数学北师大版七年级上册课例.doc

经历探究过程 提高核心素养以人教A版高中课标实验教材数学（必修5）“等比数列的前项和”公式探究为例 研究的问题： 普通高中数学课程标准（征求意见稿）在基本理念中明确提出“高中数学教学活动要树立以发展学生核心素养为导向的教学意识，创设有利于学生核心素养发展的教学情境，启发学生思考，引导学生把握数学内容的本质。”由此可见，教师在数学知识、方法的教学过程中要创设让学生经历知识、方法的发现、证明、应用的情境，学生在此情境中能得到思维的启迪，数学本质的把握，从而发展数学核心素养。 等比数列前项和公式是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等,另外公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养但是等比数列前项和公式的发现和证明对学生来说非常困难，学生几乎不能独立发现和证明。这就导致教学过程中存在以下问题：（一）省略化 有的老师认为公式的发生、发展讲与不讲都没有区别，只讲公式（结论）是什么，还可留下足够时间学习公式怎么用，剥夺学生数学知识获得的经历。（二）简单化 有的老师认识到过程和错位相减的重要性，便照本宣科，把教材设计过程简单复述一遍，学生也听不出公式的来龙去脉，不清楚为什么要两边同时乘以2，把公式和方法强行灌输给学生。不利于学生的理解和掌握，更谈不上提升数学素养。（三）模式化 有的课堂千篇一律：读课本讲例题做练习，美其名曰数学课堂三部曲，形成固定模式。学生读没读懂课本不管，知识的来源不问，知识的为什么不究。只关注解题。 教学实践：等比数列前项和公式探究 教学设计及意图【教学设计】（一） 等比数列前项和公式探究1 创设情景，故事引新故事： “国王对国际象棋的发明者的奖励”相传古印度国王为奖赏国际象棋的发明者，问他有什么要求，发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，在第2个格子里放上2颗麦粒，在第3个格子里放上4颗麦粒，依次类推，每个格子放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到放完64个格子为止。请给我足够的粮食来实现上述要求。”你认为国王有能力满足发明者上述要求吗？设计意图：用广为流传的故事，以趣引思,激发学生学习热情和兴趣，领悟数学应用价值。思考：如何求出这个和？解：-得：设计意图：数学来源于生活，生活来源于事实，把事实问题数学化，为探究找到对象，为发现错位相减法打下思维的阶梯。2 探索研究，推导公式设等数列,它的前n项和是，公比q0思考：能否用？因为，则上式就转化为问：等式右边各项“长相”上有什么特点？ 怎样求的？答：从第二项起每一项比前一项多乘以q.因此，如果两边同时乘以公比q从而有：方法：错位相减法，然后？再完善公式，对这一特殊情况，让学生先犯错，再纠错结论：当时， 或当q=1时，设计意图：以疑导思，激发学生的探索欲望，营造一个让学生主动观察，启发思考、合作讨论的氛围.在教师的指导下，让学生经历探究公式发生、发展的过程，从而体验到学习的愉快，享受到成功的快乐【教学实录】（一） 等比数列前项和公式探究1 创设情景，问题引新(PPT出示) 故事：“国王对国际象棋的发明者的奖励”相传古印度国王为奖赏国际象棋的发明者，问他有什么要求，发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，在第2个格子里放上2颗麦粒，在第3个格子里放上4颗麦粒，依次类推，每个格子放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到放完64个格子为止。请给我足够的粮食来实现上述要求。”教师：你认为国王有能力满足发明者上述要求吗？学生思考未答。教师：解决实际问题的基本步骤有哪些？学生5：一是仔细阅读题目，找准关键语句，弄清楚求什么，怎么求；二是提取相关数学信息，建立数学模型；三是根据数学模型解决问题。教师：本题的关键语句是哪一句？学生6: 每个格子放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍。教师：本题求什么，如何求？学生7：求麦粒的总数，每个格子的麦粒加起来即可，即。教师：很好！这个问题的本质是什么呢？众生：这是一个等比数列求和问题。2 探索研究，推导公式教师：根据刚才的问题，你认为该如何对一般等比数列的前项和下定义呢？学生8：(思索后)类比等差数列的定义，一般地，我们称为等比列的前项和，用表示，即. 教师：类比得很好！也即是：，能否用来表示呢？众生沉默思考，不知所措。教师：这个问题比较难，我们先来思考刚才麦粒总数，请同学们思考怎么求解？（学生讨论，教师巡视，参与交流、指导，两分钟后。）学生9：逐个相加。（有几个学生附和，也有学生提出怎么加？太大！有的一筹莫展。）教师：请同学们观察和，他们的左、右两边式子各有什么相同点？学生10：左边都有，右边有63项相同项的和。教师：对。那我们能求解吗？怎样求？学生11：能，用式减去式： - 。教师：大家觉得如何？（学生掌声响起）教师：那刚才等比数列的怎么求呢？（众生又沉默，有的不知所措，有的托腮沉思，有的在草稿纸上演算，两分钟后有学生12：两边同乘以2，再相减；）教师：请试一试。（该同学继续演算，其他也有同学演算。）学生13：不能求出。教师：我们回顾在求解中的关键是什么？学生14：在求和式子中两边同乘以2，即，教师：2是这个数列的什么？学生15：公比。教师：两边同乘以公比2有何作用？学生16：构造的方程，63项相同的和。哦，我知道了，两边乘以，得到，应该能推导出。教师：请同学们试试。学生17： -所以 。教师：对吗？ 学生18：不对，呢。教师：非常好，两位同学非常棒！合在一起，就是我们等比数列求和公式： 教师：推导过程的关键在哪儿？学生19：在两边同时乘以，使得两式有项完全相同，然后两式错开相减。教师：这叫什么方法呢？大家给它取个名。学生20：叫乘公比，错开相减法。教师：大家都叫错位相减法。教师：什么时候用？什么时候用？学生21：当已知时用公式，当已知时用公式。【教学反思（一）】 数学是思维的体操，是培养学生分析问题、解决问题的能力及创造能力的载体。新课程倡导：强调过程，强调学生探索新知识的经历和获得新知识的体验，不能再让教学脱离学生的内心感受，必须让学生追求过程的体验。学生获取的新知识是在学生已有知识和能力的基础上生成、发展、建构的，在生成、发展、建构的过程中应是比较自然，水到渠成的，老师不能把知识和方法强行灌输给学生，在某种程度上，学生应该重走数学家发现知识、方法之路。在这一节课中，如何启发引导学生自然地、合情地发现在两边同时乘以，建立的方程是本节课的难点，是错位相减法的关键，学生自主探究、自主发现有很大困难，我采取算麦粒总数的的故事引入具体特殊问题：怎样求解，有同学想到的是最原始的思路：逐个相加，但计算复杂，数据较大，几乎不可操作，特别是项数更多，更一般项呢！学生第一次遇到，无经验、思路可借鉴。这就促使我们教师要创设好思维、知识适合学生最近发展区的阶梯情境，让学生经过观察、思考、动手试作后能找出解决的办法。本课教师设计把的两边同时乘以2得到，并让学生观察他们的异同，引导学生发现两式相减得解。老师进一步发问“解决该问题的关键？”，“2是该数列的什么？”“乘以2有何作用？”用问题串启发性很强，思维铺垫很成功，老师的主导作用和学生的主体作用在边问边答中体现得淋漓尽致，学生由特殊到一般，运用类比联想自然地发现错位相减法，比较轻松的突破难点。可掩卷沉思，不禁要问：“为什么要构造,是怎样想到两边同时乘以2，而不是其他数呢？”“是不是老师对错位相减法的一个特殊应用？”确实老师有灌输的嫌疑。那该怎么办呢？于是有了下面的改进。 教学改进【教学设计】（二） 等比数列前项和公式探究故事和思考1与第一次相同，在教学设计（一）增设：思考2：如果第1个格子里放上2颗麦粒，在第2个格子里放上4颗麦粒，在第3个格子里放上8颗麦粒，依次类推，每个格子放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到放完64个格子为止，一共需要多少颗麦粒呢？即如何求出这个和？解：设-得： 设计意图：数学来源于生活，生活来源于事实，把事实问题数学化，为探究找到对象，为发现错位相减法打下思维的阶梯。修正说明：1、从学生学习方式思考，直接给出，学生难以接受，来得突然，生硬，没有逻辑。学生是被动的接受，不是有意义的主动探究。2、从学生发展思考，直接给出，不是授人以渔，不在学生的最近发展区，不能启迪学生思维，学生对知识、方法的同化和顺应没有帮助。3、从教师教学设计思考，直接给出，太简单、粗糙。4、增设的思考2，自然，合乎情理，在求和的过程中，通过比较学生就能发现他们是2倍关系，通过自主探究学生也能得到，这一设问在学生最近发展区，为让学生成功地经历“错位相减法”的发现做好铺垫，为后面公式的推导打下坚实的思维方法的阶梯。5、增设的思考2，能使学生的角色转换，由被动的接受，变成主动的探究，获得成功的情感体验，获得数学活动经验。（其它与教学设计（一）相同，故略）【教学实录】（二） 等比数列前项和公式探究1 创设情景，问题引新（教学实录（一）相同，故略）2 探索研究，推导公式（学生9和他前面的与教学实录（一）相同，故略）教师：如果第1个格子里放上2颗麦粒，在第2个格子里放上4颗麦粒，在第3个格子里放上8颗麦粒，依次类推，每个格子放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到放完64个格子为止，一共需要多少颗麦粒呢？即如何求出这个和？学生10：还是逐个相加。（仍有几个学生附和，仍有学生提出怎么加？太大！ 有的一筹莫展。）教师：给足够的时间，逐个相加能够算出来的，那如果更多项，甚至项呢？众生摇头，满脸疑惑。教师：请同学们观察和，他们有什么联系？学生11：式是式的两倍，也可记作。（其它与教学实录（一）相同，故略）【教学反思】（二）从人类思维的发展，知识的生成和发现，科技的更新来反思，教学过程应是学生经历和感受知识生成、发展的过程，而不是学生去死记硬背知识本身的过程，即公式探索过程中所蕴含的思想方法比公式本身更为重要。长期以来,我们的教学太过于重结论,轻过程。为了应付考试,为了使对公式定理应用达到所谓的“熟能生巧”,教学中不惜花大量的时间采用题海战术来进行强化。在数学概念、公式的教学中往往采用的所谓“掐头去尾烧中断”的方法,到头来把学生强化成只会套用公式的解题机器,这样的学生面对新问题就束手无策。基于以上认识,在设计本节课时,教师所考虑的不是简单地告诉学生等比数列求和公式，不是简单的告诉在的两边乘以2，解出,也不是简单的告诉在的两边乘以，解出，而是引用故事、创设计算方法的数学情境（变换麦粒条件），自然地得到，引导学生自己去探索、发现、推导公式，这一情境创设自然，学生思维流畅，在学生思维的最近发展区，学生把和一对比就能轻松的发现错位相减，为推导公式打下方法基础。在普通高中数学课程标准（实验）中课程的基本理念要求：倡导积极主动，用于探索的学习方式，学生的学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程应倡导自主探索，-，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程，高中数学课程应力求通过各种不同形式的自主学习，探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识。通过思考2，学生就能独立、自主学习和探究，成功地“再创造”错位相减法，体验到数学发现和创造的历程。数学课程标准（实验）中课程的基本理念还要求：高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质。通过思考2，学生经历了错位相减法的发现过程，熟悉了他的本质。从建构主义认知理论所揭示的认知发展规律看，知识不是外在于人的心灵的存在，而是具有认知能力的个体在具体情景中，通过与情景的相互作用建构生成的。增设的思考2，与思考1共同构建数学情境，能使学生在轻松自然的情景下建构的方程，自主发现和生成错位相减法。学生自然地同化和顺应错位相减法。从教育学原理看，他们要求在教育教学中以学生为中心，主张人的全面发展；重视学生的认识、情感、兴趣、动机以及潜能的发挥；坚持学生是学习的主人，强调教师是激发学生学习的促进者、指导者，要改变学生那种单纯地被动接受教师知识传输的学习方式，帮助和指导学生在开展有意义接受学习的同时，形成一种对知识技能进行主动探求并重视实际问题解决的主动积极的学习方式。增设思考2，把学生的被动接受变成了主动探究，经历了错位相减法成功的发现过程。总之，通过增设的思考2，为学生搭建了思维的阶梯，它不但在学生的最近发展区，而且设计自然，好似“事实”本身，学生觉得亲切，学生由被动的接受错位相减法变换为主动探索并成功地发现了错位相减法，还成功的应用解决了等比数列前n项和公式，真正地解决了课本和第一次设计存在的问题。并且在推导发现公式的过程中让学生真正体会到:数学知识来源于生活，又服务于生活。公式并不是凭空产生的，得到公式并不都是高不可攀的事情,通过自己的努力,也可以成功完成一些看似数学家才能完成的事。在这个过程中,学生在课堂上的主体地位得到了充分的发挥。让学生亲历了知识发现的过程，“重蹈人类思维发展中那些关键性步子”，再现了数学家对一些重大发现产生的渊源及过程，把培养“有益的思考方式及应有的思维习惯”放在了教学首位。 研究结论：一、 对比研究第一次设计在探寻求解的过程中，学生除了逐个相加以外束手无策，看似在“愤、悱”状态，老师此时指点迷津告诉学生， 好像指出了求解的阳光道，实际上学生除了去计算以外，没其它思考，为什么要这样计算？是怎样得来的？学生一头雾水，实际是老师帮学生解决了问题，学生成了旁观者。为什么？是因为求解这一问题坡度较大，不在学生思维、知识、技能的最近发展区，无论是对于思维较灵活，还是较迟缓，对于基础知识较好，还是较差的都不能真正求解。学生会有挫败感。老师告诉学生，是灌输，是填鸭，数学作为思维的体操的功用就不能发挥，更谈不上学生“重蹈人类思维发展中那些关键性步子。”学生没有经历知识、方法的生成和发现过程，不利于学生创新思维和能力的培养。第二次设计在探寻求解的过程中，学生除了逐个相加以外束手无策，老师没有告诉学生，而是巧改故事，把一粒改成两粒，把两粒改成四粒，把四粒改成八粒，以此类推，共需粒，请学生计