上海市静安区2009学年第一学期期末教学质量检测 高三数学试卷.doc

静安区2009学年第一学期期末教学质量检测高三年级数学试卷 （本试卷满分150分 考试时间120分钟） 2010.1考生注意：1 本试卷包括试题纸和答题纸两部分试题纸上题号后注明（理）的试题表示理科生做，注明（文）的试题表示文科生做，未注明的试题所有考生都要做2 在试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题3 可使用符合规定的计算器答题一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1计算行列式：_.2函数的值域是_.3若复数满足（其中为虚数单位），则_.4函数的最大值是_.5某个停车场有12个停车位，今有8辆不同牌照的汽车需要停放，要使4个空位连在一起，则有_种不同的停放方法.6在的展开式中，常数项是_.7函数的图像关于点成中心对称，则的最小正值为_.8函数的最小值是_.9已知是坐标原点，是坐标平面上的两点，且向量，若是直角三角形，则_.10定义为向量到向量的一个矩阵变换，其中是坐标原点，已知，则的坐标为_.11（理）已知球面上有A、B、C三点，AB=AC=2，BC=，球心到平面ABC的距离为1，则球的表面积为_.（文）已知正四棱柱的一条对角线长为，底面边长为1，则此正四棱柱的表面积为_.12（理）已知无穷等比数列各项的和等于10，则数列的首项的取值范围是_.（文）连续掷两次骰子，得到两个数，则出现大数减去小数后的差等于5的概率为_.（结果用数值表示）x0y123y=f(x)y=g(x)第13题（文）13（理）已知函数的定义域为，则实数的取值范围是_.（文）已知是偶函数，是奇函数，它们的定义域均为-3，3，且它们在上的图像如图所示，则不等式的解集是_.14数列的前项为（），若对任意正整数，有（其中为常数， 且），则称数列是以为周期，以为周期公比的似周期性等比数列已知似周期性等比数列的前7项为1，1，1，1，1，1，2，周期为7，周期公比为3，则数列前项的和等于_.（为正整数）二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分15. 已知等比数列的各项均为正数，公比，设，则P与Q的大小关系是（ ）AP Q BP Q CP Q DP Q16已知是纯虚数，是实数（其中为虚数单位），则= （ ）A B C D17执行下面的流程图，输出结果 （ ）AA1BACAC1B1第18题 A9 B10 C11 D5518已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，过顶点作底面的垂线，若垂足为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为 （ ）A B C D 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.已知坐标平面上三点，（1）若（O为坐标原点），求向量与夹角的大小；（2）（理）若，当时，求的值 （文）若，求的值20（本题满分15分）（理）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分9分）SABCOD如图，圆锥的顶点为S，底面中心为OOC是与底面直径AB垂直的一条半径，D是母线SC的中点（1）求证：BC与SA不可能垂直；（2）若圆锥的高为4，异面直线AD与BC所成角的大小为，求圆锥的体积（文）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分7分.第20题（文）ABO如图，球O的半径长为（1）求球O的表面积；（2）求球O的体积；（3）若球O的小圆直径，求两点的球面距离21. (本题满分15分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分9分.（理）高三某班有甲、乙两个学习小组，每组都有10名同学，其中甲组有4名女同学和6名男同学；乙组有6名女同学和4名男同学现采用分层抽样分别从甲、乙两组中各抽2名同学进行学习情况调查求:（1）从甲组抽取的同学中恰有1名女同学的概率；（2）抽取的4名同学中恰有2名男同学的概率（文）某居民小区供水站的蓄水池现有水40吨，自来水泵房每小时可向蓄水池中注水8吨，同时蓄水池又向居民小区供水，小时内供水总量为吨现在开始向池中注水并同时向居民小区供水，若蓄水池中存水量少于10吨，就会出现供水紧张现象（1）试建立从现在开始一天内蓄水池中存水量与供水时间（）之间的函数关系；（2）供水多少时间开始出现供水紧张？这一天内供水紧张的时间有几小时？22（本小题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.（理）已知等差数列中，令，数列的前n项和为.（1）求的通项公式；（2）求证：；（3）通过对数列的探究，写出“成等比数列”的一个真命题并说明理由（，）. 说明：对于第（3）题，将根据对问题探究的完整性，给予不同的评分.（文）已知无穷等比数列中，首项，公比；数列满足.求:（1）无穷等比数列各项的和；（2）数列的通项公式；（3）数列的前n项之和的最大值.23（本小题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分7分，第3小题满分7分.已知函数（1）求函数的定义域；（2）若函数的定义域关于坐标原点对称，试讨论它的奇偶性和单调性；（3）在（2）的条件下，记为的反函数，若关于的方程有解，求的取值范围静安区2009年第一学期数学检测解答与评分标准参考答案及评分标准说明 1.本解答列出试题的一种或几种解法,如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准的精神进行评分. 2.评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅,当考生的解答在某一步出现错误,影响了后继部分,但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时,可视影响程度决定后面部分的给分,这时原则上不应超过后面部分应给分数之半,如果有较严重的概念性错误,就不给分. 3.第19题至第23题中右端所注的分数,表示考生正确做到这一步应得该题的累加分数. 4.给分或扣分均以1分为单位.答案及评分标准一（第1至14题）每一题正确的给4分，否则一律得零分.1-1； 2； 31；4； 5； 684；7； 8； 9或；10； 11理；文；12（理）且；文；13（理）；（文）x|-2x-1或0x1或2x3；14. 二（第15至18题）每一题正确的给4分，否则一律得零分. 题 号15161718 代 号A DBD三（第19至23题）19. (1)， 2分 . 4分又，设与的夹角为，则，与的夹角为或. 7分(2)（理）， 8分由，可得， 10分，又由，0，由、得，从而14分（文）， 9分由，可得， 11分，14分20（理）证法一：反证法：若，连AC，由AB是直径则，所以平面 2分则 3分又圆锥的母线长相等，是等腰三角形SBC的底角，则是锐角 4分与矛盾，所以与SA不垂直 6分（证法一2：反证法：若，又，所以平面（2分）则（3分），又已知，所以，矛盾所以与SA不垂直 6分）证法二：建立如图坐标系，设圆锥的高为，底面半径为，则， 3分 5分所以与SA不垂直 6分（2）建立如图坐标系，设底面半径为，由高为4则、，则， ， 8分， 11分由AD与BC所成角为，所以，解得 13分所以 15分文（1）球的表面积为； 4分（2）球的体积； 8分（3）设球心为，在中，解得，所以两点的球面距离为 15分21理（1）； 6分（2）甲抽2男，乙抽2女：； 9分甲、乙两组各抽1男1女：； 12分甲抽2女，乙抽2男：； 15分文（1）设蓄水池中存水量为，则； 6分（2）由，得， 12分所以供水2.25小时开始出现供水紧张由，知这一天内供水紧张的时间为4小时 15分22.理（1）设数列的公差为，由,.解得，=3 . 4分(2) ；8分(3)由(2)知， ， 若成等比数列，则即10分以下6分按3个层次评分第一层次满分3分：例如：因为，所以只有满足的大于1的正整数，才有可能使得成立 13分或者取具体数值探究如：当时，=16，符合题意；当时，无正整数解；当时，无正整数解；当时，无正整数解；当时，无正整数解； 13分或者描述性说明，如：因为，所以只有当取值较小时，才有可能使得成立 13分第二层次3+2分：在第一层次的基础上继续探究，并明确指出：当正整数m=2,n=16时，成等比数列. 如：不等式即，解得，所以（舍去），。当时，=16，符合题意；所以当正整数m=2,n=16时，成等比数列. 15分（注：）或者如：当时， ，则，而，所以，此时不存在正整数m,n,且1mn,使得成等比数列.所以当正整数m=2,n=16时，成等比数列. 15分第三层次5+1分：在前面探索的基础上，写出“成等比数列”的真命题：当且仅当正整数m=2,n=16时，成等比数列. 16分（说明：对问题探究的完整性体现在过程中即可）（文）（1）； 4分（2），； 8分（3）设数列的前n项之和为，则， 12分当时，取得最大值. 16分