小学数学奥数版重点难点易错题集99题附详尽讲解答案

1 小学 数学 奥数版重点难点易错 题集 99 题 附详尽讲解答案 1、五个人的体重之和是 423斤，他们的体重都是整数，并且各不相同。则体重最轻的人最重可能是（ ） 解释：题目要求最轻的人最重是多少？而且 5个人的体重各不相同。 也就是说，总体重一定的情况下。数字大的尽可能和数字小的靠近 那样数字小的才会相对最重。 只有连续自然数满足这个条件。 方法一（平均值法）： 我们看， 5个人的总重量是 423斤， 根 据连续自然数的特征， 423/5=中间数（平均数） 84 余数是 3 那么我们知道这 5个自然数的序列是 82， 83， 84， 85， 86 还剩下 3斤不可能分配给最小的几个人 否则他们就会跟后面的数字重复了 所以这 3斤应该是分配给最重的几个人，对轻者无影响。 方法二（设最小值法）： 设最轻的人最重可能是 ： X (X+1)+(X+2)+(X+3)+(X 4) 423 5X 413 X 82 总数余 3 即：这 5个自然数的序列是 82， 83， 84， 85， 86 还剩下 3斤，剩 下 3斤不可能分配给最小的几个人 否则他们就会跟后面的数字重复了 所以这 3斤应该是分配给最重的几个人，对轻者无影响。 答案就是 82 选 B 或者： 抽屉原理的变型 抽屉原理解题有个原则，就是最不利原则，一切往最坏的地方想， “体重最轻的人最重可能是多少 ”，最不利情况就是 N， N+1.，总共是 5N+10,5N+10=423，解得 N=因为是整数，所以是 82 。 2、 已知连续四个自然数的积是 1680,这四个数的和是（ ） A、 22 B、 24 C、 26 D、 28 解：方法一： 分解因式法： 1680 222567 一目了然 这四个数是 5， 6， 7， 8 和为 26。 这个方法对于比较小的数字适合。如果数字比较大的话。分解因式是个耗时的做法。另外当四个连续自然数全是合数的情况，那么分解因式来解决此类型题目就更加困难。 方法二： 数字特性法 这里告诉大家一个数字规律常识： 连续四个自然数的乘积必是一个数的平方 1 2 数字概念特性 N 1） （ N 1） 1 也就是说 一个数的平方这个数的两边数字乘积 1。根据这个我们可以确定 1681是某个数字的平方 41的平方 可以直接估算出来。根据上述特性 1680 4042 则结果出来了 42 67 40 58 方法三：排除法 (代入排除法 ) 根据选项我们发现最小的是 22，最大的是 28 连续四个自然数之和。大概是在 4 9这个范围内的某四个连续自然数，稍微试一试就出来了 方法四： 不完全代入法：（列方程得关系式 代入法） 设第一个自然数为 x， 则这四个数的和为： X+(X+1)+(X+2) (X+3)=4X 6 因为 为整数，故四个数的和减去 6除以 4应为整数，代入选项可排除 B、 D 再根据 X (X+1) (X+2) (X+3) 1680 ，代入 5 小结： 在解数学运算题中，要多运用列方程关系式、然后综合运用数字特征法、代入法等解题。 3、四个连续自然数的积为 3024，它们的和为多少？ 解 ： 方法一： 分解因式法 3024 222233 3 7 一目了然 这四个数是 6， 7， 8， 9和为 30。这个方法对于比较小的数字适合。如果数字比较大的话。分解因式是个耗时的做法。另外当四个连续自然数全是合数的情况，那么分解因式来解决此类型题目就更加困难。 方法二： 数字特性法 这里告诉大家一个数字规律常识： 连续四个自然数的乘积必是一个数的平方 1 数字概念特性 N 1） （ N 1） 1 也就是说 一个数的平方这个数的两边数字乘积 1。根据这个我们 可以确定 3024是某个数字的平方 55的平方 可以直接估算出来。根据上述特性 3024 5456 则结果出来了 54 69 ， 56 78 方法三： 不完全代入法：（列方程得关系式 代入法） 设第一个自然数为 x，则这四个数的和为： X+(X+1)+(X+2) (X+3)=4X 6 因为 为整数，故四个数的和减去 6除以 4应为整数，代入选项 A,若 X 5，则积为 5或 0，排除 A；代入 B、 D，不能 整除，排除。 再根据 X (X+1) (X+2) (X+3) 3204，可知 X 6,选 C。 4、 某服装厂有甲、乙、丙、丁四个生产组，甲组每天能缝制 8件上衣或 10条裤子；乙组每天能缝制 9件上衣或 12条裤子；丙组每天能缝制 7件上衣或 11条裤子；丁组每天能缝制 6件上衣或 7条裤子。现在上衣和裤子要配套缝制（每套为一件上衣和一条裤子），则 7天内这四个组最多可以缝制衣服（ ）。（ 2006年中央、国家机关公务员考试二类真题第 42道）。 A、 110套 B、 115套 D、 125套 方法一： 【解析】我们根据题意可得出如下一表 每天生产 上衣 每天生产裤子 上衣：裤子 甲 8 10 3 乙 9 12 7 11 6 7 合情况 30 40 上表我们发现，只有乙组的上衣和裤子比例与整体的上衣和裤子比例最接近（本题相等），这说明其它组都有偏科情况，若用其它组去生产其不擅长的品种，则会造成生产能力的浪费，为了达到最大的生产能力，则应该让各组去生产自己最擅长的品种，然后让乙组去弥补由此而造成的偏差（左右救火），因为乙组无论是生产衣服还是裤子，对整体来讲，效果相同，所以应该让乙组去充当最后的救火队员角色。 上面甲、 乙、丙、丁四组数据中，上衣与裤子的比值中甲和丁最大，为了缩小总的上衣与裤子的差值，又能生产出最多的裤子， 甲和丁 7天全部要生产上衣，丙中上衣和裤子的比值最小，所以让丙 7天都做裤子， 以达到裤子量的最大化，这样 7天后 ,甲、丙、丁共完成上衣 98件，裤子 77件。 下面乙组如何分配就成了本题关键。由上面分析可知， 7天后 ,甲、丙、丁生产的上衣比裤子多 21条，所以乙要多生产 21条裤子，并使总和最大化。 可设乙用 9x+21=12(7 解得 x=3，即乙用 3天生产上衣 27件，用 4天生产裤子 48件。于 是最多生产 125套。 组别 生产衣服 生产裤子 甲 7天 （ 7*8=56） 0天 （ 0*10=0） 丙 0天 （ 7*0=0） 7天 （ 11*7=77） 丁 7天 （ 7*6=42） 0天 （ 0*7=0） 总和 98件 77件 乙组 3天 （ 3*9=27） 4天（ 4*12=48） 总和 98+27=125 77+48=125 所以答案应该是 125套服装。 主要我们采用的主要思路是： 让善于做裤子的人做 裤子，善于做上衣的人做上衣。 这样才能发挥各自的长处，保证最后的总数最大。相等的可以做机动的补差！进行微调！ 这种统筹问题总的思路是： 先计算整体的平均比值， 选出与平均比值最接近的组项放在一边，留作最后的弥补或者追平工具，然后将高于平均值的组项赋予高能力方向发挥到极限，将低于平均值的组项赋予低能力方向发挥到极限，得出总和，然后用先前挑出的组项去追平或者弥补，就可以得极限答案。 4 之所以这样安排，是因为最接近中值的组项，去除后对平均值的影响最小（本题恰好相等），则意味着它的去除不影响整体平均能力，但是用它去追 平其余各组的能力差异时，最容易达到平衡。 四组： 留一组作追平工具；两组合力生产生产慢的东西（如本题为：做衣服）（但对于该两组来说其效率较高），另外一组生产生产快的东西（如本题为：做裤子）。 方法二： 丙裤子每天比上衣可以多 4，所以丙全裤子；同样丁只多 1，所以丁全上衣；因为衣服每天缝制的少，所以优先给上衣，甲多 2，也全衣服；这样的话，裤子丙 7 77，上衣（丁甲） 7 98；乙分开，三天上衣，四天裤子，最后裤子 77 412 125，上衣 98 39 125 方法三： 让四个厂子集中做 3天裤子（裤 子产量比衣服大），一共是 120条。再让四个厂子做 4天衣服， 120件，那么就是 120套。这样随便做都能达到 120套了，那么统筹一下一定比 120多，答案只有一个比 120多的，就选 D。 5、 如果 4个矿泉水空瓶可以换一瓶矿泉水 ,现有 15个矿泉水空瓶 ,不交钱最多可以喝矿泉水 ( )瓶 案： 4空 =1水 +1空， 3空 =1水，可以喝 5瓶 6、（国家 2008华在练习自然数求和，从 1开始，数着数着他发现自己重复数了一个数。在这种情况下，他将所数的全部数求平均，结果为 问他重复的那个数是： A 2 解析：方法一： 根据 自然数求和公式的特征，平均数就是中间数 ， 可知该数列项数大于 13，可能是 14，15或 16，因为自然数之和必为整数，如果是 14或 16，则总数尾数出现小数点。确定为 15项后，考虑到自然数之和求平均，要么是整数，要么尾数为 以 5产生的， 5=6，所以多出来的数为 6。 方法二： 和肯定是整数。那么就只能是有 5 10 15 项。 平均数为 15 比较合适 如 1有重复得和为 120 平均数为 8 重复的数为 x 得到（ 15：和肯定是整数，这是关键！ 7、有一楼梯共 10级 ,如规定每次只能跨上一级或两级 ,要登上第 10级 ,有多少种不同的走法 ? A 89 B 55 C 34 ： 方法一 ： 都是 或者 ， 共 种 个，个，（ 1，） 个，个，（ 2，） .。总共分 8次走完，把走两 级的 2次插在 8次中，所以 (就是有个空，先填级，然后这个级不能交换顺序，因为都是一样的，填好后，剩下的都可以填在剩下的个空里 ) 个，个，（ 3，） 个，个，（ 4，） 共计 种走法 方法二： f(n)=f(f(解释，跨到第十楼的方法可以是地 9楼跨一级上，也可以是第八楼跨 2级 所以 f(n)=f(f(由 f(1)=1,f(2)=2 可求得 f(10) 即： 每次只能走 1或 2级，所以到第十层的走法总和是到第 8层的走法加上到第 9层的走法。 第一层的走法数为 1,第二层为 2,第三层就是 1+2=3,第四层 2+3=5 类推下去 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89. 所以第十层为 89种走法 注：本题为 斐波那契数列 应用： 台级数： 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 10 步法数： 1， 2， 3， 5， 8， 13， 21， 34， 55， 89 斐波那契数列指的是这样一个数列： 1、 1、 2、 3、 5、 8、 13、 21、 这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。 8、小璐有 8元钱，她准备从明天起，用这 8元钱每天买一个冰激淋或者一抱果冻吃。冰激淋 1元一个，果冻 2元一包。请问小璐花完这 8元钱一共有多少种方法 ？（ ） 34 89 解：选 B，如果他有 1元钱，则有 1种花法； 2元 2种花法 :1、 1，或 2， 3元 3种花法， 1、 1、 1，或 1、 2或 2、 1； 4元有 5种花法， 1111或 121或 112或 211或 22规律是数列 1、 2、 3、 5、 8、13、 21、 34， A+B=C 6 9、有 10级台阶， 分 8步走完。 每步可以迈 1级、 2级或 3级台阶，有多少种走法？ 法一： 插板法。 夹板定理。 10台阶看错 10个球， 10个球摆成一排，中间共有 9个空格。要 8步走完，就相当于 9个空格 里放 7个板，把 10个球分成 8分。（每个空格最多一个板， 7个板无论怎样放，每份都能够保证小于等于 3） 所以就相当于 组合 =36 解法二： 假设走一步有 两步有 三步有 则得到： a+b+c=8 a+2b+3c=10 可得：（ 7， 0， 1）、（ 6， 2， 0） 82=36 解法三： 因为要刚好 8步走完，就是说只有按下面两种走法组合 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 3 就是刚好走 8步完成十级台阶 那么就是 加上 28+8=36 第 7和第 9题的区别：第 9题有规定“分 8步走”，第 7题没有规定，只有规定“ 每次只能跨上一级或两级 ”。 10、 一条马路上有编号为 1、 2、 9的九盏路灯，为了节约用电，可以把其中的三盏关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，则所有不同的关灯方法有多少种？ 【解析】：若直接解答须分类讨论，情况较复杂。故可把六盏亮着的灯看作六个元素，然后用不亮的三盏灯去插 7个空位，共有 种方法，因此所有不同的关灯方法有 35种。 11、 一张节目表上原有 3个节目，如果保持这 3个节目的相对顺序不变，再添加进去 2个新节目，有多少种 安排方法？（）【 2008年国家公务员考试行政职业能力测验真题 A 20 B 12 C 6 D 4 【解析】本题正确答案为 A。 解法如下 : 一张节目表上原有 3个节目，再添加进去 2个新节目，则变成了 5个节目。 7 保持这 3个节目的相对顺序不变，即等于对 2个新节目进行排序，即 4=20，故应选 A。 【名师点评】考查分析能力。本题是排列、组合的混合问题，应注意使用假想元素法、插空法等常用方法。 【易错点分析】错误算法：前三个节目不变，捆绑当成一个节目，加上 A 该就是 2 种。 本题考查排列组合问题。在原有 3个节目顺序不变的情况下，可加入节目的空当共有 4个，当加入进去的 2个节目相邻时，共有 8种方法，当加入进去的 2个节目不相邻时，共有12种方法，则共有 20种方法。故选 A。 方法一： 三个节目有四个间隔，把二个节目放入四个间隔中 有： 2） =12种 把二个节目捆绑在一块，有： 1） *2） =8 一共有： 12+8=20 方法二： 分步 先安排第一个节目 四个空 再安排第二个节目 五 个空 总共 0 方法三： 考虑位置 _ _ _ _ _ 一共 5个位置，从中选出 2个位置作为新加的节目顺序。剩下的三个位置，则就是原来三个节目的位置其相对顺序不变。故只有一种排法。 总共 52=20 小结：当出现要插入两个元素时，使用“插板法”要一个一个插，不能两个同时插。 12、【原题】小孙的口袋里有四颗糖，一颗巧克力味的，一颗果味的，两颗牛奶味的。小孙任意从口袋里取出两颗糖，他看了看后说，其中一颗是牛奶味的。问小孙取出的另一颗糖也是牛奶味的可能性（概率）是多少 ？（ 2009年浙江省公务员考试行政职业能力测验真题 A. 1/3 C. 1/5 D. 1/6 华图答案 C 华图解析小孙任意取出两颗糖有以下六种情况： 巧果、巧奶 1、巧奶 2、果奶 1、果奶 2、奶 1奶 2。其中有五种情况满足 其中一颗是牛奶味 这个条件，而要另外一颗也是牛奶味，只有 奶 1奶 2这一种情况，所以概率为 1/5。 这是一道典型的条件概率题，下文中华图公务员考试研究中心李委明老师将通过上例来进一步阐述条件概率题的解题公式及其运用。 题型类型： 条件概率。 条件概率的公式： P(A B) 的概率 8 P(A B)/P(B) 都成立 的概率 的概率 上述例题要问的是： 其中一颗是牛奶味 时， 另一颗也是牛奶味 的概率 套用公式 其中一颗是牛奶味，并且，另一颗也是牛奶味 的概率 其中一颗是牛奶味 的概率 前者等于 1/6，后者等于 5/6，所以答案就是 1/5(这个应该很容易算了 ) P(1/6 （“ 两个都是牛奶糖” 的几率） P(B|A)=P(P(A) P(A)就是 “ 其中一个是牛奶 ” 的概率 =C(1,2)*C(1,2)+C(2,2)/C(2,4) 5/6 这个意思就是 2个奶中选其中 1个的情况 C(1,2)*巧克力和果糖中选其中 1个的情况 C(1,2)加上 2个奶的情况 C(2,2) 除以 4个随机 2个 C(2， 4) 就是 P(A)的概率 根据公式 1/6 / 5/6 =1/5 方法二： 【解析】看似简单的一题，却成为检验对概率是真懂还是假懂的试金石。 注意：在 “已知取出的两颗糖中有一颗是牛奶味 ”的情况下，另一颗有两种情况： (1)非牛 奶味。则 C(1,2)*C(1,2)/C(2,4)=2/3; (2)牛奶味，即两颗都是牛奶味。则 C(2,2)/C(2,4)=1/6 提问是求在这两种情况下，出现情况 (2)的概率 ,则 (1/6)/(2/3 1/6)=1/5 方法三： 在一颗是奶味的前提下，要剔除 2颗都非奶味的情况。即 方法四： 这个题目的意思是把 2个奶糖看成是有区别的，从四个里面选 2个，结果是 6种情况，那么这样就是把其中两个奶糖看在是有区别的，可以看成奶糖 1和奶糖 2，这样在你所列出的 4种情况的基础上再加两种巧克力味 +牛奶 1，巧克力味 +牛奶 2，巧克力味 +果味，果味 +牛奶 1，果味 +牛奶 2，牛奶 1+牛奶 2。这时情况就明显了，含奶糖的共 5种情况，都是奶糖的只有 1种情况，就是 1/5了 。 李老师关于此题的三个说明： 1、上面这个只是为了消除分歧严格按公式来计算，实际考试的时候简单数数就能出来，其中一颗是牛奶味 明显有 5种情况， 两颗都是牛奶味只有 1种情况 直接得到 1/5 2、很多说是 1/3，这是错的，题目只有这样问才是 1/3， 口袋里有四颗糖，一颗巧克力味的，一颗果味的，两颗牛奶的。小孙任意从口袋里连续取出两颗糖， 他看了看后说，第一颗是牛奶味的，问小孙取出的第二颗糖也是牛奶味的可能性（概率）是多少？ 这个才是很多人说的 1/3，解起来就很简单，第一颗是牛奶味的，第二颗还有三种选择，只有一种满足条件，所以是 1/3。按照我上面给的公式也可以。 第一颗是牛奶味 时， 第二颗也是牛奶味 的概率 第一颗是牛奶味，并且，第二颗也是牛奶味 的概率 第一颗是牛奶味 的概率 (1/6)(1/2)=1/3 3、还有一个重要的概念必须澄清，也是考生容易出问题的地方，在计算简单概率的时候，我们用到的基本公式：概率满足条件的情况数总情 况数。在这里数 情况数 的时候，如果遇到有像这个题目里说的 两颗都是牛奶味 的情况数，我们数情况就应该特别注意了。 虽然我们应该认为这两颗牛奶糖是相同的，而事实上我们要分情况来看：如果是计算排列组合的时候确实应该视为相同（就是说如果问你从这四颗糖里拿出两颗，有几种情况，答案就是 4种：巧果、巧牛、果牛、牛牛）；但是如果是计算概率的时候数有多少种情况，就一定必须把两颗牛奶糖视为不同的（就是说在用概率公式 概率满足条件的情况数总情况数 里的 总情况数 就是 6而不是 4：巧果、巧牛 1、巧牛 2、果牛 1、果牛 2、牛 1牛 2，这是古典概率的 9 定义里就给出来的， 有兴趣的可以翻翻 高中课本 ，里面有要求用到 概率满足条件的情况数总情况数 的时候，要求这些 情况 都必须是等概率的，也就是说即使东西给的是相同，计算也应该编号视为不同情况。 13、公司某部门 80%的员工有本科以上学历， 70%的销售经验， 60%在生产一线工作过。该部门既有本科以上学历，又有销售经历，还在生产一线工作过的员工至少占员工的多少？ A 20% B 15% C 10% D 5% 解： C。 方法一：求 该部门既有本科以上学历，又有 销售经历，还在生产一线工作过的员工 至少，则相当于求不符合三者条件人数的最大化，所以当不满足各自条件的人员不重合时，不符合三者条件人数最大化。 设总人数为 100人，则本科以下 20人，没有销售经验的 30人，没有在一线工作过的 40人，为此三者都不满足的一共为 90人，所谓该部门既有本科以上学历，又有销售经历，还在生产一线工作过的员工至少占员工的 10。 方法二：具备以上三种条件的人占员工总数的百分比最少的情况是 60%在生产一线工作过的人当中，包括 30%单纯无销售经验的，另外 20%单纯无本科学历的。 剩下的 10%肯定同时具备三种条件 方法三：至少，即是没有其中一种经验的都不是同一个人，例如， 不是 则 130%=10%。 14、（广东 10年）小张到文具店采购办公用品，买了红黑两种笔共有 66支。红笔定价为 5元，黑笔的定价为 9元，由于买的数量较多，商店给予优惠，红笔打八五折，黑笔打八折，最后支付的金额比核定价少 18%，那么他买了红笔多少支？ A 36支 B 34支 C 32支 D 30支 解 ： 答案 ： A。 方法一：十字交叉法： 红笔 5x 85 2 82 黑笔 9y 80 3 5x/9y=2/3 推出 x/y=18/15 题知： x+y=66 解出 x=36 方法二：列方程：设红笔为 X，黑笔为 Y,则 X+Y=66 (5X+9Y)* = 36 Y = 30 15、甲、乙两人进行 100米赛跑比赛，结果甲领先乙 10米到达终点。如果乙和丙进行 100米赛 10 跑，则乙领先丙 10米取胜。现在甲和丙进行同样的比赛，则甲到达终点时丙跑了多少米？ A. 19米 B. 20米 C. 80米 D. 81米 答案： D 方法一： 其实 外最差的情况是 80米！那么看答案就只有 是 80米整！ 方法二： 1、 甲乙速度之 比为 10： 9 2、 那么甲跑 100乙则为 90 3、 乙丙的速度比为 10： 9 4、 则乙跑 90 丙则 81 由 2 4可知道 甲跑 100 乙是 81 即： 甲乙速度比 10： 9 100： 90 乙丙速度比 10： 9 90： 81 16、某商店进了一批饼干，并以高出进货价 40的价格出售。当这批饼干还剩 10时，商店决定以定价打七折的优惠价促销。这样，实际所得纯利润比希望获得的纯利润少了 15。按规定，这批饼干不论按什么价格出售，都必须上缴营业税 300元 (税金与进货款一起作为成本 )。该商店进这批饼干用了 ( )。 A 1200元 B 2000元 C 2500元 D 3000元 解：方法一： 设商店进了饼干的数量为 1，进货价为 x，则这批饼干的 成本 为（ x+300）元。根据题干可得 希望获得的纯利润为 ： x（ 1+40%） -（ x+300），实际获得的利润为 x（ 1+40%）90%+ x（ 1+40%） 10%70%-（ x+300），则有： x（ 1+40%） 90%+ x（ 1+40%） 10%70%-（ x+300） = x（ 1+40%） -（ x+300） 85%，解得 x=2500。 17、某项射击资格赛后的统计表明，某国四名运动员中，三名运动员的平均环数加上另一运动员的环数，计算后得到的环数分别为： 92、 114、 138、 160，则此国四名运动员资格赛的平均环数是： A 63 B 126 C 168 D 252 解：方法一： 1、 (B+C+D)/3+A 2、 (A+C+D)/3+B 3、 (A+B+D)/3+C 4、 (A+B+C)/3+D 1+2+3+4=3(A+B+C+D)/3+(A+B+C+D)=2(A+B+C+D)=92+114+138+160=504 求（ A+B+C+D） /4=504/8=63 方法二： a+b+c+3d=276 276/4=69 b+c+d+3a=480 480/4=120 11 则，平均数明显小于 69及 方法三：这个平均数一定比上面四个数中最小的小。直接选择 A 因为（ A+B+C+D） /4 ； 很多同学不明白为什么 是 3 最大 先来看 ， 中有拆分的 1，而 1 存在与否已不重要，故 拆分的实际上只用了 28，也就是用了 16 再来看 ， 与 比较，有 2 也有 3，故 拆分的实际上用上了 35*2，也就是全用上了 17，17 当然比 16 大， 486256 大，故最合理的是拆分成 的形式，此题不在于为什么 3 最大，在于出现 1 的 是不能考虑的形式，也就是不能拆分成 的形式。 12 应该是拆出尽量多的 3 再相乘 因为 235+6 5(A+B)+1065 所以得出答案为 70 第二种解析： B、 D、 F、 H 同时出现在两个圆圈中而其它数都只出现在一个圆圈中 五个圆圈中的和为 1+2+3+9+B+D+F+H 45+B+D+F+H45+9+8+7+6=75 若五个圆圈中的总和为 75，则 B+D+F+H=9+8+7+6=30 又 五个环内的数字和恰好构成五个连续的自然数 这五和数只能是 13、 14、 15、 16、 17 考虑两端两个圆圈中和的总和， S=(A+B)+(H+I)13+14=27 但 B+H9+8=17， A+I4+5， S 最大为 26，与上面的结论矛盾。 五个圆圈中的总和不可能为 75 又由于五个连续自然数的和是 5 的倍数 五个圆圈中的总和最多为 70。 51、 数学竞赛团体奖的奖品是 10000 本数学课外读物。奖品发给前五名代表队所在的学 校。名次在前的代表队获奖的本数多，且每一名次的奖品本数都是 100 的整数倍。如果第一名所得的本数是第二名与第三名所得的本数之和，第二名所得的本数是第四名与第五名所得的本数之和。那么，第三名最多可以获得多少本？（ ） A. 1600 B. 1800 C. 1700 D. 2100 答案： C 方法一： 设一到五名获得的本数分别为 题意得 ： 故 10000 以 ， 310000 又因为每一名次的奖品本数是 100 的整数倍，故 10000 整除，故只有 C 项符合。 方法二： 设第一名为，二为，三为，四为，五为， 由题得， 28 所以有 把四个答案代入，可得 。 方法三： 设第一名到第五名获得的课外读物分别是 由题意得可知道， B=+E=B= A+B+C+D+E=A+0000 则 3A=10000+C 10000+C 必须能被 3 整除 只有 C 符合！ 52、 某公共汽车从起点站开往终点站，途中共有 13个停车站。如果这辆公共汽车从起点站开出，除终点站外，每一站上车的乘客中，正好各有一位乘客从这一站到以后的第一站。为了使每位乘客都有座位，那么，这辆公共汽车至 少应有多少个座位？（ ） A. 48 B. 52 C. 56 D. 54 答案： C。 解释： 方法一： 关键在于理解 “每一站上车的乘客中，正好各有一位乘客从这一站到以后的第一站 ”。 以第一站上车的人为例：起站上车的乘客从起站到坐到第二站，然后一人下车；到第三站：起站上车的乘客中有一位乘客下车， 以第二站上车的人为例：第二站上车，第三站，第二站上车的人有一人下车，第四站，第二站上车的人有一人下车 类推以后各站 则第一站至少要上 14 人，才能保证每站都有人下。第二站至少上 13 人（增加 13 人，同时下 1 人：增 13下一站又增： 128 76 这是一个公差为 2 的数列，人数最多时即加到 8。 至此： 14+132106 （ 起点站上 14 人，第一停车站上 13 人，下 1 人；第二停车站上 12 人，下 2 人；第三 停车站上 11 人，下 3 人第十停车站上 1 人，下 13 人。可以看出第六停车站上 8 人，下 6人；第七停车站上 7人，下 7 人，此时人数达到最多，以后递减，此 时人数为 14 12 10 8 6 4 2 56。 ） 方法二： 1 到 9 是 9 站， 9 到 15 是 6 站，即前 9 站每一站上车的乘客都还剩下 6 个人， 64 方法三： 起点和终点都算上再加上 13 个中间的站一共 15 个 终点没人上车 9 以从起点算起第 8 站 ,就是开始下车的第 7 站上下车的人一样多 乘 8=后面还有 7站 8 是前面 8 站上的人要在后面 7 站下 。 53、 在村村通公路的社会主义新农村建设中，有两个山村之间的公路都是上坡和下坡，没有平坦路。农车上坡的速度保持 20 千米 /小时，下坡的速度保持 30 千米 /小时，已知农车在两个山村之间往返一次，需要行驶 4 小时，问两个山村之间的距离是多少千米？ 案： B 方法一： 往返一次中，去时的上坡路为返回时的下坡路，下坡路为返回时的上坡路，所以往返一次的路程相当于从不同速度分别走了一个全程的上坡路和一个全程的下坡路。 两段路程相等，可直接套用平均速度公式 ： v=2v1+2*20*30/(20+30)=24 千米 /小时 ；又由平均速度 =总路程 总时间可知， 2S=v4=244 ，则 S=48 千米。 方法二： 本题可以看做是流水问题，只是把顺水、逆水换成了上坡和下坡。距离 =时间 速度。设两地距离为 S，那么有 S20+S30=4，解得 S=48。故选 B。 小结： 注意上下坡路程来回一次 =从不同速度分别走了一个全程的上坡路和一个全程的下坡路。 54、 将进货单价为 90 元的某商品按 100 元一个出售时，能卖出 500 个，已知这种商品如果每个涨价 1元，其销售量就会减少 10 个，为了获得最大利润，售价应定为 ( )。 答案： B 方法一：（代入法） 当为 110 时，每个利润为 1100，可以售出 5000=400，可以盈利 20400=8000； 当为 120 时，每个利润为 1200，可以售出 5000=300，可以盈利 30300=9000； 当为 130 时，每个利润为 1300，可以售出 5000=200，可以盈利 40200=8000； 当为 150 时，每个利润为 1500，可 以售出 5000=0，可以盈利 600=0； 综上所述得，当售价为 120 时，获得最大利润。选 B。 方法二：（列方程求最值法） 30 依题意，最大利润与售价相关，因此要先找到售价与利润的具体关系。可设售价增长了 售价为 (100+x)元，则销售量为 (500。 设总利润为 y ，则y=(100+50000x+5000= 02)+5000+1020 2= +9000，当 x=20 时，利润最大。此时售价为 100+20=120 元。 或：设售价为 X 元时，利润最大，这时每件可赚（ ，每天可售出 50015000*(150，则可获利润为： Y=（ *10*(1502+9000 当 X=120 时， 9000 所以，当 售价为 120 时，获得最大利润。选 B。 小结： 解数学运算题，选项代入法是最基本的方法，当没有解题思路或者方法较为复杂时，要多用代入法。本题的两种方法，是求该“ 价格与销量反向变化 ，求利润最大值 问题 ”题型的两种基本方法。 55、 某商场举行周年让利活动，单件商品满 300 减 180 元，满 200 减 100 元，满 100 减 40 元；若不参加活动则打 。小王买了价值 360 元， 220 元， 150 元的商品各一件，最少需要多少钱？ 解析：此题答案为 B。将每件商品是否参加活动的情况列举到下表中： 因此最少需要 180+120+。 56、 (2007浙江，第 13题 )在自然数 1至 50中，将所有不能被 3除尽的数相加，所得的和是 ( )。 A. 865 B. 866 C. 867 D. 868 答案： C 方法一：选择 C。 57、 今年祖父的年龄是小明年龄的 6 倍，几年后，祖父年龄是小明的 5 倍，又过几年以后，祖父的年龄是小明年龄的 4 倍。祖父今年是多少岁？（ ） 31 A. 60 B. 72 C. 84 D. 92 答案： B 方法一： 由于祖父与小明的 年龄差是固定不变的 由条件又可以推出， 这个年龄差分别是 5 倍的数， 4 倍的数， 3 倍的数，即 5、 4、 3的最小公倍数 （最小公倍数为 60， 显然 120 和 180 是不可能的，所以只能去 60） 。 所以小明的年龄为： 543(612（岁）。 （因为“ 今年祖父的年龄是小明年龄的 6 倍 ”，年龄差为 60，则 60 为小明年龄的 5 倍） 故祖父的年龄为 60+12=72（岁）。 所以，选 B。 方法二： 由于三个时间段年龄差都是相同的，所以 这个年龄差分部能被 5、 4、 3 整除。 再用代入法： A， 60。则小明 10 年龄差 50 不能被 5、 4、 3 整除。 B， 72。则小明 12 年龄差 60 能被 5、 4、 3 整除。 故选 B。 小结：年龄差不变，是固定值，是解年龄问题的重要依据，必须谨记。 58、 某校 2000 人参加运动会，学校买了 2000 瓶汽水供应每人一瓶。商店规定，每 7 个空瓶可换 1 瓶汽水。因此，他们每喝完 7 瓶汽水就换回 1 瓶汽水。这样，他们最多能喝 ( )瓶汽水。 A. 2284 B. 2285 C. 2333 D. 2334 答案： C 方法一： 已知 7 个可换 1 瓶汽水，即瓶子总数每兑换一次减少 6 个。 ，所以共可兑换 333 瓶汽水，这样他们最多能喝 瓶汽水。 方法二： 7 空瓶 1 瓶汽水 1 空瓶 1 汽水， 1 空瓶 1/6 汽水 1 瓶汽水 7/6 汽水 所以， 2000 瓶汽水可以喝 2000 7/6= 2333 瓶汽水。 59、 甲、乙、丙三名运动员 囊括了全部比赛项目的前三名，他们的总分分别是 8、 7 和 17 分，甲得了一个第一名，已知各个比赛项目分数相同，且第一名的得分不低于二、三名得分的和，那么比赛共有多少个项目 ?( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 答案： B. 32 方法一： 全部比赛前三名的总分为 分，每个项目前三名的分数和至少是分，所以每个项目前三名的分数和应该是 32 的大于 6 的 约数，只能是 8、 16、 32；如果是 16 或 32，因为甲得了一个第一，所以甲的得分应大于 8，不合题意，所以每个项目前三名的分数和是 8 分，共有项目 个。 方法二： 8+7+17=32，这是全部项目的总分。 32 肯定要能被项目数整除，从答案来看只有 小结：对于求比赛项目题，若知道比赛总得分，求比赛项目时，可用整除特征法解题，即比赛总分 比赛项目为整数。 60、 从甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路，一辆汽车上坡时每小时 行驶 20 千米，下坡时每小时行驶 35 千米。车从甲地开往乙地需 9 小时，从乙地到甲地需小时，问：甲、乙两地间的公路有多少千米？（ ） A. 300 B. 250 C. 210 D. 200 答案： C。 方法一： 由于从甲地到乙地的上坡路，就是从乙地到甲地的下坡路；从甲地到乙地的下坡路，就是从乙地到甲地的上坡路。把从乙地返回甲地的路，设想为从乙地到丙地的路时，显然，从甲地到丙地的路程等于甲、乙地路程的 2 倍，且其中恰有一 半为上坡路，另一半是下坡路，汽车从甲地到丙地耗时为 （小时），由于每千米上坡路耗时 小时，每千米下坡路耗时 小时，又因为从甲地到丙地中，上坡路等于下坡路，故从甲地到乙地的路程等于：（千米）。 方法二： 往返一次中，去时的上坡路为返回时的下坡路，下坡路为返回时的上坡路，所以往返一次的路程相当于从不同速度分别走了一个全程的上坡路和一个全程的下坡路。 两段路程相等，可直 接套用平均速度公式 ： v=2v1+2*20*35/(20+35) /小时；又由平均速度=总路程 总时间可知， 2S=v 20，则 S=210 千米。 方法三： 本题可以看做是流水问题，只是把顺水、逆水换成了上坡和下坡。 距离一时间 速度。 33 设两地距离为 S，那么有 S20+S35=得 S=210。故选 C。 小结： 注意上下坡路程来回一次 =从不同速度分别走了一个全程的上坡路和一个全程的下坡路。 61、 某年级有 84 名学生，其中男生的年龄之和是女生的 3 倍。 3 年后男生的年龄之和比女生年 龄之和的 3 倍少 36 岁。问该年级男生有多少人 ?( ) A. 48 B. 54 C. 60 D. 66 答案： C 方法一： 若男生人数为女生人数的 3 倍，则 3 年后男生的年龄之和仍然为女生的 3 倍。 3年后男生年龄之和比女生年龄之和的 3 倍少 36岁，说明男生人数比女生人数的 3倍少 人 ，故女生人数为 人，男生为 人。 或： 设 X 是男生人数 X+Y=84 X+12=3Y X=60 Y=24 方法二： 设现在女生年龄之和为： A，人数为 84男生的年龄为 3A，人数为 X 则： 3A+3X= 3A+（ 84*3 *3得 X=60 方法三： 女生人数： （ 84*3 +36） /4/3=24 （ 84*3 是总年龄增加数， +36 代表总年龄增加数为女生的 4 倍，这些是女生 3 年的增加数，所以