2013年北京市石景山一模高三数学试题(理)及其答案.doc

.北京市2013年石景山区高三统一测试数学（理科）本试卷共6页，150分.考试时长120分钟请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效考试结束后上交答题卡.第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1设集合,，则等于（ ）ABCD2若复数在复平面内对应的点在轴负半轴上，则实数的值是（）A B C D3将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m，第二次出现的点数为n向量=(m,n), =(3,6)，则向量与共线的概率为（）A B C D4执行右面的框图，输出的结果的值为（ ）ABCD5如图，直线AM与圆相切于点M，ABC与ADE是圆的两条割线，且,连接MD、EC. 则下面结论中，错误的结论是（ ）ACMBDEA. B. C. D.6在的二项展开式中，的系数为（ ）ABCD7对于直线与抛物线，是直线与抛物线有唯一交点的（ ）条件A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要8若直角坐标平面内的两点P、Q满足条件：P、Q都在函数的图像上；P、Q关于原点对称.则称点对P, Q是函数的一对“友好点对”（注：点对P, Q与Q , P看作同一对“友好点对”）.已知函数，则此函数的“友好点对”有（ ）对A. 0B. 1 C. 2D. 3第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分 9直线与圆相交弦的长度为 10在中，若，则 正（主）视图侧（左）视图俯视图32223211. 在等差数列中，= -2013，其前n项和为，若=2，则的值等于 12某四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱长度是 DEFCBA13如图，在矩形中，点为的中点，点在边上，若，则的值是 14对于各数互不相等的整数数组（n是不小于3的正整数），若对任意的p，当时有，则称是该数组的一个“逆序”一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”，如数组（2,3,1）的逆序数等于2则数组（5,2,4,3,1）的逆序数等于_；若数组的逆序数为n，则数组的逆序数为_ 三、解答题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15（本小题满分13分）已知函数（）求函数的单调递增区间；（）在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c已知, ， ，求ABC的面积16 （本小题满分13分）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物. PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标石景山古城地区2013年2月6日至15日每天的PM2.5监测数据如茎叶图所示（）小陈在此期间的某天曾经来此地旅游，求当天PM2.5日均监测数据未超标的概率;（）小王在此期间也有两天经过此地，这两天此地PM2.5监测数据均未超标.请计算出这两天空气质量恰好有一天为一级的概率;PM2.5日均值（微克/立方米）21 637 5960 385 6104 7（）从所给10天的数据中任意抽取三天数据，记表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求的分布列及期望.17 （本小题满分14分）如图，在底面为直角梯形的四棱锥中,，平面，（）求证：；（）求直线与平面所成的角；（）设点在棱上，若平面，求的值.18（本小题满分13分）已知函数,.（）讨论函数的单调区间；（）若函数在处取得极值，对,恒成立，求实数的取值范围.19（本小题满分14分） 设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，在轴负半轴上有一点，满足，且（）求椭圆的离心率；（）若过三点的圆与直线相切，求椭圆的方程； xyAOBF1F2（）在（）的条件下，过右焦点作斜率为的直线与椭圆交于两点，线段的中垂线与轴相交于点，求实数的取值范围20（本小题满分13分）给定有限单调递增数列且，定义集合且.若对任意点，存在点使得（为坐标原点），则称数列具有性质.（）判断数列：和数列：是否具有性质，简述理由.（）若数列具有性质，求证：数列中一定存在两项使得；若，且，则. （）若数列只有2013项且具有性质，求的所有项和.2013年石景山区高三统一测试高三数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分题号12345678答案BADADCAC二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分 题号91011121314答案三、解答题：本大题共6个小题，共80分应写出文字说明，证明过程或演算步骤15（本小题满分13分）解：（） 1分 3分 令 5分函数的单调递增区间. 6分（）由，因为为内角，由题意知，所以因此，解得 8分由正弦定理，得， 10分由，由，可得 ，12分 13分16（本小题满分13分）解：（）记“当天PM2.5日均监测数据未超标”为事件A, . 2分（）记“这两天此地PM2.5监测数据均未超标且空气质量恰好有一天为一级” 为事件B, . 5分（）的可能值为， ； 9分 其分布列为： 13分17（本小题满分14分） 证明：（I）在直角梯形ABCD中，所以，所以. 2分又因为，所以由，所以所以 4分（II）如图，在平面ABCD内过D作直线DF/AB，交BC于F，分别以DA、DF、DP所在的直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.由条件知A（1，0，0），B（1，0），设，则， 5分由（I）知.设，则 7分 即直线为. 8分（III）由（2）知C（3，0），记P（0，0，a），则，而，所以， = 10分设为平面PAB的法向量，则，即，即. 进而， 12分由,得 14分18（本小题满分13分）解：（）在区间上, . 1分若,则,是区间上的减函数； 3分若,令得.在区间上, ,函数是减函数;在区间上, ,函数是增函数; 综上所述，当时,的递减区间是，无递增区间；当时，的递增区间是，递减区间是. 6分（II）因为函数在处取得极值，所以解得，经检验满足题意. 7分由已知则 8分令，则 10分易得在上递减，在上递增， 12分所以，即 13分19（本小题满分14分）解：（）连接，因为，所以，即，故椭圆的离心率 3分（）由（）知得于是,，的外接圆圆心为），半径4分由已知圆心到直线的距离为，所以，解得 所求椭圆方程为. 6分（）由（）知, 设直线的方程为： 消去得 7分 因为过点，所以恒成立 设， 则， 中点 9分 当时，为长轴，中点为原点，则 10分当时中垂线方程 令， 12分 ， 可得 综上可知实数的取值范围是 14分20（本小题满分13分）解：（）数列具有性质，数列不具有性质.对于数列，若则；若则；所以具有性质.对于数列，当若存在满足,即,即，数列中不存在这样的数，因此不具有性质. 3分（）（1）取，又数列具有性质，所以存在点使得，即，又，所以. 5分 （2）由（1）知，数列中一定存在两项使得；又数列是单调递增数列且，