三角形的证明讲义.doc

小巨人学科教师辅导讲义 学生: 谢仲铖 教师: 赵常巨 日期: 2015/3/14 家长签名： 课 题三角形的证明教学目标1. 能够证明与三角形,线段的垂直平分线，角平分线等有关的性质及判定定理。2. 理解逆命题的概念，会识别互逆命题，并知道原命题成立其逆命题不一定成立。3. 尺规作图等腰三角形，角平分线，线段的垂直平分线。重点、难点1. 重点是探索证明的思路和方法；2. 难点是准确地表达推理证明的过程或相关计算。考点及考试要求本章内容在历年中考中主要考查等腰三角形的性质，直角三角形的性质，线段的垂直平分线，角平分线的性质。这些内容还常常与三角形全等，相似等内容结合在一起综合考查，主要以证明题的形式出现。教学内容温故知新1、两边及其对应相等的两个三角形全等（）；2、两角及其对应相等的两个三角形全等（）；3、对应相等的两个三角形全等（）；4、及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（）；5、全等三角形的对应边,对应角。6、有的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做，两腰的夹角叫做，腰与底边的夹角叫做，的三角形叫做等边三角形。回顾课本已知：是等腰三角形， 求证：C (提示：利用三角形全等证明。你能想到哪些方法？)归纳：1、等腰三角形性质定理： （简称“等边对等角”）； 推理格式：，（等边对等角） 2、推论（三线合一）： ；推理格式：, , , 平分, 平分, 平分, ,1、等腰三角形的两边分别是7 和3 ，则周长为 。2、如图在中， = ， = 100。求：1、B的度数。3、如图，已知D =C，A =B，且 = 。求证： = 。4、如图，在中，D为上一点，并且 = ， = ，若C = 29，求A。5.如图，在中， = ，D是边上的中点，且，。 求证：1 =2。总结一下：1、等腰三角形性质定理： （简称“等边对等角”）；2、推论（三线合一）： 第二篇章1、 如图，E是内的一点， = ，连接、，且 = ，延长，交边于点D。求证：。2、已知：如图，点在三角形的边上,求证：3、已知：如图，在中，C,求证： （提示：构造两个全等三角形证明）归纳：1、有两个角相等的三角形是三角形。（简称“等角对等边”） 推理格式：C,(等角对等边)2、反证法证明问题的一般步骤：从结论的 _ 出发，先假设命题的结论 ，然后推出与定义、公理、已证定理或已知条件相 的结果，从而证明命题的结论一定成立。这种证明方法称为 。1、用反证法证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60。2.如图，在中， = ，求证：是等腰三角形。3.如图，在中，的平分线交于点D，。求证：是等腰三角形。ABNC4、如图，一艘船从A处出发，以18节的速度向正北航行，经过10时到达B处。分别从A、B望灯塔C，测得42，84。求 B处到灯塔C 的距离。5、已知：如图，在三角形中，是上的一点，E是延长线上的一点且交于M.求证：.6、用反证法证明：一个三角形中不能有两个直角。回顾课本1、三条边都的三角形是等边三角形 。2、三个都相等的三角形是等边三角形 。3、有一个角等于的等腰三角形是等边三角形。4、在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的。5、直角三角形：有一个角是的三角形叫做直角三角形。6、勾股定理的逆定理：222，90（是直角三角形）7、互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的和分别是另一个命题的和，那么这两个命题称为，其中一个命题称为另一个命题的。8、互逆定理：一个命题是真命题，它的逆命题却是真命题。如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为，其中一个定理称为另一个定理的。9.斜边和一条对应相等的两个三角形全等。（“斜边、直角边”或“”）1.已知：如图，中，于D，4，3，。（1）求的长；（2）求的长；（3）求的长；（4）求证：是直角三角形.2.、某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图5所示，90，80米，60米，若线段是一条小渠，且D点在边上，已知水渠的造价为10元/米，问D点在距A点多远处时，水渠的造价最低？最低造价是多少？3、说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假。（1）如果0,那么00；（2）初三（6）班有62位同学；（3）等边对等角；4.、找出下列定理有哪些存在逆定理，并把它写出来。（1）如果，则 （2）全等三角形对应角相等（3）对顶角相等1、直角三角形的两直角边为9、12，则斜边为 ；直角三角形的两边分别为13和 5，则另一条边为 。如果三角形的三边长是6、10、8，则这个三角形是 三角形。2、如图，E是上一点，60，3，4，求：3.如图，是的角平分线， = 。求证： = 。线段的垂直平分线线段的垂直平分线：垂直且一条线段的直线是这条线段的垂直平分线。线段垂直平分线上的到这条线段两个端点的距离。定理：到一条线段两个端点距离的点，在这条线段的线上。推理格式： = ，点在线段的 。定理：线段垂直平分线上的到这条线段两个端点的距离。推理格式:，(点P在线段的垂直平分线上), 教材精读5、已知：如图，在中，设、的垂直平分线相交于点P，求证：，的垂直平分线相交于点P，且。证明：连接、，点P在线段的垂直平分线上，（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等）点P在线段的垂直平分线上，归纳：三角形三条边的线相交于，并且这一点到三个的距离相等。推理格式：点P是的三条边的垂直平分线的交点， . 教材精读1、已知：如图，是的角平分线，点P在上，,垂足分别为D，E，求证：证明:，,垂足分别为D，E， 90 是的角平分线，归纳：角平分线上的到这个角的两边的距离。(证明两条线段相等)推理格式：点P在的角平分线上， 2、已知：如图，点P为内一点，且 = ，求证：平分。归纳：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的，在这个角的平分线上（证明角相等）推理格式：，且 = ， 点P平分 。3.如图，在中， = ，C = 90，是的角平分线，垂足为E。（1）已知 = 4，求的长；（2）求证： = + 。4.如右图，已知于E，于F，、相交于点D，若。求证：平分。5、如图，在中，、相交于点P， = 。求证：P在的角平分线上。告诉你个秘密1、角平分线上的到这个角的两边的距离。(证明两条线段相等)2、在一个角的内部，且到角的两边距离相等的，在这个角的平分线上.（证明角相等）教材精读1.、已知：点P是的两条角平分线、的交点，求证：A的平分线经过点P，且。ABCMNPDEF 证明：过点P作于E，于F，于D， 是的角分线，点P为上一点， ( ) 是的角分线，点P为上一点， ( )归纳：三角形三条角平分线相交于一，并且这一点到三角形三条的距离。推理格式：点P是的三条角平分线的交点，且， . 实践练习：（1）如图4，点P为三条角平分线交点，则.（2）如图5，P是平分线上任意一点，且2，若使2，则与的关系是. 图4 图5 7、已知：如图在中，90，平分，交于D，若32，97，求：D到边的距离.1、三角形三条角平分线相交于一，并且这一点到三角形三条的距离。回顾思考【学习目标】1、在回顾与思考中建立本章的知识框架图，复习有关定理的探索与证明，证明的思路和方法，尺规作图等。2、发展初步的演绎推理能力，进一步掌握综合法的证明方法，提高用规范的数学语言表达论证过程的能力。复习反馈1、等腰三角形的性质：（边） （角） 三线合一： 2、等边三角形的性质：（边） ；（角） 3、判定等腰三角形的方法有：（边） ；（角） 。4、判定等边三角形的方法有：（边） ；（角） 。5、线段垂直平分线的性质定理： 。逆定理： 。三角形的垂直平分线性质： 。6、角的性质定理： 。逆定理： 。三角形的角平分线性质： 。7、三角形全等的判定方法有： 。8、30锐角的直角三角形的性质： 。9、方法总结：（1）证明线段相等的方法：1）可证明它们所在的两个三角形全等；2）角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；3）等角对等边；4）等腰三角形三线合一的性质；5）中垂线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。（2）证明两角相等的方法：1）同角的余角相等；2）平行线性质；3）对顶角相等；4）全等三角形对应角相等；5）等边对等角；6）角平分线的性质定理和逆定理。（3）证明垂直的方法：1）证邻补角相等；2）证和已知直角三角形全等；3）利用等腰三角形的三线合一性质；4）勾股定理的逆定理。（4）等腰三角形的证明：主要用等腰三角形的两腰相等，两底角相等和三线合一性质解题。1、填空：（1）中，AB123，最小边4 ，最长边 。（2）直角三角形两直角边分别是5 、12 ，其斜边上的高是 。（3）若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点，则此三角形是 三角形。（4）三角形三边分别为a、b、c，且a2(bc)，则这个三角形（按边分类）一定是2、已知：如图，D是的边上的中点，垂足分别是E、F，且。 求证：是等腰三角形。3、如图，在中，的垂直平分线交于点E，已知的周长为8，2. 求与的长.4、已知，在中，垂直平分，且 = ，点B、D、C、E在同一条直线上。求证： + = 1、等腰三角形的底角为15,腰上