总有一个杯子里至少放了2根小棒。（3）通过猜想、验证等方法让学生体验、理解不论小棒数比杯子数多几，总有一个杯子里至少有“商+1”根小棒。（4）通过对一些实际问题的解决，让学生对抽屉原理进一步巩固内化。（5）通过对抽屉原理由来的介绍，让学生感知数学与生活的密切联系及数学的神奇与魅力，让学生感受数学的魅力，以培养学生的探究意识。但是上完课以后，我才发现课前预设与实际教学效果大相径庭（存在问题）。主要表现在四个方面：（1） 游戏“抢椅子”没有发挥应有的作用。（2） 学生对“总有” 、“至少”理解不到位，致使解决实际问题时，学生弄不清“至少数”到底是几。如：3根小棒放进2个杯子里，有（3 ，0）和（2， 1）两种放法，结论是总有一个杯子至少放进了2根小棒。对此很多学生不理解：不是有的杯子里一个也没有吗？总有一个杯子至少放进了0根小棒，0比2小，至少数应该是0不是2呀。（3）商是1和余数是1的例子列举的太多，导致学生发现不了规律。如：4根小棒放进3个杯子里，43=11，至少数是1+1=2，6根小棒放进5个杯子里，65=11，至少数是1+1=2，这样明显地误导了学生，让学生以为至少数是商加余数。（4）由于说理训练太少，导致学生语言表述不清晰。纵观以上情况，都因我没有从学生的实际情况出发设计教学，仅凭自己的主观臆断设计教学。也就是“以教定学”。但是新课程应该“以学定教”。因此，我就如何走“以学定教”的路，做了以下改进措施：一、 游戏“猜扑克牌”，让学生初步感知：“总有”、“至少”的意思。同学们，开课之前，我们做个游戏。“一副扑克牌，去掉大小王，还剩52张牌，任意抽取5张，我保证至少有2张牌花色相同，你们相信吗？”。（学生疑惑）请几位同学上前任意抽取，进行验证。通过验证，老师说的话是正确的。师：想知道这是为什么吗？（想）师：其实这里面蕴藏了一个非常有趣的数学原理。今天我们就一起来探究这个原理。【设计意图】设下悬念，激发学生的探究欲望。并使学生对“总有”、“至少”有初步的感知。改变了“抢椅子”结果唯一的弊端，因为抢椅子可能只会出现（2,1,1）的情况。也就是只能体现“总有”思想，而不能体现“至少”思想。二、 操作实践，进一步理解“总有”、“至少”的意思。把4根小棒放进3个杯子，记录所有摆法，观察小棒根数最多的杯子的位置：（4，0，0）这4根小棒一定要放在第一个杯子里吗？（体验“总有一个杯子里放进4根小棒”。） （1，3，0）这3根小棒一定要放在第二个杯子里吗？（体验“总有一个杯子里放进3根小棒”。） （2，0，2）这2根小棒一定要放在第三个杯子里吗？（体验“总有一个杯子里放进2根小棒”。） （1，2，1）这2根小棒一定要放在第二个杯子里吗？（体验“总有一个杯子里放进2根小棒”。）师：你还能在3个杯子里摆放出“每一个”杯子都比2根少的情况吗？（想象、操作或交流得：不能。）整理：第一种放法：总有一个杯子里放了4根第二种放法：总有一个杯子里放了3根第三种放法：总有一个杯子里放了2根第四种放法：总有一个杯子里放了2根师：观察以上数据，你能发现什么？（总有一个杯子里放的根数不少于2）师：“不少于2”是什么意思？（大于或等于2）师：你能把“不少于”换一种说法吗？（至少、最少） 引导学生说出：把4根小棒放进3个杯子里，不管怎么放，“总有”一个杯子里“至少”放进2根小棒。【设计意图】本节课的教学难点是理解“总有”、“至少”的意思。 “操作实践”这一环节，目的是让学生在摆、想、交流、整理、归纳过程中理解“总有”、“至少”所表达的意思，经历“抽屉原理”的探究过程，经历将具体问题“数学化”的过程，培养学生建立“数学模型”的意识。3、 改变例题中的数据。 因此、板书设计也随之改为：抽屉原理 小棒 杯子 总有一个杯子至少有“商+ 1” 4 3 = 11 （1 + 1） 6 5 = 11 （1 + 1） 7 6 = 11 （1 + 1） 100 99 = 11 （1 + 1） 5 3 = 12 （1 + 1） 7 4 = 13 （1 + 1） 10 4 = 22 （2 + 1） 19 5 = 34 （3 + 1） 41 9 = 45 （4 + 1）把M个物体放进N个抽屉里，如果MN=BC（C0），那么一定有一个抽屉至少可以放（B+1）个物体。（多） （少）【设计意图】：力求体现“商不拘泥于1”及“余数也不拘泥于1”，这样设计，便于学生发现规律，避免了片面性，缩短了找规律的时间。4、 “说理”训练。发展学生的思维能力，培养学生的表达能力。如：把4根小棒放进3个杯子。列式：“ 43 = 11”，说理：“把4根小棒放进3个杯子，平均每个杯子放1根，还剩1根，把剩下的这根小棒不论放进哪个杯子里，总有一个杯子至少里放进了2根小棒”。又如：把5根小棒放进3个杯子。列式：“ 53 = 12”，说理：“把5根小棒平均放进3个杯子，每个杯子放1根，还剩2根，再把剩下的2根小棒平均放进2个（不同的）杯子里，总有一个杯子里至少放进了（1+1）根小棒，也就是2根”。再如：把19根小棒放进5个杯子。列式：“ 195= 34”，说理：“把15根小棒平均放进5个杯子，每个杯子3根，还剩4根，再把剩下的4根小棒平均放进4个杯子里，总有一个杯子里至少放进了（3+1）根小棒，也就是4根小棒”。【设计意图】：通过让学生一边又一遍的说理，学生的思路也在逐渐清晰化，语言也在逐渐简练、准确化，这不仅发展了学生的思维能力，而且培养了学生的表达能力。附：改进后的教学设计数学广角抽屉原理教学设计教学内容：人教版六年级下册：数学广角抽屉原理。教科书第7071页的内容。教学目标：1、初步了解“抽屉原理”，会用“抽屉原理”解决实际问题。2、通过猜测、验证、观察、分析等数学活动，建立数学模型，发现规律。渗透“建模”思想。3、经历从具体到抽象的探究过程，提高学生有根据、有条理地进行思考和推理的能力。4、通过“抽屉原理”的灵活应用，激发学生探究数学知识的兴趣，感受到数学的魅力。教学重点：经历“抽屉原理”的探究过程，并会简单应用。教学难点：理解“总有”、“至少”、“商+1”的含义。教学过程： 一、游戏导入：同学们，开课之前，我们做个游戏。“一副扑克牌，去掉大小王，还剩52张牌，任意抽取5张，我保证至少有2张牌花色相同，你们相信吗？”。（学生疑惑）请几位同学上前任意抽取，进行验证。通过验证，老师说的话是正确的。师：想知道这是为什么吗？（想）师：其实这里面蕴藏了一个非常有趣的数学原理。今天我们就用小棒和杯子一起来探究这个原理。二、操作探究：探究（一）题目：把4根小棒放进3个杯子中，可以怎么放？有几种不同的情况？摆摆看。1.组织活动。（1）学生独立思考各种放法。（2）学生动手操作探究各种放法。（3）与小组同学交流思维的过程和结果。师：我们用数的分解来表示这些情况。 学生汇报，教师板书：（4，0，0） （1，3，0） （2，0，2） （1，2，1） 2. 师生交流：观察小棒根数最多的杯子的位置：（4，0，0）这4根小棒一定要放在第一个杯子里吗？（体验“总有一个杯子里放进4根小棒”。） （1，3，0）这3根小棒一定要放在第二个杯子里吗？（体验“总有一个杯子里放进3根小棒”。） （2，0，2）这2根小棒一定要放在第三个杯子里吗？（体验“总有一个杯子里放进2根小棒”。） （1，2，1）这2根小棒一定要放在第二个杯子里吗？（体验“总有一个杯子里放进2根小棒”。）师：你还能在3个杯子里摆放出“每一个”杯子里都比2根少的情况吗？（想象、操作或交流得：不能。）整理：第一种放法：总有一个杯子里放了4根第二种放法：总有一个杯子里放了3根第三种放法：总有一个杯子里放了2根第四种放法：总有一个杯子里放了2根师：观察以上数据，你能发现什么？（总有一个杯子里放的根数不少于2）师：“不少于2”是什么意思？（大于或等于2）师：你能把“不少于”换一种说法吗？（至少、最少） 引导学生说出：把4根小棒放进3个杯子里，不管怎么放，“总有”一个杯子里“至少”放进2根小棒。追问：“总有”是什么意思？（一定存在） “至少”什么意思？（不少于，即：等于或大于）师：请同学们猜想，把5根小棒放进4个杯子中，会是怎样的情况呢？（学生猜想，汇报结果）师：看来同学们的想法不统一，大多数同学认为：把5根小棒放进4个杯子中，不管怎么放，“总有”一个杯子里“至少”放进2根小棒。到底谁的对呢？我们还需要验证。师：要像刚才那样一一列举吗？有没有更简便的方法证明这个结论呢？学生交流汇报交流结果：把5根小棒给每个杯子里放一根，还剩下一根，剩下的这根小棒不论放进哪个杯子，一定有一个杯子里至少放了2根小棒。师：谁都选择了这种方法呢？（大部分人举手）师：这是一种怎样的方法呢？（平均分）师：为什么只用平均分这种方法就能证明这个的结论呢？（学生交流）汇报交流结果：因为只有平均分才能使每个杯子里的小棒最少。把5根小棒放进4个杯子，平均每个杯子里放入1根小棒，还剩1根小棒，剩下的1根还要放进一个杯子里，无论放在哪个杯子里，总有一个杯子里会有2根。师：可以用算式表示这个方法吗？（可以）根据学生汇报板书：54=11 改题：把7根小棒放进6个杯子中，会是怎样的情况呢？（不管怎么放，“总有”一个杯子里“至少”放了两根小棒），理由呢？（商1表示先给每个杯子里放1根，余下的1根不论放进哪个杯子里，总有一个杯子里有2根小棒。）怎样用算是表示呢？（76=11 ）改题：把100根小棒放进99个杯子中，情况会怎样呢？（汇报结果及理由）师：这么大的数，同学们一下子就得出了结论，你们发现什么规律了？交流汇报：如果小棒的数量比杯子的数量多1，用小棒的数量除以杯子的数量，每个杯子放一根小棒，总会余下1根小棒，余下的这根小棒不论放进哪个杯子，总有一个杯子里至少有2根小棒。探究（二）师：刚才我们研究的都是小棒比杯子多1的情况，如果小棒的根数比杯子多2、多3、多4又会是怎样的结果呢？题目：把5根小棒放进3个杯子中，会是怎样的情况呢？先想一想，再试试看。交流汇报：5除以3，商1，余2，把余下的2根放在不同的杯子里，才能保证最少。因此，也是不论怎么放，总有一个杯子里有2根小棒。说理训练：把5根小棒放进3个杯子。列式：“ 53= 12”，理解：“把5根小棒平均放进3个杯子，每个杯子1根，还剩下2根，再把剩下的2根小棒平均放进2个杯子里，总有一个杯子里放进了（1+1）根小棒，也就是2根小棒”。改题：把7根小棒放进4个杯子中，会是怎样的情况呢？（总有一个杯子至少放2根）说理训练：把7根小棒放进4个杯子。列式：“ 74= 13”，理解：“把7根小棒平均放进4个杯子，每个杯子放1根，还剩3.根，再把剩下的3根小棒平均放进3个杯子里，总有一个杯子里放进了（1+1）根小棒，也就是2根小棒”。改题：（1）把10根小棒放进4个杯子中，会是怎样的情况呢？ （2）把19根小棒放进5个杯子中，会是怎样的情况呢？ （3）把41根小棒放进9个杯子中，会是怎样的情况呢？逐题“说理”找规律师：通过以上这些题目的研究，你发现了什么规律？归纳：小棒的数量比杯子的数量多，用小棒的数量除以杯子的数量，总有一个杯子里至少有“商+1”根小棒。质疑：为什么不管余数几，至少数都是“商+1”根，而不是“商+余数”根呢？引导归纳：因为余下的小棒要平均放在不同的杯子里，才能保证杯子里的小棒最少，而平均放在不同杯子里的只能是1根。，因此，要加1，而不是加余数。师总结：余1时，是“商+1”这个规律；余2、余3时，也是“商+1”这个规律。三、“抽屉原理”的由来：我们将小棒看做物体，杯子看做抽屉，当把M个物体放进N个抽屉里时，如果MN=BC(C0),那么“必定有”一个抽屉“至少”可以放（B+1）个物体。人们把这一原理形象的称为“抽屉原理”。“抽屉原理”也叫“鸽巢原理”。最先发现这个原理人是19世纪的德国数学家“狄里