2020届新高考数学艺考生总复习 第六章 立体几何 第7节 立体几何中的向量方法 第2课时 求空间角和距离冲关训练.doc

第2课时 求空间角和距离1(2019上海市一模)如图，点a、b、c分别在空间直角坐标系oxyz的三条坐标轴上，(0,0,2)，平面abc的法向量为n(2,1,2)，设二面角cabo的大小为，则cos ()ab.c.d解析：c点a、b、c分别在空间直角坐标系oxyz的三条坐标轴上，(0,0,2)，平面abc的法向量为n(2,1,2)，二面角cabo的大小为，cos .故选c.2(2019金华市模拟)在空间直角坐标系oxyz中，平面oab的一个法向量为n(2，2,1)，已知点p(1,3,2)，则点p到平面oab的距离d等于()a4 b2 c3 d1解析：b由已知平面oab的一条斜线的方向向量(1,3,2)，所以点p到平面oab的距离d|cos，n|2. 故选b.3如图，在直三棱柱abca1b1c1中，ab1，ac2，bc，d，e分别是ac1和bb1的中点，则直线de与平面bb1c1c所成的角为()a. b. c. d.解析：aab1，ac2，bc，ac2bc2ab2，abbc.三棱柱为直三棱柱，bb1平面abc.以b为原点，bc，ba，bb1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系bxyz，则a(0,1,0)，c(，0,0)设b1(0,0，a)，则c1(，0，a)，d，e，平面bb1c1c的法向量(0,1,0)设直线de与平面bb1c1c所成的角为，则sin |cos，|，.4已知直三棱柱abca1b1c1中，acb90，ac1，cb，侧棱aa11，侧面aa1b1b的两条对角线交于点d，则平面b1bd与平面cbd所成的二面角的余弦值为()a b c. d.解析：a建立如图所示的空间直角坐标系，则c(0,0,0)，b(，0,0)，a(0,1,0)，b1(，0,1)，d，(，0,0)，(，1,0)，(0,0,1)设平面cbd和平面b1bd的法向量分别为n1，n2，可得n1(0,1，1)，n2(1，0)，所以cosn1，n2，又平面b1bd与平面cbd所成的二面角的平面角与n1，n2互补，故平面b1bd与平面cbd所成的二面角的余弦值为.故选a.5如图，在直三棱柱abca1b1c1中，acb90，2acaa1bc2.若二面角b1dcc1的大小为60，则ad的长为()a. b. c2 d.解析：a如图，以c为坐标原点，ca，cb，cc1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则c(0,0,0)，a(1,0,0)，b1(0,2,2)，c1(0,0,2)设ada，则d点坐标为(1,0，a)，(1,0，a)，(0,2,2)设平面b1cd的法向量为m(x，y，z)由，得，令z1，则m(a,1，1)又平面c1dc的一个法向量为n(0,1,0)，则由 cos 60，得，解得a，所以ad.故选a.6如图，在正方形abcd中，efab，若沿ef将正方形折成一个二面角后，aeedad11，则af与ce所成角的余弦值为_解析：aeedad11，aeed，即ae，de，ef两两垂直，所以建立如图所示的空间直角坐标系，设abefcd2，则e(0,0,0)，a(1,0,0)，f(0,2,0)，c(0,2,1)，(1,2,0)，(0,2,1)，cos，af与ce所成角的余弦值为.答案：7正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)abca1b1c1的底面边长为2，侧棱长为2，则ac1与侧面abb1a1所成的角为_解析：以c为原点建立坐标系，得下列坐标：a(2,0,0)，c1(0,0,2)点c1在侧面abb1a1内的射影为点c2.所以(2,0,2)，设直线ac1与平面abb1a1所成的角为，则cos .又，所以.答案：8设正方体abcda1b1c1d1的棱长为2，则点d1到平面a1bd的距离是_解析：如图建立空间直角坐标系，则d1(0,0,2)，a1(2,0,2)，d(0,0,0)，b(2,2,0)，(2,0,0)，(2,0,2)，(2,2,0) .设平面a1bd的一个法向量n(x，y，z)，则.令x1，则n(1，1，1)，点d1到平面a1bd的距离d.答案：9(2019乌鲁木齐一模)如图，在直三棱柱abca1b1c1中，abac，aa1acab，m，n分别为bc，a1c1的中点(1)求证ambn；(2)求二面角b1bna1的余弦值解：(1)证明：以a为原点，ab为x轴，ac为y轴，aa1为z轴，建立如图空间直角坐标系axyz，设ab1，则aa1ac，a(0,0,0)，m，b(1,0,0)，n，a1(0,0，)，b1(1,0，)，00，ambn.(2)直三棱柱abca1b1c1中，bb1am，又ambn，am平面bb1n，设平面a1bn的法向量为m(x，y，z)，(1,0，)，则，取z1，得m(，0,1)，设二面角b1bna1的平面角为，则cos .二面角b1bna1的余弦值为.10(2019赤峰市模拟)如图，在三棱柱abca1b1c1中，侧面acc1a1底面abc，a1ac60，ac2aa14，点d，e分别是aa1，bc的中点(1)证明：de平面a1b1c；(2)若ab2，bac60，求二面角baa1e的余弦值解：(1)证明：取ac的中点f，连接df，ef，e是bc的中点，efab，abca1b1c1是三棱柱，aba1b1，efa1b1，ef平面a1b1c，d是aa1的中点，dfa1c，df平面a1b1c，又efdee，平面def平面a1b1c，de平面a1b1c；(2)过点a1作a1oac，垂足为o，连接ob，侧面acc1a底面abc，a1o平面abc，a1oob，a1ooc，a1ac60，aa12，oa1，oa1，ab2，oab60，由余弦定理得，ob2oa2ab22oaabcosbac3，ob，aob90，obac，分别以ob，oc，oa为x轴，y轴，z轴，建立如图的空间直角坐标系oxyz，由题设可得a(0，1,0)，c(0,3,0)，b(，0,0)，a1(0,