2015-2016学年重庆市南开中学高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版).doc

.2015-2016学年重庆市南开中学高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（每题5分，共60分）1已知命题p为真命题，命题q为假命题，则以下命题为真命题的是（）Ap或qBp且qCp或qDp且q2椭圆的焦点坐标为（）A（1，0）BC（0，1）D3若复数的实部与虚部互为相反数，则b=（）A1B1C7D74抛物线y2=2x上两点A，B，已知AB的中点在直线x=2上，F为抛物线焦点，则|AF|+|BF|=（）A3B4C5D65如图，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AC与BD交于点M，设=，则=（）ABCD6椭圆=1上的点P到上顶点距离的最大值为（）A2BCD不存在最大值7命题“xR，f（x）g（x）h（x）”的否定形式是（）Ax0R，f（x0）g（x0）h（x0）Bx0R，f（x0）g（x0）或g（x0）h（x0）CxR，f（x）g（x）h（x）DxR，f（x）g（x）或g（x）h（x）8由函数y=ex，y=，x=e所围成的封闭图形的面积为（）AeeeBee2eC2e1D19已知函数f（x）=exlnx+（xm）2，若对于x（0，+），f（x）f（x）0成立，则实数m的取值范围是（）ABCD10如图，矩形ABCD中AB=2，BC=，M，N分别为AB，CD中点，BD与MN交于O，现将矩形沿MN折起，使得二面角AMNB的大小为，则折起后cosDOB为（）ABCD11过双曲线右焦点作双曲线其中一条渐近线的垂线与两渐近线分别交于A，B两点，O为坐标原点，且AOB的面积为，则该双曲线的离心率为（）ABCD12F1，F2分别为椭圆+=1的左右焦点，P为椭圆上一动点，F2关于直线PF1的对称点为M，F1关于直线PF2的对称点为N，则当|MN|最大时，S为（）A2BCD二、填空题（每题5分，共20分）13f（x）=cos3x，则=14z=a+2i（aR），若z2+8i为纯虚数，则a=15用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，该长方体的最大体积是16若存在实数m，n，k（mnk）使得关于x的不等式exa（x2x+1）0的解集为m，nk，+），则实数a的取值范围是三、解答题（共70分）17已知函数f（x）=x2+ax与g（x）=ln（x+1）在原点处有公共的切线（1）求实数a的值；（2）求h（x）=f（x）g（x）的极植18如图，在三棱锥SABC中，ABC是边长为4的正三角形，平面SAC平面ABC，SA=SC=2，M、N分别为AB、SB的中点（1）求证：ACSB；（2）求二面角NCMB的大小；（3）求点B到平面CMN的距离19已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为+1，最小值为1（1）求椭圆C的标准方程；（2）过右焦点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且以AB为直径的圆过原点，求直线的斜率k20如图，直线PA，QC都与正方形ABCD所在平面垂直，AB=PA=2QC=2，AC与BD相交于点O，E在线段PD上且CE平面PBQ（1）求证：OP平面QBD；（2）求二面角EBQP的平面角的余弦值21如图，已知点A（1，0）是抛物线的准线与x轴的交点，M，N两点在抛物线上且直线MN过A点，过M点及B（1，1）的直线交抛物线于Q点（1）求抛物线的方程；（2）求证：直线QN过一定点，并求出该点坐标22已知函数f（x）=xlnx（1）不等式f（x）kx对于任意正实数x均成立，求实数k的取值范围；（2）是否存在整数m，使得对于任意正实数x，不等式f（m+x）f（m）ex恒成立？若存在，求出最小的整数m，若不存在，说明理由2015-2016学年重庆市南开中学高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共60分）1已知命题p为真命题，命题q为假命题，则以下命题为真命题的是（）Ap或qBp且qCp或qDp且q【考点】复合命题的真假【分析】利用复合命题真假的判定方法即可得出【解答】解：命题p为真命题，命题q为假命题，p或q，p且q，p且q为假命题只有p或q为真命题故选：C2椭圆的焦点坐标为（）A（1，0）BC（0，1）D【考点】椭圆的简单性质【分析】利用椭圆性质求解【解答】解：椭圆，c=1，椭圆焦点坐标为（1，0）故选：A3若复数的实部与虚部互为相反数，则b=（）A1B1C7D7【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，又已知复数的实部与虚部互为相反数，列出等式求解即可得到b的值【解答】解： =，又复数的实部与虚部互为相反数，解得b=1故选：B4抛物线y2=2x上两点A，B，已知AB的中点在直线x=2上，F为抛物线焦点，则|AF|+|BF|=（）A3B4C5D6【考点】抛物线的简单性质【分析】求出准线方程，利用抛物线的定义及AB的中点在直线x=2上，求得结果【解答】解：抛物线y2=2x的准线方程为x=，设A（x1，y1），B（x2，y2），|AF|+|BF|=x1+x2+=x1+x2+1AB的中点在直线x=2上，x1+x2=4，|AF|+|BF|=5，故选：C5如图，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AC与BD交于点M，设=，则=（）ABCD【考点】空间向量的加减法【分析】由于=+，代入化简即可得出【解答】解： =+，=+=，故选：D6椭圆=1上的点P到上顶点距离的最大值为（）A2BCD不存在最大值【考点】椭圆的简单性质【分析】设椭圆=1上的点P（2cos，sin），上顶点B（0，1），由此利用两点间距离公式和三角函数性质能求出结果【解答】解：设椭圆=1上的点P（2cos，sin），上顶点B（0，1），|PB|=椭圆=1上的点P到上顶点距离的最大值为故选：C7命题“xR，f（x）g（x）h（x）”的否定形式是（）Ax0R，f（x0）g（x0）h（x0）Bx0R，f（x0）g（x0）或g（x0）h（x0）CxR，f（x）g（x）h（x）DxR，f（x）g（x）或g（x）h（x）【考点】命题的否定【分析】根据全称命题的否定方法，结合已知中的原命题，可得答案【解答】解：命题“xR，f（x）g（x）h（x）”可化为：“xR，f（x）g（x），且g（x）h（x）”故命题“xR，f（x）g（x）h（x）”的否定是“xR，f（x）g（x），或g（x）h（x）”，故选：B8由函数y=ex，y=，x=e所围成的封闭图形的面积为（）AeeeBee2eC2e1D1【考点】定积分在求面积中的应用【分析】先求出两曲线的交点坐标（1，e），再由面积与积分的关系将面积用积分表示出来，由公式求出积分，即可得到面积值【解答】解：由ex=，可得x=1，由函数y=ex，y=，x=e所围成的封闭图形的面积为（ex）dx=（ex+）=ee2e故选：B9已知函数f（x）=exlnx+（xm）2，若对于x（0，+），f（x）f（x）0成立，则实数m的取值范围是（）ABCD【考点】利用导数求闭区间上函数的最值【分析】问题转化为m+x在x（0，+）恒成立，根据基本不等式的性质求出+x在x（0，+）上的最小值，从而求出m的范围即可【解答】解：f（x）f（x）=ex+2（xm）0，m+x在x（0，+）恒成立，而+x2=，当且仅当x=时“=”成立，故m，故选：A10如图，矩形ABCD中AB=2，BC=，M，N分别为AB，CD中点，BD与MN交于O，现将矩形沿MN折起，使得二面角AMNB的大小为，则折起后cosDOB为（）ABCD【考点】二面角的平面角及求法【分析】先求出BO=DO=，再以N为原点，NM为x轴，NC为y轴，过N垂直于平面NMBC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，求出|BD|，由此利用余弦定理能求出折起后cosDOB【解答】解：矩形ABCD中AB=2，BC=，M，N分别为AB，CD中点，BD与MN交于O，现将矩形沿MN折起，使得二面角AMNB的大小为，BO=DO=，如图，以N为原点，NM为x轴，NC为y轴，过N垂直于平面NMBC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，则B（，1，0），D（0，），|BD|=，cosDOB=，折起后cosDOB=故选：C11过双曲线右焦点作双曲线其中一条渐近线的垂线与两渐近线分别交于A，B两点，O为坐标原点，且AOB的面积为，则该双曲线的离心率为（）ABCD【考点】双曲线的简单性质【分析】求出双曲线的渐近线方程，设两条渐近线的夹角为，由两直线的夹角公式，可得tan=tanAOB，求出F到渐近线y=x的距离为b，即有|OB|=a，OAB的面积可以表示为aatan，结合条件可得a，b的关系，再由离心率公式即可计算得到【解答】解：双曲线=1（ab0）的渐近线方程为y=x，设两条渐近线的夹角为，则tan=tanAOB=，设右焦点为F，FBOB，则F到渐近线y=x的距离为d=b，即有|OB|=a，则OAB的面积可以表示为aatan=，即为6a25ab6b2=0，解得b=a，即有c=a，则e=故选：D12F1，F2分别为椭圆+=1的左右焦点，P为椭圆上一动点，F2关于直线PF1的对称点为M，F1关于直线PF2的对称点为N，则当|MN|最大时，S为（）A2BCD【考点】椭圆的简单性质【分析】由题意画出图形，得到当P，M，N共线时，|MN|最大，由此可知F1PF2=60，然后利用余弦定理求得再代入三角形面积公式得答案【解答】解：由+=1，得a2=4，b2=2，则c2=a2b2=2，连接PM，PN，|PM|+|PN|=|PF1|+|PF2|=2a，当P，M，N共线时，|MN|最大，此时MPF1=F1PF2，F1PF2=F2PN，由MPF1+F1PF2+F2PN=180，得F1PF2=60，在F1PF2中，由余弦定理可得：，即S=故选：C二、填空题（每题5分，共20分）13f（x）=cos3x，则=【考点】导数的运算【分析】先求导，再代值计算即可【解答】解：f（x）=cos3x，f（x）=3sin3x，=3sin=，故答案为：14z=a+2i（aR），若z2+8i为纯虚数，则a=2【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简复数z2+8i，由其实部为0且虚部不为0求得a值【解答】解：z=a+2i（aR），z2+8i=（a+2i）2+8i=（a24）+（4a+8）i，又z2+8i为纯虚数，则，解得a=2故答案为：215用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，该长方体的最大体积是3【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】根据题意知，长方体的所有棱长和是18m，故可设出宽，用宽表示出长和高，将体积表示成宽的函数，用导数来求其最大值即可【解答】解：设该长方体的宽是x米，由题意知，其长是2x米，高是米，（）则该长方体的体积V（x）=，由V（x）=0，得到x=1，且当0x1时，V（x）0；当1x时，V（x）0，即体积函数V（x）在x=1处取得极大值V（1）=3，也是函数V（x）在定义域上的最大值所以该长方体体积最大值是3故答案为：316若存在实数m，n，k（mnk）使得关于x的不等式exa（x2x+1）0的解集为m，nk，+），则实数a的取值范围是（，e）【考点】其他不等式的解法【分析】化简可得a，令f（x）=，从而求导确定函数的单调性，从而解得【解答】解：exa（x2x+1）0，a（x2x+1）ex，a，令f（x）=，则f（x）=，故f（x）在（，1）上是增函数，在1，2上是减函数，在（2，+）上是增函数；故fmax（x）=e，fmin（x）=；关于x的不等式exa（x2x+1）0的解集为m，nk，+），ae，故答案为（，e）三、解答题（共70分）17已知函数f（x）=x2+ax与g（x）=ln（x+1）在原点处有公共的切线（1）求实数a的值；（2）求h（x）=f（x）g（x）的极植【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）求出函数的导数，得到f（0）=g（0），解出即可；（2）求出h（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可【解答】解：（1）f（x）=2x+a，g（x）=，由题意得：f（0）=g（0），解得：a=1；（2）h（x）=f（x）g（x），h（x）=2x+1=，（x1），令h（x）0，解得：x0，令h（x）0，解得：x0，h（x）在（1，0）递减，在（0，+）递增，h（x）极小值=h（0）=018如图，在三棱锥SABC中，ABC是边长为4的正三角形，平面SAC平面ABC，SA=SC=2，M、N分别为AB、SB的中点（1）求证：ACSB；（2）求二面角NCMB的大小；（3）求点B到平面CMN的距离【考点】点、线、面间的距离计算；二面角的平面角及求法【分析】（1）取AC的中点D，连结SD、DB，证明AC平面SDB，即可证明ACSB；（2）过N点作NEBD于E，则NE平面ABC，过E点作EFCM于F，连结NF，则NFCM，可得NFE为二面角NCMB的平面角，即可求二面角NCMB的大小；（3）由VBCMN=VNBCM求点B到平面CMN的距离【解答】（1）证明：取AC的中点D，连结SD、DB，SA=SC，AB=BC，ACSD，ACBD，AC平面SDB，SB平面SDB，ACSB；（2）解：AC平面SDB，AC平面ABC，平面SDB平面ABC，过N点作NEBD于E，则NE平面ABC，过E点作EFCM于F，连结NF，则NFCM，NFE为二面角NCMB的平面角，NE=SD=，EF=MB=，在RtNEF中，tanNFE=，（3）解：在RtNEF中，NF=，设B到平面CMN的距离为h，由VBCMN=VNBCM得=，h=19已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为+1，最小值为1（1）求椭圆C的标准方程；（2）过右焦点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且以AB为直径的圆过原点，求直线的斜率k【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）设椭圆的方程为+=1（ab0），由椭圆的性质可得a+c=1+，ac=1，解方程可得a，c，进而得到b，可得椭圆的方程；（2）设直线l：y=k（x1），A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程，消去y，运用韦达定理，以及直径所对的圆心角为直角，结合向量垂直的条件：数量积为0，化简整理，解方程可得k【解答】解：（1）设椭圆的方程为+=1（ab0），由题意可得a+c=1+，ac=1，解得a=，c=1，b=1，即有椭圆方程为+y2=1；（2）设直线l：y=k（x1），A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程可得，（1+2k2）x24k2x+2k22=0，x1+x2=，x1x2=，由以AB为直径的圆过原点，可得OAOB，即有=0，即为x1x2+y1y2=0，即有（1+k2）x1x2k2（x1+x2）+k2=0，代入韦达定理，可得=0，化简即为k2=2，解得k=20如图，直线PA，QC都与正方形ABCD所在平面垂直，AB=PA=2QC=2，AC与BD相交于点O，E在线段PD上且CE平面PBQ（1）求证：OP平面QBD；（2）求二面角EBQP的平面角的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定【分析】（1）连结OQ，由已知得BDOP，OPOQ，由此能证明OP平面QBD（2）以A为原点，AB为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角EBQP的余弦值【解答】（1）证明：连结OQ，由题意知PAQC，P，A，Q，C共面，BDAC，BDPA，PAAC=A，BD平面PACQ，BDOP，由题意得PA=2，AO=OC=，OP=，QC=1，OQ=，PAOOCQ，POA=OQC，POA+OPA=90，POA+COQ=90，OPOQ，OPBD，OPOQ，BDOQ=O，OP平面QBD（2）解：以A为原点，AB为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，B（2，0，0），Q（2，2，1），P（0，0，2），=（2，0，2），=（2，2，1），设平面PBQ的法向量=（x，y，z），则，取x=2，得=（2，1，2），设=，则=（1+）=（0，2，2），=，CE平面PBQ，与平面PBQ的法向量=（2，1，2）垂直，=4+=0，解得，E（0，）， =（0，2，1），设平面BEQ的法向量=（a，b，c），则，取b=1，得=（1，1，2），设二面角EBQP的平面角为，cos=|=|=二面角EBQP的余弦值为21如图，已知点A（1，0）是抛物线的准线与x轴的交点，M，N两点在抛物线上且直线MN过A点，过M点及B（1，1）的直线交抛物线于Q点（1）求抛物线的方程；（2）求证：直线QN过一定点，并求出该点坐标【考点】抛物线的简单性质【分析】（1）由题意，抛物线的准线方程为x=1，即可求出抛物线的方程；（2）设AM的方程为y=k（x+1），代入抛物线的方程，可得ky24y+4k=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），Q（x3，y3），则y1y2=4，直线MB的方程为y+1=（x1），可得y2y3+4（y2+y3）+4=0，直线QN的方程为yy2=（xx2），可得y2y3y（y2+y3）+4x=0，即可得出直线QN过定点【解答】（1）解：由题意，抛物线的准线方程为x=1，抛物线的方程为y2=4x；（2）证明：设AM的方程为y=k（x+1），代入抛物线的方程，可得ky24y+4k=0设M（x1，y1），N（x2，y2），Q（x3，y3），则y1y2=4，由kMQ=，直线MB的方程为y+1=（x1），y1+1=（x11），可得y1=，=，y2y3+4（y2+y3）+4=0直线QN的方程为yy2=（xx2）可得y2y3y（y2+y3）+4x=0，x=1，y=4，直线QN过定点（1，4）22已知函数f（x）=xlnx（1）不等式f（x）kx对于任意正实数x均成立，求实数k的取值范围；