青岛理工大学概率论习题册答案__(1).pdf

习题 2 写出下列各题中随机事件的样本空间 1 一袋中有5只球 其中有3只白球和2只黑球 从袋中任意取一球 观察其颜色 2 从 1 的袋中不放回任意取两次球 每次取出一个 观察其颜色 3 从 1 的袋中不放回任意取3只球 记录取到的黑球个数 4 生产产品直到有10件正品为止 记录生产产品的总件数 解 1 黑球 白球 2 黑黑 黑白 白黑 白白 3 0 1 2 4 设在生产第10件正品前共生产了n件不合格品 则样本空间为 3 设A B C是三个随机事件 试以A B C的运算关系来表示下列各 事件 1 仅有A发生 2 A B C中至少有一个发生 3 A B C中恰有一个发生 4 A B C中最多有一个发生 5 A B C都不发生 6 A不发生 B C中至少有一个发生 解 1 2 3 4 5 6 4 事件Ai表示某射手第i次 i 1 2 3 击中目标 试用文字叙述下列事 件 1 A1 A2 2 A1 A2 A3 3 4 A2 A3 5 6 解 1 射手第一次或第二次击中目标 2 射手三次射击中至少击中 目标 3 射手第三次没有击中目标 4 射手第二次击中目标 但是第三 次没有击中目标 5 射手第二次和第三次都没有击中目标 6 射手第一 次或第二次没有击中目标 习题1 3 1 选择题 1 设A B为任二事件 则下列关系正确的是 A B C D 解 由文氏图易知本题应选 D 2 若两个事件A和B同时出现的概率P AB 0 则下列结论正确的是 A A和B互不相容 B AB是不可能事件 C AB未必是不可能事件 D P A 0或P B 0 解 本题答案应选 C 2 设P AB P 且P A p 求P B 解 因 故 于是 3 已知 求 由公式知 于是 4 设A B为随机事件 求 解 由公式可知 于是 5 设A B是两个事件 且 问 1 在什么条件下取到最大值 最大值是多少 2 在什么条件下取到最小值 最小值是多少 解 1 3 1 如果 即当时 0 7 则有最大值是0 6 2 如果 1 或者时 有最小值是0 3 6 已知 求A B C全不发生的概率 解 因为 所以 0 即有 0 由概率一般加法公式得 由对立事件的概率性质知A B C全不发生的概率是 习题1 4 1 选择题 在5件产品中 有3件一等品和2件二等品 若从中任取2件 那么以0 7 为概率的事件是 A 都不是一等品 B 恰有1件一等品 C 至少有1件一等品 D 至多有1件一等品 解 至多有一件一等品包括恰有一件一等品和没有一等品 其中只含 有一件一等品的概率为 没有一等品的概率为 将两者加起即为0 7 答案 为 D 2 从由45件正品 5件次品组成的产品中任取3件 求 1 恰有1件次 品的概率 2 恰有2件次品的概率 3 至少有1件次品的概率 4 至多有 1件次品的概率 5 至少有2件次品的概率 解 1 恰有1件次品的概率是 2 恰有2件次品的概率是 3 至少有 1件次品的概率是1 4 至多有1件次品的概率是 5 至少有2件次品的 概率是 3 袋中有9个球 其中有4个白球和5个黑球 现从中任取两个球 求 1 两个球均为白球的概率 2 两个球中一个是白的 另一个是黑的概率 3 至少有一个黑球的概率 解 从9个球中取出2个球的取法有种 两个球都是白球的取法有 种 一黑一白的取法有种 由古典概率的公式知道 1 两球都是白球的概率是 2 两球中一黑一白的概率是 3 至少有一个黑球的概率是1 4 在区间 0 1 中随机地取两个数 求下列事件的概率 1 两数之和 小于 2 两数之积小于 3 以上两个条件同时满足 4 两数之差的绝对 值小于的概率 解 设X Y为所取的两个数 则样本空间S X Y 0 X Y 1 1 P X Y 2 P XY 3 P X Y XY 0 593 4 解 设x y为所取的两个数 则样本空间 x y 0 x y 1 记A x y x y S x y 0 P B 0 则下列关系成立 的是 A A B相互独立 B A B不相互独立 C A B互为对立事件 D A B不互为对立事件 解 用反证法 本题应选 B 2 设事件A与B独立 则下面的说法中错误的是 A 与独立 B 与独立 C D A与B一定互斥 解 因事件A与B独立 故 A与及与B也相互独立 因此本题应选 D 3 设事件A与 B相互独立 且0 P B 1 则下列说法错误的是 A B C A与B一定互斥 D 解 因事件A与B独立 故也相互独立 于是 B 是正确的 再由条件概 率及一般加法概率公式可知 A 和 D 也是正确的 从而本题应选 C 2 设A B是任意两个事件 其中A的概率不等于0和1 证明 P B A 是事件A与B独立的充分必要条件 证 由于的概率不等于0和1 故题中两个条件概率都存在 充分性 因事件A与B独立 知事件与B也独立 因此 从而 必要性 已知 由条件概率公式和对立事件概率公式得到 移项得 化简得 P AB P A P B 因此A和B独立 3 设三事件A B和C两两独立 满足条件 且 求 解 根据一般加法公式有 由题设可知 A B和C 两两相互独立 因此有 从而 于是或 再根据题设 故 4 某人向同一目标独立重复射击 每次射击命中目标的概率 为p 0 p 1 求此人第4次射击时恰好第2次命中目标的概率 解 第4次射击恰好第2次命中 表示4次射击中第4次命中目标 前3 次射击中有一次命中目标 由独立重复性知所求概率为 5 甲 乙两人各自向同一目标射击 已知甲命中目标的概率为 0 7 乙命中目标的概率为0 8 求 1 甲 乙两人同时命中目标的概率 2 恰有一人命中目标的概率 3 目标被命中的概率 解 甲 乙两人各自向同一目标射击应看作相互独立事件 于是 1 2 3 总 习 题 一 1 选择题 设是三个相互独立的随机事件 且 则在下列给定的四对 事件中不相互独立的是 A 与C B 与 C 与C D 与 解 由于A B C是三个相互独立的随机事件 故其中任意两个事件的 和 差 交 并与另一个事件或其逆是相互独立的 根据这一性质知 A C D 三项中的两事件是相互独立的 因而均为干扰项 只有选项 B 正 确 2 一批产品由95件正品和5件次品组成 先后从中抽取两件 第一次 取出后不再放回 求 1 第一次抽得正品且第二次抽得次品的概率 2 抽 得一件为正品 一件为次品的概率 解 1 第一次抽得正品且第二次抽得次品的概率为 1 抽得一件为正品 一件为次品的概率为 3 设有一箱同类型的产品是由三家工厂生产的 已知其中有的产品 是第一家工厂生产的 其它二厂各生产 又知第一 第二家工厂生产的产 品中有2 是次品 第三家工厂生产的产品中有4 是次品 现从此箱中任 取一件 产品 求取到的是次品的概率 解 从此箱中任取一件产品 必然是这三个厂中某一家工厂的产品 设 A 取到的产品是次品 Bi 取到的产品属于第i家工厂生产 i 1 2 3 由于BiBj i j i j 1 2 3 且B1 B2 B3 S 所以B1 B2 B3是S的一个划分 又 P B1 P B2 P B3 P A B1 P A B2 P A B3 由全概率公式得 P A P B1 P A B1 P B2 P A B2 P B3 P A B3 0 025 4 某厂自动生产设备在生产前须进行调整 假定调整良好时 合格品 为90 如果调整不成功 则合格品有30 若调整成功的概率为75 某 日调整后试生产 发现第一个产品合格 问设备被调整好的概率是多少 解 设A 设备调整成功 B 产品合格 则全概率公式得到 由贝叶斯公式可得 5 将两份信息分别编