鸡兔同笼问题的几种解法.ppt

鸡兔同笼问题的几种解法 一 总述鸡兔同笼问题是我们中国古代的数学名题之一 大约在1500年前 孙子算经 中就记载了这个有趣的问题 书中是这样叙述的 今有雉兔同笼 上有三十五头 下有九十四足 问雉兔各几何 这四句话的意思是 有若干只鸡兔同在一个笼子里 从上面数 有35个头 从下面数 有94只脚 问笼中各有几只鸡和兔 针对此种问题 我们应该怎么去解决呢 二 鸡兔同笼问题常用的解法1 假设法2 抬脚法3 方程法4 列表法 1 假设法例 今有鸡 兔共居一笼 已知鸡头和兔头共35个 鸡脚与兔脚共94只 问鸡 兔各有多少只 解析 已知情况鸡脚2鸡兔共35只兔脚4鸡兔总脚数94只 假设笼子里全是鸡 那么总脚数应为35 2 70只对比实际94只的总脚数假设的情况比实际情况少了94 70 24只减少的原因是把一只兔当作一只鸡时 要减少4 2 2只脚 所以兔有24 2 12只 鸡有35 12 23只 假设笼子里全是兔 此时总脚数应为35 4 140对比实际94只的总脚数 假设的情况比实际情况多了140 94 46增加的原因是把一只鸡当作兔子时 要增加4 2 2只脚所以有鸡46 2 23只兔有35 23 12只 分析与解答 鸡兔同笼问题往往用假设法来解答 即假设全是鸡或全是兔 脚的总数必然与条件矛盾 根据数量上出现的矛盾适当调整 从而找到正确答案 假设全部都是鸡 总脚数 每只鸡的脚数 总头数 每只兔脚数 每只鸡的脚数 兔数 总头数 兔数 鸡数 假设全部都是兔 每只兔脚数 总头数 总脚数 每只兔脚数 每只鸡脚数 鸡数 总头数 鸡数 兔数 2 抬脚法例 今有鸡 兔共居一笼 已知鸡头和兔头共35个 鸡脚与兔脚共94只 问鸡 兔各有多少只 解析 让兔子和鸡同时抬起两只脚 这样笼子里的脚就减少了头数 2只 35 2 70只 由于鸡只有2只脚 所以笼子里只剩下兔子的两只脚 总共剩下94 70 24只再除以2就是兔子数 每只兔子还有2只脚站着 24 2 12只鸡35 12 23只假设鸡和兔子都抬起一只脚 笼中站立的脚 94 35 59 只 然后再抬起一只脚 这时候鸡两只脚都抬起来就摔倒了 只剩下用两只脚站立的兔子 站立脚 59 35 24 只 兔 24 2 12 只 鸡 35 12 23 只 为了更好理解抬腿法可以讲此方法推广位砍腿法我们首先砍去每只鸡 每只兔的两条腿 这样每只鸡就没有腿了 每只兔子就剩下了两条腿 腿的总数也就变成了94 35 2 24 条 那么这24条腿都是砍掉两条腿后的兔子的腿 所以兔子的只数就是24 2 12 只 鸡的只数就是35 12 23 只 我们仔细观察会发现它的计算过程和假设法中先把所有的都看成鸡的做法是一样的 只不过这种说法 我们理解起来更容易而已 3 方程法例题同上例 今有鸡 兔共居一笼 已知鸡头和兔头共35个 鸡脚与兔脚共94只 问鸡 兔各有多少只 一元一次方程解 设兔有x只 则鸡有 35 x 只 4x 2 35 x 94x 12则鸡有35 12 23 只 二元一次方程解 设鸡有x只 兔有y只 x y 35x 122x 4y 94y 23 解题步骤 1 认真审题 找准条件和问题2 列出关系式 3 设未知数 列出方程4 解方程或者方程组5 检验作答 4 列表法 例 鸡兔同笼共12个头 32条腿鸡兔各有几只 解析 先用逐一列表的方式 计算出一只鸡11只兔的腿数 和2只鸡10只兔的腿数 为第三步做准备 通过第一 二步的计算 我们发现了兔子只数减少一只时 腿数减少2 兔子要减少多少只 腿才能减少到32条 44 32 12 条 12 2 6 只 此时我们可以先把第三步的腿数32填在表中 这样上面计算时的所有数据 从表中就能清楚找到 12是44与32的差 我们把它叫做后差 2是46与44的差 我们把它叫做前差 6是后差与前差的商 说明兔子要减少6只 那么鸡就增加6只 因此在第三步的表中 鸡数就是2 6 8 兔子数就是10 6 4 就是让我们列出表格 采用依次列举 逐步尝试的方法来解决这个问题列表法解析鸡兔同笼问题简单明了清晰易懂 关键步奏是通过列表队找出各要素的变化规律但是此种方法过程太过笨拙 繁琐 数字越大越复杂 课堂练习 1 红铅笔每支0 19元 蓝铅笔每支0 11元 两种铅笔共买了16支 花了2 80元 问红 蓝铅笔各买几支 2 100个和尚140个馍 大和尚1人分3个馍 小和尚1人分1个馍 问 大 小和尚各有多少人 参考答案1 本题由中国古算名题 百僧分馍问题 演变而得 如果将大和尚 小和尚分别看作鸡和兔 馍看作腿 那么就成了鸡兔同笼问题 可以用假设法来解 假设100人全是大和尚 那么共需馍300个 比实际多300 140 160 个 现在以小和尚去换大和尚 每换一个总人数不变 而馍就要减少3 1 2 个 因为160 2 80 故小和尚有80人 大和尚有100 80 20 人 同样 也可以假设100人都是小和尚2 分析与解 我们设想有一只 怪鸡 有1个头11只脚 一种 怪兔 有1个头19只脚 它们共有16个头 280只脚 这样 就将买文化用品问题转换成鸡兔同笼问题了 假设买