高中数学椭圆的几何性质.doc

一. 教学内容： 椭圆的几何性质二. 教学目标：通过椭圆标准方程的讨论，使学生掌握椭圆的几何性质，能正确地画出椭圆的图形，并了解椭圆的一些实际应用通过对椭圆的几何性质的教学，培养学生分析问题和解决实际问题的能力使学生掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解，这样才能解决随之而来的一些问题，如弦、最值问题等三. 重点、难点：重点：椭圆的几何性质及初步运用难点：椭圆离心率的概念的理解四. 知识梳理1、几何性质（1）范围，即|x|a，|y|b，这说明椭圆在直线xa和直线yb所围成的矩形里注意结合图形讲解，并指出描点画图时，就不能取范围以外的点（2）对称性把x换成x，或把y换成y，或把x、y同时换成x、y时，方程都不变，所以图形关于y轴、x轴或原点对称（3）顶点在中，须令x0，得yb，点B1（0，b）、B2（0，b）是椭圆和y轴的两个交点；令y0，得xa，点A1（a，0）、A2（a，0）是椭圆和x轴的两个交点椭圆有四个顶点A1（a，0）、A2（a，0）、B1（0，b）、B2（0，b）线段A1A2、线段B1B2分别叫椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b；a、b的几何意义：a是长半轴的长，b是短半轴的长；（4）离心率教师直接给出椭圆的离心率的定义：椭圆的焦距与长轴的比椭圆的离心率e的取值范围：ac0， 0e1当e接近1时，c越接近a，从而b越接近0，因此椭圆越扁；当e接近0时，c越接近0，从而b越接近a，因此椭圆接近圆；当e0时，c0，ab两焦点重合，椭圆的标准方程成为x2y2a2，图形就是圆了2、性质归纳为如下表：标准方程图像范围，对称性关于x轴、y轴均对称，关于原点中心对称顶点坐标长轴端点A1（a，0），A2（a，0）；短轴端点B1（0，b），B2（0，b）长轴端点A1（0，a），A2（0，a）；短轴端点B1（b，0），B2（b，0）焦点坐标F1（c，0），F2（c，0）F1（0，c），F2（0，c）半轴长长半轴长：a，短半轴长：b焦距2ca，b，c关系离心率【典型例题】例1. 求椭圆16x225y2400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形 解：（1）列表。将，根据在第一象限的范围内算出几个点的坐标（x，y）（2）描点作图先描点画出椭圆在第一象限内的图形，再利用椭圆的对称性就可以画出整个椭圆例2. 若椭圆的离心率为e，求实数k的值。解：当焦点在x轴上时，有得k8.当焦点在y轴上时，有得k.所求的k8或。例3. 若椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上点的距离的最小值为，求椭圆的方程。解：所求的椭圆方程为例4. 椭圆（ab0）上一点M与两焦点F1，F2所成的角F1MF2，求证F1MF2的面积为b2tan.解：设M F1m，M F2n，则mn2a，且4c2m2n22mncos（mn）22mn（1cos）4b22mn（1cos）例5. 如图，椭圆的长短轴端点为A，B，过中心O作AB的平行线，交椭圆上半部分于点P，过P作x轴的垂线恰过左焦点F1，过F1再作AB的平行线交椭圆于C，D两点，求椭圆的方程。解：设所求的椭圆方程为（ab0）则P（c，），又ABOP直线CD的方程为y（xc），将其代入椭圆方程化简得，2x22cxc20所求的椭圆方程为【模拟试题】（答题时间60分钟，满分100分）一、选择题（5分840分）1、已知椭圆上一点P到椭圆一个焦点的距离是3，则P点到另一个焦点的距离为： （ ） A、2 B、3 C、5 D、72、椭圆的一个焦点与两个顶点为等边三角形的三个顶点，则椭圆的长轴长是短轴长的（ ）A、倍 B、2倍 C、倍 D、倍3、椭圆的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是：（ ） A、 B、 C、 D、4、以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，则椭圆的离心率为 （ ） A、 B、 C、 D、5、椭圆（ab0）的半焦距为c，若直线y2x与椭圆的一个交点的横坐标恰好为c，则椭圆的离心率为（ ）A、 B、 C、 D、6、若以椭圆上的一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则此椭圆长轴的长的最小值为（）A、1 B、 C、2 D、27、椭圆的两个焦点分别为F1、F2，以F2为圆心且过椭圆中心的圆与椭圆的一个交点为M，已知直线F1M与圆F2相切，则离心率为（）A、 B、 C、 D、8、设椭圆（ab0）的两个焦点分别为F1、F2，P是椭圆上一点，若PF1PF2，则PF1PF2等于（）A、 B、2 C、 D、2二、填空题（5分420分）9、平面上点P到两个定点A、B的距离之和等于|AB|，则P点轨迹是 。10、已知对称轴为坐标轴，长轴长为6，离心率为的椭圆方程为 。11、椭圆的离心率为，则实数m的值为 。12、若M为椭圆上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且MF1F22MF2F12（0），则椭圆的离心率是 。三、解答题（共40分）13、（满分8分）已知椭圆的焦点在轴上，焦距是4，且经过，求此椭圆的方程。14、（满分10分）若点在椭圆上，分别是椭圆的两个焦点，且，求的面积。15、（满分10分）已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆左顶点A，上顶点B，左焦点F1到直线AB的距离为|OB|，求椭圆的离心率。16、（满分12分）已知F1（3，0），F2（3，0）分别是椭圆的左、右焦点，P是该椭圆上的点，满足PF2F1F2，F1PF2的平分线交F1F2于M（1，0），求椭圆方程。【试题答案】一、选择题题号12345678答案DBABDDCB二、填空题9、线段AB 10、11、m3或m12、三、解答题13、解：因为焦距为4，所以即3设椭圆方程为因为在椭圆