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第一章第一章 运动的描述运动的描述 1 1 1 1 质点运动的描述质点运动的描述 力学是研究物体机械运动的规律及其力学是研究物体机械运动的规律及其 应用的科学应用的科学 分为三部分 分为三部分 1 运动学 运动学 如何描述物体的运动及运动物理量之间的关系如何描述物体的运动及运动物理量之间的关系 不涉及引起运动的原因不涉及引起运动的原因 2 动力学 动力学 物体运动和物体间相互作用的内在联系物体运动和物体间相互作用的内在联系 3 静力学 静力学 物体在相互作用下的平衡问题 物体在相互作用下的平衡问题 第一章第一章 运动的描述运动的描述 1 1 1 1 质点运动的描述质点运动的描述 第一章第一章 运动的描述运动的描述 伽利略 意 伽利略 意 15641564 16421642 首先要研究物体首先要研究物体怎样运动怎样运动 然后 然后 才能研究物体才能研究物体为什么运动为什么运动 伽利略伽利略 相对相对 运动运动 质点和质点和 刚体刚体 参考系参考系 坐标系坐标系 运动学运动学 两类基本两类基本 问题问题 结构框图结构框图 描述运描述运 动的四动的四 个物理个物理 量量 第一章第一章 运动的描述运动的描述 1 1 1 1 质点运动的描述质点运动的描述 一 描述运动的基本概念一 描述运动的基本概念 研究力学要明确两个基本思想研究力学要明确两个基本思想 1 物体运动是绝对的物体运动是绝对的 但运动的描写是相对的 但运动的描写是相对的 参照系参照系 描写物体运动选择的标准物 描写物体运动选择的标准物 选取的选取的 参考系不同 对物体运动情况的描述不同 参考系不同 对物体运动情况的描述不同 这就是运动描述的相对性这就是运动描述的相对性 坐标系坐标系 可精确描写物体运动 建立在参照系可精确描写物体运动 建立在参照系 上 使运动描述定量化的数学抽象上 使运动描述定量化的数学抽象 第一章第一章 运动的描述运动的描述 1 1 1 1 质点运动的描述质点运动的描述 常用的坐标系有直角坐标系常用的坐标系有直角坐标系 x y z 球坐标系球坐标系 r 柱坐标系柱坐标系 r z 极坐标系极坐标系 r 自然坐标系自然坐标系 第一章第一章 运动的描述运动的描述 1 1 1 1 质点运动的描述质点运动的描述 解决物理问题时一般要将复杂的实际问解决物理问题时一般要将复杂的实际问 题进行简化题进行简化 建立理想化的物理模型 例如建立理想化的物理模型 例如 物体上所有点的运动轨迹都相同 不涉及物体的物体上所有点的运动轨迹都相同 不涉及物体的 转动及形变 转动及形变 用一个点的运动来代替整个物体运动 用一个点的运动来代替整个物体运动 质点质点 物体运动范围物体运动范围 物体本身线度物体本身线度 大小和形状对运动大小和形状对运动 没有影响或影响可以忽略没有影响或影响可以忽略 只做平动 无转动和形变 只做平动 无转动和形变 2 建立理想化的模型建立理想化的模型 第一章第一章 运动的描述运动的描述 1 1 1 1 质点运动的描述质点运动的描述 研究地球公转研究地球公转 地球上各点的公转速度地球上各点的公转速度 相差很小相差很小 忽略地球自忽略地球自 身尺寸的影响身尺寸的影响 作为质作为质 点处理点处理 研究地球自转研究地球自转 地球上各点的速度相差地球上各点的速度相差 很大很大 因此因此 地球自身地球自身 的大小和形状不能忽略的大小和形状不能忽略 这时不能作质点处理这时不能作质点处理 第一讲 描述质点运动的四个物理量 刚体 刚体 物体上任意两点间的距离不变物体上任意两点间的距离不变 物体无转动运动时物体无转动运动时可视为质点可视为质点 物体上任一点都可物体上任一点都可 以代表物体的运动以代表物体的运动 质点系质点系 质点的集合 质点的集合 m1 m2 mi mn n i i mm 1 质点质点 质点系质点系 刚体刚体 集合集合 特例特例 相互关系相互关系 第一章第一章 运动的描述运动的描述 1 1 1 1 质点运动的描述质点运动的描述 1 位置矢量 位置矢量 位矢 位矢 1 位置矢量 位置矢量 描写质点空间位置的物理量 描写质点空间位置的物理量 从坐标原点指向质点所在位置的矢量从坐标原点指向质点所在位置的矢量 P o r opr 质点质点运动方程运动方程 t rr ttr 二 描述运动的四个基本物理量二 描述运动的四个基本物理量 时间 大小 方向时间 大小 方向 第一章第一章 运动的描述运动的描述 1 1 1 1 质点运动的描述质点运动的描述 kzj yi xr r P x y zx z y o 222 rrxyz 位矢位矢 的值为的值为 r i j k 第一章第一章 运动的描述运动的描述 1 1 1 1 质点运动的描述质点运动的描述 rx cos rz cos ry cos 位矢位矢 的方向余弦的方向余弦 r P P r x z y o x z y o 运动方程运动方程 ktzjtyitxtr txx tyy tzz 分量式分量式 从中消去参数从中消去参数 得得轨迹方程轨迹方程 举例举例 0 zyxf t tr tx ty tz 第一章第一章 运动的描述运动的描述 1 1 1 1 质点运动的描述质点运动的描述 t r tt r r S O A B 2 位移矢量 位移 位移矢量 位移 trttrr 路程 路程 质点运动过程中经过的空间距离质点运动过程中经过的空间距离 注意 注意 一般地说 一般地说 rs 特例 特例 1 质点作单方向直线运动时质点作单方向直线运动时 rs 2 当当0t 时时 rdds BABABA xxiyyjzzk xiyjzk 第一章第一章 运动的描述运动的描述 1 1 1 1 质点运动的描述质点运动的描述 222 zyxr rr 2 1 2 1 2 1 zyx 2 2 2 2 2 2 zyx r 位移的物理意义位移的物理意义 A 确切反映物体在空确切反映物体在空 间位置的变化间位置的变化 与路径无关 与路径无关 只决定于质点的始末位置只决定于质点的始末位置 B 反映反映了运动的矢量了运动的矢量 性和叠加性性和叠加性 s 1 tr 1 P 2 tr 2 P r 注意注意 位矢长度位矢长度 的变化的变化 x y O z r kzj yi xr O 1 P 2 P 1111 zyxP 2222 zyxP 第一章第一章 运动的描述运动的描述 1 1 1 1 质点运动的描述质点运动的描述 位矢与位移的区别 位矢与位移的区别 位矢为从坐标原点指向质点所在位置的位矢为从坐标原点指向质点所在位置的 有向线段 有向线段 位移为从起点指向终点的有向线段 位移为从起点指向终点的有向线段 方向方向 时间时间 位矢与某一时刻对应 位矢与某一时刻对应 位移与某一段时间对应 位移与某一段时间对应 x O y rA A B rB r 第一章第一章 运动的描述运动的描述 1 1 1 1 质点运动的描述质点运动的描述 3 速度与速率 速度与速率 描写物体运动快慢和方向的物理量 描写物体运动快慢和方向的物理量 平均速度平均速度 定义 定义 t r v 物体的位移与发物体的位移与发 生这段位移所用的时生这段位移所用的时 间之比 间之比 r x O y A B A r B r 第一章第一章 运动的描述运动的描述 1 1 1 1 质点运动的描述质点运动的描述 瞬时瞬时 速度速度 对于变速曲线运动的物对于变速曲线运动的物 体 速度大小与方向都在随体 速度大小与方向都在随 时间改变 时间改变 无限分割路径 无限分割路径 以直代曲 以直代曲 以不变代变 用平均速以不变代变 用平均速 度代替变速度 度代替变速度 令令 0 t 取极限 取极限 A B t t r v r 第一章第一章 运动的描述运动的描述 1 1 1 1 质点运动的描述质点运动的描述 t v t r lim 0 速度速度 方向方向 沿运动轨迹 沿运动轨迹 的切线方向 的切线方向 x O y A B dt dr A v B v drdxdydz vijk dtdtdtdt xyz vv iv jv k 大小 大小 222 xyz vvvv 第一章第一章 运动的描述运动的描述 平均速率平均速率 t s v r ttr B tr A x y o s d d s t v 瞬时瞬时 速率速率 讨论讨论 vv 当当 时时 0 tsr vv 第一章第一章 运动的描述运动的描述 1 1 1 1 质点运动的描述质点运动的描述 注意注意 1 平均速度与平均速率的区别 平均速度与平均速率的区别 平均速度 平均速度为物体发生的位移与为物体发生的位移与 时间之比 为矢量 时间之比 为矢量 平均速率 平均速率为物体经过的路程为物体经过的路程 与时间之比 为标量 与时间之比 为标量 s r A B t s v t r v 第一章第一章 运动的描述运动的描述 1 1 1 1 质点运动的描述质点运动的描述 2 速度与速率的区别与联系 速度与速率的区别与联系 速度 速度为位矢为位矢r对时间的一次导数 为矢量 对时间的一次导数 为矢量 速率 速率为速度的大小 为标量 为速度的大小 为标量 dt d vv r 第一讲 描述质点运动的四个物理量 总结 总结 1 1 速度与速率的关系 速度与速率的关系 平均速度 平均速度 t r t r v t d d lim 0 瞬时速度瞬时速度 速度速度 t r v 矢量矢量 平均速率平均速率 t s v 瞬时速率瞬时速率 速率速率 t s t s v t d d lim 0 标量标量 rs vv 一般情况下 一般情况下 平均速度的平均速度的 大小不等于平均速率 大小不等于平均速率 d dd drs v tt vv 速度的大小等于速率 速度的大小等于速率 第一讲 描述质点运动的四个物理量 讨论 讨论 t r t r d d d d 2 t r t s t r v d d d d d d 位矢大小的时位矢大小的时 间变化率间变化率 位矢时间变化率位矢时间变化率 速度 的大小 速度 的大小 rr rr dd B r O r r A r limlim 00t r t r tt 即 即 第一章第一章 运动的描述运动的描述 1 1 1 1 质点运动的描述质点运动的描述 一运动质点在某瞬时位于矢径一运动质点在某瞬时位于矢径 的端点的端点 处 其速度大小为处 其速度大小为 yxr t r d d t r d d A B B B t r d d 22 d d d d t y t x C D 第一章第一章 运动的描述运动的描述 1 1 1 1 质点运动的描述质点运动的描述 1 定义 定义 描写质点速度变化快慢和方向的描写质点速度变化快慢和方向的 物理量 物理量 v AB vvv 速度变化为速度变化为 4 加速度 加速度 x O y A B A v B v A v 第一章第一章 运动的描述运动的描述 1 1 1 1 质点运动的描述质点运动的描述 2 平均加速度 平均加速度 t v a 3 瞬时瞬时 加速度加速度 2 2 0 lim dt rd dt vd t v a t 大小 大小 2 2 dt rd dt vd 方向 方向 0t 时 时 v 的极限方向的极限方向 第一章第一章 运动的描述运动的描述 1 1 1 1 质点运动的描述质点运动的描述 说明 说明 方向 方向 加速度方向为速度变加速度方向为速度变 化的方向 指向运动化的方向 指向运动 轨迹的凹的一侧 轨迹的凹的一侧 加速度是描写速度变化的物理量 加速度是描写速度变化的物理量 质点的速度大 加速度不一定大 质点的速度大 加速度不一定大 质点的加速度大 速度不一定大 质点的加速度大 速度不一定大 a 1 描写平面曲线运动的四个物理量描写平面曲线运动的四个物理量 四 加速度四 加速度 第一章第一章 运动的描述运动的描述 1 1 1 1 质点运动的描述质点运动的描述 加速度 加速度 kajaiak dt dv j dt dv i dt dv k dt zd j dt yd i dt xd dt vd a zyx z y x 2 2 2 2 2 2 加速度大小加速度大小 222 xyz aaaa 第一章第一章 运动的描述运动的描述 1 1 1 1 质点运动的描述质点运动的描述 v t v dt d d d 讨论 讨论 t v t v t 00t limlim 即 即 B v v v dt d d dv t v vv A v 第一章第一章 运动的描述运动的描述 1 1 1 1 质点运动的描述质点运动的描述 O d d a t v 问问 吗 吗 dv tv d tt v 讨论讨论 d ttt vv因为因为 d 0 dt v 所以所以 0a 而而 例例 匀速率圆周运动匀速率圆周运动 所以所以 t a d dv 第一章第一章 运动的描述运动的描述 1 1 1 1 质点运动的描述质点运动的描述 小结 结 描述质点运动的四个基本物理量描述质点运动的四个基本物理量 描述对象描述对象 物理量物理量 定义定义 位置位置 位矢位矢 位置变化位置变化 位移位移 位置变化率位置变化率 速度速度 速度变化率速度变化率 加速度加速度 12 rrr t r v d d t r r 中心中心 2 2 t r t v a d d d d 第一章第一章 运动的描述运动的描述 1 1 1 1 质点运动的描述质点运动的描述 ta tr 求导求导 求导求导 积分积分 积分积分 tv 1 由质点的运动方程可以求得质点在任一由质点的运动方程可以求得质点在任一 时刻的位矢 速度和加速度 时刻的位矢 速度和加速度 2 已知质点的加速度以及初始速度和初始已知质点的加速度以及初始速度和初始 位置位置 可求质点速度及其运动方程可求质点速度及其运动方程 三 三 质点运动学两类基本问题质点运动学两类基本问题 第一章第一章 运动的描述运动的描述 1 1 1 1 质点运动的描述质点运动的描述 dt rd v 2 2 dt rd dt vd a 一维运动一维运动 dt dx v 2 2 dt xd dt dv a 微分法微分法 第一类问题第一类问题 第一章第一章 运动的描述运动的描述 1 1 1 1 质点运动的描述质点运动的描述 例例1 1 类似类似P P2323例例2 2 已知质点的运动方程已知质点的运动方程 SISI制制 求 求 1 1 t t 1 1s s时质点的位矢时质点的位矢 2 2 t 1st 1s时质点的速度和加速度 时质点的速度和加速度 jti tr 2 2 1 t 1s 时 时 jir 2 1 m 2 jivj ti dt rd v t 2222 1 smv 22 1 45 1 x y v v tg j dt vd a 2 解 解 第一章第一章 运动的描述运动的描述 1 1 1 1 质点运动的描述质点运动的描述 例例2 类似类似P23P23例例1 1 如图所示如图所示 A B 两物体由一两物体由一 长为长为 的刚性细杆相连的刚性细杆相连 A B 两物体可在光滑轨道上两物体可在光滑轨道上 滑行滑行 如物体如物体A以恒定的速率以恒定的速率 向左滑行向左滑行 当当 时时 物体物体B的速率为多少 的速率为多少 l v 60 解解 建立坐标系如图建立坐标系如图 OAB为一直角三角形 刚性细杆的长度为一直角三角形 刚性细杆的长度 l 为一常量为一常量 x y o A B l v 物体物体A 的速度的速度 ii t x i xA vvv d d 物体物体B 的速度的速度 j t y i yB d d vv 第一章第一章 运动的描述运动的描述 1 1 1 1 质点运动的描述质点运动的描述 y 222 x l x y o A B l v 两边求导得两边求导得 0 d d 2 d d 2 t y y t x x 即即 t x y x t y d d d d j t x y x B d d v y x t x tan d d v j B tanvv B v 沿沿 轴正向轴正向 当当 时时 y1 73 B vv 60 第一章第一章 运动的描述运动的描述 1 1 1 1 质点运动的描述质点运动的描述 例例3 P25P25例例4 4 如图 在高为如图 在高为h的岸边 的岸边 绞车以恒定的速度绞车以恒定的速度v0收拖缆绳使船靠岸 求收拖缆绳使船靠岸 求 当船头与岸的水平距离为当船头与岸的水平距离为x时船的速度和加时船的速度和加 速度速度 h x x v0 第一章第一章 运动的描述运动的描述 1 1 1 1 质点运动的描述质点运动的描述 解 先写出运动方程解 先写出运动方程 222 xhl dt dx x dt dl l22 h x 0 v l 0 v dt dl 船的速度船的速度 0 22 v x hx dt dl x l dt dx 加速度加速度 3 2 0 22 122 0 2 122 0 1 1 x vh dt dx dx hxd dt hxd dt dv a 第一章第一章 运动的描述运动的描述 1 1 1 1 质点运动的描述质点运动的描述 例例4 4 P24P24例例3 3 路灯距离地面高度为路灯距离地面高度为H H 行人 行人 身高身高h h 若人以匀速 若人以匀速v v0 0背离路灯行走 求当行背离路灯行走 求当行 人人E E与路灯的水平距离为与路灯的水平距离为x x时 人头顶的影子在时 人头顶的影子在 地面上移动的速度为多少 地面上移动的速度为多少 O M h x E H A A 第一章第一章 运动的描述运动的描述 1 1 1 1 质点运动的描述质点运动的描述 例例5 一质点自原点开始沿抛物线一质点自原点开始沿抛物线2y x2运动 它在运动 它在Ox 轴上的分速度为一恒量 其值为轴上的分速度为一恒量 其值为vx 4 0m s 1 求质点位求质点位 于于x 2 0m处的速度和加速度 处的速度和加速度 解 解 ax 0 代入轨道方程代入轨道方程 2y 4t 2 16t2 y 8t2 则则 在在x 2 0m处 由处 由x 4t 得得 t x 4 0 5s 此时此时vy 8m s 1 16 84 2 1 smja smjijvivv yx xx vdx dtdxv dt 00 0 xx t x vtvdtvx 积分 积分 ttvx x 4 即即 16 16 yy at dt dy v 第一章第一章 运动的描述运动的描述 1 1 1 1 质点运动的描述质点运动的描述 dtvrd dt rd v dtvr t t0 dtavd dt vd a dtavvv t t 00 积分法积分法 第二类问题第二类问题 第一章第一章 运动的描述运动的描述 1 1 1 1 质点运动的描述质点运动的描述 例例6 类似 类似P27P27例例6 6 已知一质点从静止出发 已知一质点从静止出发 其其 加速度在加速度在X Y轴上的分量分别为轴上的分量分别为 aX 10t aY 15t2 SI 试求 试求5s时质点的位置和速度时质点的位置和速度 解 取质点出发点为坐标原点解 取质点出发点为坐标原点 t dt dv a x x 10 2 15t dt dv a y y 初始条件初始条件 000 00 yx v v t t x ttdtv 0 2 510 t y tdttv 0 2 3 515 速度的一般表达式速度的一般表达式 jtit v 32 55 将将t 5s代入得 代入得 s m ji v 625125 第一章第一章 运动的描述运动的描述 1 1 1 1 质点运动的描述质点运动的描述 又由初始条件又由初始条件 000 00 y x t 3 0 2 3 5 5tdttx t 4 0 3 4 5 5tdtty t j t i t r 4 5 3 5 43 将将t 5s代入得代入得 jir 4 3125 3 625 第一章第一章 运动的描述运动的描述 1 1 1 1 质点运动的描述质点运动的描述 例例7 7 抛体运动 初速度为抛体运动 初速度为V V0 0 与 与X X轴成轴成 0 0 求运动方程和轨迹方程 求运动方程和轨迹方程 第一章第一章 运动的描述运动的描述 1 1 1 1 质点运动的描述质点运动的描述 轨迹方程 上两式消去时间变量 轨迹方程 上两式消去时间变量 o0y000 x0 sinvv cosvv gtsinv dt dy cosv dt dx 00 00 0 2 00 000 2 1 sin cos ygttvy xtvx 0 0 cos2 tan 00 2 0 2 0 2 0 yxx v g xy 解 已知 解 已知 任一时刻两速度分量 任一时刻两速度分量 积分得运动方程 积分得运动方程 第一章第一章 运动的描述运动的描述 1 1 1 1 质点运动的描述质点运动的描述 例例8 8 P27P27例例5 5 伞兵运动员在跳伞的过程伞兵运动员在跳伞的过程 中的加速度中的加速度 a Aa A BvBv 式中 式中A A B B为常量 为常量 v v为为 任意时刻伞兵运动员的速度大小 设伞兵运任意时刻伞兵运动员的速度大小 设伞兵运 动员跳伞时的初速度为零 求伞兵的速度和动员跳伞时的初速度为零 求伞兵的速度和 运动方程 运动方程 第一章第一章 运动的描述运动的描述 1 1 1 1 质点运动的描述质点运动的描述 1 d 1 0s d a t v v解 由加速度定义解 由加速度定义 例例 9 有有 一个球体在某液体中竖直下落一个球体在某液体中竖直下落 其初速度其初速度 为为 它的加速度为它的加速度为 问问 1 经过多少时间后可以认为小球已停止运动 经过多少时间后可以认为小球已停止运动 1 0 10m s j v 1 1 0s aj v 0 v y o d 1 s0 1 d t 0 0 t v v v v t t y s0 1 0 1 e d d vv ty t t y ded 0 1 0s 0 0 1 v 2 此球体在停止运动前经历的路程有多长 此球体在停止运动前经历的路程有多长 t s0 1 0 1 e vv m e1 10 s0 1 1 t y 第一章第一章 运动的描述运动的描述 1 1 1 1 质点运动的描述质点运动的描述 0 my st 10 1 m s v 0 v 0 st 9 2s 0 10mty v 2 3 4 6 6 9 9 2 8 9974 9 8995 9 9899 9 9990 v 0 10 v st my 0 100 v 0 1000 v 0 10000 v t s0 1 0 1 e vvm e1 10 0 1 1 ts y 第一章第一章 运动的描述运动的描述 1 1 1 1 质点运动的描述质点运动的描述 四个物理量 位矢 位移 速度 加速度四个物理量 位矢 位移 速度 加速度 四个特性 相对性 矢量性 瞬时性 叠加性四个特性 相对性 矢量性 瞬时性 叠加性 二个方程 运动方程二个方程 运动方程 轨迹方程轨迹方程 二种题型 二种题型 1 2 avrrva 本节总结本节总结 第一章第一章 运动的描述运动的描述 1 1 1 1 质点运动的描述质点运动的描述 1 1 位置矢量位置矢量 opr 2 2 位移矢量位移矢量 trttrr t v t r lim 0 3 3 速度速度 dt dr 4 加速度加速度 2 2 0 lim dt rd dt vd t v a t 第一章第一章 运动的描述运动的描述 1 1 1 1 质点运动的描述质点运动的描述 在直角坐标系中描述运动在直角坐标系中描述运动 1 位矢位矢 kzj yi xr 222 rrxyz 位矢位矢 的值为的值为 r 式中式中 分别为分别为x y z 方向的单位