北师大版1.5平方差公式（一）.doc

第一章整式的乘除5 平方差公式（第1课时）广东省五华县五华中学 曾德强一、教材分析： 平方差公式是北京师范大学出版社义务教育教科书七年级下册，第一章第5节的内容。根据九年义务教育数学课程标准中明确指出：“数学教学是数学活动的教学，学生是数学学习的主人。教师的职责在于向学生提供从事数学活动的机会，在活动中激发学生的学习潜能，引导学生积极自主探索、合作交流与实践创新。” 平方差公式是特殊的乘法公式，它既是前面知识“多项式乘多项式”的应用，也是后继知识如因式分解，分式化简等的基础，对整个教科书也起到了承上启下的作用，在初中阶段占有很重要的地位。二、学情分析 学生已经学过“有理数及运算”“字母表示数”“合并同类项”“去括号”“整式乘法”等内容，经历了实际问题符号化的过程，具有一定的符号感.平方差公式是在学生已经掌握了多项式乘法之后，自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法，让学生经历从一般到特殊的过程.对它的学习和研究，不仅给出了特殊的多项式乘法的简便运算，而且为后续的因式分解、分式运算、解一元二次方程等内容奠定了基础，同时也为完全平方公式的学习提供了方法.基于此教材提出了本节课的具体学习任务：经历探索平方差公式的过程，了解公式的几何背景，并能运用平方差公式，进行简单的计算，以及实际问题的解决.三、教学目标 1.知识与技能：经历探索平方差公式的过程，会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的计算，进一步发展符号感和推理能力. 2.过程与方法：通过创设问题情境，让学生在数学活动中建立平方差公式模型，感受数学公式的意义和作用.在平方差公式的推导过程中，培养学生观察、发现、归纳、概括、猜想能力和有条理的表达能力. 3.情感与态度：在探究学习中体会数学的现实意义，培养学习数学的信心.四、重点、难点 重点：让学生了解平方差公式结构的特点，进一步加深对平方差公式的理解； 难点：学生能辨别出平方差公式，并掌握平方差公式的应用。五、教学过程设计 基于对教材以及教学任务的分析，本节课设计了六个教学环节：复习旧知、引入新课；探究规律、发现结论；典例分析、巩固提高；观察思考、拓展延伸；当堂达标、自我检测；课堂小结、布置作业. 第一环节 复习旧知、引入新课 活动内容：回顾整式乘法中多项式与多项式相乘1、多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.符号表示：（m+b)(n+a)= mn+ma+bn+ba2、两项式乘以两项式，结果可能是两项吗？请你举例说明 活动目的：平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式，它的得出可以直接利用多项式乘以多项式法则，设计这一环节的目的，是在复习上节课知识的基础上，为本节课的学习做好知识准备. 实际教学效果：在复习过程中，学生从知识和心理等方面，做好探究新知识的准备，从而为本节课平方差的探究学习奠定了基础.第2题是上节课的预习作业的一部分，可以让学生将举的例子写在黑板上，与下一环节结合使用. 第二环节 探究规律、发现结论 活动内容： 1.提出问题 计算下列各题(1) (x+2)(x-2)； (2) (1+3a)(1-3a)； (3) (x+5y)(x-5y)； (4) (-m+n)(-m-n).观察以上算式及其运算结果，你有什么发现？ 活动目的：在上一环节的基础上，引入形式特殊的多项式乘以多项式，使学生在计算过程中发现规律，体会规律的一般性，提出自己的猜想，并尝试用数学语言进行描述. 实际教学效果：问题提出后，学生能够主动地去寻找解决问题的方法.利用多项式与多项式的乘法法则展开后，中间两项是同类项，且系数互为相反数，所以和为零，只剩下这两个数的平方差了.观察学生所列的以及这四个算式的特征，初步得到猜想，总结规律.活动内容： 2.验证猜想类比活动一中归纳的规律，学生自己再举一些类似的多项式相乘的情形，并计算验证自己的猜想. 活动目的：在“活动1”中，学生通过计算能够初步感受结果的“平方差”形式，但仅仅这样就总结、得到结论，部分学生难免心存疑惑，因此让学生再次举例验证.学生经过思考、讨论、交流，进一步熟悉平方差公式的本质特征，掌握运用平方差公式必须具备的条件.这样就让学生经历从特殊到一般的探究结论的过程，从而验证猜想，得到规律. 实际教学效果：预习作业中学生举例主要是从结果为两项的角度出发，这里的举例学生需要同时考虑公式两边的特征.在这一活动中让学生充分经历“观察猜想验证”的过程，学生举的例子可能涉及以下形式：1、 （x+y）（xy）2、 （ab+c）（abc）3、 教师安排学生合作学习，分组验证，经历平方差公式推导归纳的过程，从而突出了本节课的重点，得到平方差公式： (a+b)(ab)a2b2两数和与两数差的积，等于它们的平方差.第三环节 典例分析、巩固提高活动内容：巩固练习 判断下面计算是否正确 （1）= （ ） （2）（3xy）（3x+y）=9x2y2 （ ） （3）（m+n）（mn）=m2n2 （ ）活动目的：通过判断题的设计，让学生进一步加深对平方差公式形式的理解.实际教学效果：学生在平方差公式的基础上，结合判断题的题样，重新审视平方差公式，进一步理解如何确定平方差公式中的a和b. 活动内容：（1）直接运用新知，解决第一层次问题。例1计算：(1)(2x +3 ) (2x3) (2)(2 a +3b ) (2 a3b) (3)(-1+2a)(-1-2a)（2）间接运用新知，解决第二层次问题。例2计算：(1)(2x +3 ) (3+2x) (2)(3b+2a) (2 a3 b) 例3计算：(-4a-1)(-4a+1) 活动目的：教学不仅使学生掌握在日常生活和进一步学习所必需的最基础的数学知识和基本技能，还要在学生获取知识和技能的同时，激发学习数学的兴趣，养成良好的学习习惯，并使智力得到发展，能力得到培养。但是，知识的掌握，技能的形成，智力的开发，能力的培养，以及良好学风的养成，必须通过一定量的练习才能实现。练习的设计要遵循：由易到难，由简到繁，由基本到变式，由低级到高级的发展顺序；要从数量和质量这两个方面去考虑，尽力做到在有限的时间里，取得最佳的练习效果，这是我们优化课堂教学始终要追求的一个目标。 实际教学效果：例1教学中教师引导学生分析题目条件是否符合平方差公式特征，并让学生说出本题中a，b分别表示什么；例2教学中教师引导学生发现，需将其中一个括号中的两项交换位置，就可用平方差公式进行计算；例3教学中让学生在练习本上计算，教师巡视学生解题情况，让采用不同解法的两个学生进行板演 解法1：(-4a-1)(-4a+1)-(4a+1)- (4a-1)(4a+1)(4a-1)(4a)2-1216a2-1解法2：(-4a-1)(-4a+1) (-4a)2-12 16a2-1根据学生板演，教师指出两种解法都很正确，解法1先用了提出负号的办法，使两乘式首项变成正的，而后看出两数的和与这两数的差相乘的形式，应用平方差公式，写出结果；解法2把-4a看成一个数，把1看成另一个数，直接写出(-4a)2-12后得出结果。采用解法2的同学比较注意平方差公式的特征，能看到问题的本质，运算简捷。第四环节 观察思考、拓展延伸活动内容：例4计算：(1)(xyz)(xyz)；(2)(abc)(abc)活动目的：让学生认识到平方差公式中的a、b可以是单项式，也可以是多项式，在平方时，应把单项式或多项式加括号；学会灵活运用平方差公式。实际教学效果：(1)题中可利用整体思想，把xy看作一个整体，则此题中相同项是(xy)，相反项是z和z；(2)题中的每个因式都可利用加法交换律写成(acb)(acb)的形式，则(ac)是相同项，相反项是b和b第五环节 当堂达标、自我检测活动内容：练习11(+) (-) = _2(+3) (-3) = ( ) 2( )= _3(+) (-) = ( ) 2( )= _4(-) (1+)=( ) 2( ) = _5 (2a+5b) (2a-5b) = ( ) 2( ) = _6 (-2b-5) (-2b+5) = ( ) 2( ) = _7 (-1+4x) (-1-4x) = ( ) 2( ) = _练习2 下列式子可用平方差公式计算吗? 为什么? 如果能够，怎样计算? (1) (a+b)(-ab) ； (2) (ab)(ba) ;(3) (a+2b)(2b+a); (4) -(ab)(a+b) ;(5) (-2x+y)(y2x). 练习3 提高题（1）（m+2）(m-2)(m2+4) （2）（a+b+2）(a+b-2)活动目的：由于初学公式等原因出错是正常现象，但在问题讨论，引导发现，巩固训练的过程中，学生与学生积极交流，讨论、思维活跃，师生的信息交流畅通，反馈评价及时，实际教学效果：通过练习学生学会如何正确应用平方差公式但还要特别要求学生注意公式的结构，教师可以用对应思想来加强对公式结构的理解和训练，如计算(1+2x)(1-2x)，(1+2x)(1-2x) 12-(2x)21-4x2 (a+b)(a-b) a2-b2 这样，学生就能正确应用公式进行计算，不容易出差错另外，在计算中不一定用一种模式刻板地应用公式，可以结合以前学过的运算法则，经过变形后灵活应用公式，培养学生解题的灵活性 第六环节 课堂小结、布置作业 活动内容： 1.平方差公式：（a+b）（ab）=a2b2 公式的结构特点：左边是两个二项式的乘积，即两数和与这两数差的积； 右边是两数的平方差.2 应用平方差公式的注意事项： 1）注意平方差公式的适用范围 2）字母a、b可以是数，也可以是整式 3）注意计算过程中的符号和括号活动目的：通过课堂小结对课堂知识点的回顾，让学生分享自己在学习过程中，遇到的挫折以及积累的经验，提出自己存在的困惑，大家一起解决，从而达到巩固所学知识目的. 布置作业 1. 必做题：教材习题1.9 2. 选做题：你能用图形来验证平方差公式吗？ 六、教学设计反思 平方差公式是特殊形式的多项式与多项式相乘的一种简便计算，它在代数运算和恒等变形中有广泛地应用.运用平方差公式计算一定要看是否符合公式的特征：(ab)(a+b)=a2b2，公式中的字母a，b不仅可以代表具体的数字，字母 ，单项式，也可以代表多项式.引导学生经历探索平方差公式的过程，指导学生发现公式的特点：1、 左边为两数的和乘以两数的差，即在左边是两个二项式的积，在这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，右边为这两个数的平方差.2、 公式中的a,b不仅可以表示具体的数字，还可以是单项式，多项式等代数式. 提醒学生利用平方公式计算，首先观察是否符合公式的特