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14 阳光家教网 高一化学学习资料2006-2007学年第一学期期末考试高二数学试卷(理) （考试时间为120分钟，总分为160分） 2007年1月一、选择题（每题5分，共计50分）1已知，则的值为A1 B-1 C D2设，且，则等于A BC D3函数的图象如图所示，则导函数的图象大致是xyOxyOAxyOBxyOCxyODf(x)4双曲线上的点P到点(5, 0)的距离是15, 则点P到点(5, 0)的距离是A7 B23 C11或19 D7或23 5已知实数x，y满足条件，则z = x + 3y的最小值是ABC12D126曲线与曲线的A焦距相等 B离心率相等 C焦点相同 D准线相同7“ab0”是“ab”的 A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不允分也不必要条件8设是所在平面外一点，若，则点在这个平面上的射影是的A重心 B垂心 C外心 D内心9删除正整数数列1，2，3，中的所有完全平方数，得到一个新数列这个新数列的第2007项是A2050 B2051 C2052 D205310已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为A8 B6 C4 D2二、填空题（每题5分，共计30分）11双曲线的渐近线方程是 12命题：“若，则或”的否命题是 13等差数列的第2，3，6项顺次成等比数列，该等差数列不是常数列，则这个等比数列的公比为 14设点P在抛物线上，且点P到此抛物线的焦点的距离为6，则点P的坐标为 15在曲线上取一点M，使过M点的切线方程与直线y=x平行，则M点的坐标是点 16以下四个关于圆锥曲线的命题中：设A、B为两个定点，k为正常数，则动点P的轨迹为椭圆；双曲线与椭圆有相同的焦点；方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；和定点及定直线的距离之比为的点的轨迹方程为其中真命题的序号为 三、解答题（共计80分）17（本题满分14分）已知抛物线的顶点在坐标原点，它的准线经过双曲线：的一个焦点且垂直于的两个焦点所在的轴，若抛物线与双曲线的一个交点是（1）求抛物线的方程及其焦点的坐标；（2）求双曲线的方程及其离心率18（本题满分16分）如图，已知长方体中，直线与平面所成的角为，垂直于点，是的中点（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求直线与平面所成角的正弦值；19（本小题满分16分）已知数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列；是公差为的等差数列；是公差为的等差数列（）（）若= 30，求；（）试写出a30关于的关系式，并求a30的取值范围；（）续写已知数列，可以使得是公差为3的等差数列，请你依次类推，把已知数列推广为无穷数列，试写出关于的关系式（N）；（）在（）条件下，且，试用表示此数列的前100项和20（本小题满分16分）已知在与时，都取得极值(1) 求的值；(2)若，求的单调区间和极值；(3)若对都有 恒成立，求的取值范围21（本小题满分18分）已知A、B、C是长轴长为4的椭圆上的三点，点A是长轴的一个顶点，BC过椭圆中心O，如图，且，（1）求椭圆的方程；（2）如果椭圆上两点P、Q使PCQ的平分线垂直AO，则总存在实数，使，请给出证明 班级_ 姓名_ 学号_装订线2006-2007学年第一学期期末考试高二数学试卷答卷（理）一、选择题（每题5分，共50分）题号12345678910答案二、填空题（每题5分，共计30分）11 12 13 14 15 16 三、解答题（共计80分）17（本题满分14分）18（本题满分16分）19（本题满分16分）20（本题满分16分）装订线21（本题满分18分）江苏省 高级中学2006-2007学年第一学期期末考试高二数学试卷参考答案（理）一、选择题（每题5分，共计50分）12345678910DCDDBAABCC二、填空题（每题5分，共计30分）11； 12若，则且； 1314； 15； 16三、解答题（共计80分）17（本题满分14分）已知抛物线的顶点在坐标原点，它的准线经过双曲线：的一个焦点且垂直于的两个焦点所在的轴，若抛物线与双曲线的一个交点是（1）求抛物线的方程及其焦点的坐标；（2）求双曲线的方程及其离心率解：（1）由题意可设抛物线的方程为 (2分)把代入方程为，得 (4分)因此，抛物线的方程为 (5分)于是焦点 (7分)（2）抛物线的准线方程为，所以， (8分)而双曲线的另一个焦点为，于是 因此， (10分)又因为，所以于是，双曲线的方程为 (12分)因此，双曲线的离心率 (14分)18（本题满分16分）如图，已知长方体中，直线与平面所成的角为，垂直于点，是的中点（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求直线与平面所成角的正弦值；解：在长方体中，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系 由已知，可得，又平面，从而与平面所成的角为，而，因此易得， (4分)（1）因为，所以 于是，异面直线与所成角的余弦值为 (10分)（2）易知直线的一个方向向量为，设是平面的一个法向量，由取，得，所以，即直线与平面所成角的正弦值 (16分)19（本小题满分16分）已知数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列；是公差为的等差数列；是公差为的等差数列（）（）若= 30，求；（）试写出a30关于的关系式，并求a30的取值范围；（）续写已知数列，可以使得是公差为3的等差数列，请你依次类推，把已知数列推广为无穷数列，试写出关于的关系式（N）；（）在（）条件下，且，试用表示此数列的前100项和解：（） 于是， (4分)（） 因此， (8分)（） (12分)（） + (16分)20（本小题满分16分）已知在与时，都取得极值(1) 求的值；(2)若，求的单调区间和极值；(3)若对都有 恒成立，求的取值范围解：（1）f (x)3x22a xb0由题设，x1，x为f (x)0的解a1，1()a，b2 (4分)经检验得：这时与都是极值点 (5分)（2）f (x)x3x22 xc，由f (1)12c，c1f (x)x3x22 x1x（，）（，1）（1，）f (x) f (x)的递增区间为（，），及（1，），递减区间为（，1）当x时，f (x)有极大值，f ()；当x1时，f (x)有极小值，f (1)(10分)（3）由（1）得，f (x)(x1)(3x2)，f (x)x3x22 xc，f (x)在1，及（1，2上递增，在（，1）递减而f ()ccf (2)824cc2 f (x)在1，2上的最大值为c2 或 或 (16分)21（本小题满分18分）已知A、B、C是长轴长为4的椭圆上的三点，点A是长轴的一个顶点，BC过椭圆中心O，如图，且，（1）求椭圆的方程；（2）如果椭圆上两点P、Q使PCQ的平分线垂直AO，则总存在实数，使，请给出证明解：（1），即， (4分)如图建立直