2020届高考数学大二轮复习 层级二 专题四 立体几何 第2讲 空间中的平行与垂直课时作业.doc

第2讲 空间中的平行与垂直限时50分钟满分60分解答题(本大题共5小题，每小题12分，共60分)1.(2020泉州模拟)如图，已知四棱台abcda1b1c1d1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，aa16，且a1a底面abcd，点p，q分别在棱dd1，bc上，bq4.(1)若dpdd1，证明：pq平面abb1a1.(2)若p是d1d的中点，证明：ab1平面pbc.证明：(1)在aa1上取一点n，使得anaa1，因为dpdd1，且a1d13，ad6，所以pnad，又bqad，所以pnbq.所以四边形bqpn为平行四边形，所以pqbn.因为bn平面abb1a1，pq平面abb1a1，所以pq平面abb1a1.(2)如图所示，取a1a的中点m，连接pm，bm，pc，因为a1a，d1d是梯形的两腰，p是d1d的中点，所以pmad，于是由adbc知，pmbc，所以p，m，b，c四点共面由题设可知，bcab，bca1a，abaa1a，所以bc平面abb1a1，所以bcab1，因为tanabmtana1ab1，所以abma1ab1，所以abmbab1a1ab1bab190，所以ab1bm，再bcbmb，知ab1平面pbc.2(2019烟台三模)如图(1)，在正abc中，e，f分别是ab，ac边上的点，且beaf2cf.点p为边bc上的点，将aef沿ef折起到a1ef的位置，使平面a1ef平面befc，连接a1b，a1p，ep，如图(2)所示(1)求证：a1efp；(2)若bpbe，点k为棱a1f的中点，则在平面a1fp上是否存在过点k的直线与平面a1be平行，若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由(1)证明：在正abc中，取be的中点d，连接df，如图所示因为beaf2cf，所以afad，aede，而a60，所以adf为正三角形又aede，所以efad.所以在题图(2)中，a1eef，又a1e平面a1ef，平面a1ef平面befc，且平面a1ef平面befcef，所以a1e平面befc.因为fp平面befc，所以a1efp.(2)解：在平面a1fp上存在过点k的直线与平面a1be平行理由如下：如题图(1)，在正abc中，因为bpbe，beaf，所以bpaf，所以fpab，所以fpbe.如图所示，取a1p的中点m，连接mk，因为点k为棱a1f的中点，所以mkfp.因为fpbe，所以mkbe.因为mk平面a1be，be平面a1be，所以mk平面a1be.故在平面a1fp上存在过点k的直线mk与平面a1be平行3.如图所示，已知bc是半径为1的半圆o的直径，a是半圆周上不同于b，c的点，f为弧ac的中点梯形acde中，deac，且ac2de，平面acde平面abc.求证：(1)平面abe平面acde；(2)平面ofd平面abe.解：(1)因为bc是半圆o的直径，a是半圆周上不同于b，c的点，所以bac90，即acab.因为平面acde平面abc，平面acde平面abcac，ab平面abc，所以ab平面acde.因为ab平面abe，所以平面abe平面acde.(2)如图所示，设ofacm，连接dm.因为f为弧ac的中点，所以m为ac的中点因为ac2de，deac，所以deam，deam.所以四边形amde为平行四边形所以dmae.因为dm平面abe，ae平面abe，所以dm平面abe.因为o为bc的中点，所以om为abc的中位线所以omab.因为om平面abe，ab平面abe，所以om平面abe.因为om平面ofd，dm平面ofd，omdmm，所以平面ofd平面abe.4(2019北京卷)如图，在四棱锥pabcd中，pa平面abcd，底面abcd为菱形，e为cd的中点(1)求证：bd平面pac；(2)若abc60，求证：平面pab平面pae；(3)棱pb上是否存在点f，使得cf平面pae？说明理由解析：本题主要考查线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，立体几何中的探索问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力(1)证明：因为pa平面abcd，所以pabd；因为底面abcd是菱形，所以acbd；因为paaca，pa，ac平面pac，所以bd平面pac.(2)证明：因为底面abcd是菱形且abc60，所以acd为正三角形，所以aecd，因为abcd，所以aeab；因为pa平面abcd，ae平面abcd，所以aepa；因为paaba所以ae平面pab，ae平面pae，所以平面pab平面pae.(3)存在点f为pb中点时，满足cf平面pae；理由如下：分别取pb，pa的中点f，g，连接cf，fg，eg，在三角形pab中，fgab且fgab；在菱形abcd中，e为cd中点，所以ceab且ceab，所以cefg且cefg，即四边形cegf为平行四边形，所以cfeg；又cf平面pae，eg平面pae，所以cf平面pae.5.(2019青岛三模)已知在三棱柱abca1b1c1中，ab2ac2aa14，a1ac，acbc，平面acc1a1平面abc，m为b1c1的中点(1)过点b1作一个平面与平面acm平行，确定平面，并说明理由；(2)求三棱柱abca1b1c1的表面积解析：(1)如图，取ab的中点e，bc的中点f，连接b1e，b1f，ef，则平面b1ef平面acm.因为平面acc1a1平面abc，平面acc1a1平面abcac，acbc，所以bc平面acc1a1，bccc1，因为四边形bcc1b1为平行四边形，所以四边形bcc1b1为矩形，在矩形bcc1b1中，m，f分别是b1c1，bc的中点，所以b1fcm；在abc中，e，f分别是ab，bc的中点，所以efac.又effb1f，accmc，所以平面b1ef平面acm.所以平面即平面b1ef.(2)由题意知ac2，aa12，ab4.因为acbc，所以bc 2，所以abc的面积s1acbc222.在平行四边形acc1a1中，a1ac，其面积s2aa1acsina1ac22sin 2.由(1)知四边形bcc1b1为矩形，故其面积s3bccc1224.连接a1c，ba1，在aa1c中，acaa12，a1ac，所以a1c2