2021高考数学一轮复习 课后限时集训42 空间图形的基本关系与公理 文 北师大版.doc

课后限时集训42空间图形的基本关系与公理建议用时：45分钟一、选择题1下列命题中，真命题的个数为()如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点，那么这两个平面重合； 两条直线可以确定一个平面；空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内；若m，m，l，则ml.a1b2c3d4b根据公理2，可判断是真命题；两条异面直线不能确定一个平面，故是假命题；在空间，相交于同一点的三条直线不一定共面(如墙角)，故是假命题；根据平面的性质可知是真命题综上，真命题的个数为2.2在正方体abcda1b1c1d1中，e，f分别是线段bc，cd1的中点，则直线a1b与直线ef的位置关系是()a相交b异面c平行d垂直a由bcad，ada1d1知，bca1d1，从而四边形a1bcd1是平行四边形，所以a1bcd1，又ef平面a1bcd1，efd1cf，则a1b与ef相交3a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是()a若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面b若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交c若ab，则a，b与c所成的角相等d若ab，bc，则acc对于a，b，d，a与c可能相交、平行或异面，因此a，b，d不正确，根据异面直线所成角的定义知c正确4在空间四边形abcd各边ab，bc，cd，da上分别取e，f，g，h四点，如果ef，gh相交于点p，那么()a点p必在直线ac上b点p必在直线bd上c点p必在平面dbc内d点p必在平面abc外a如图，因为ef平面abc，而gh平面adc，且ef和gh相交于点p，所以点p在两平面的交线上，因为ac是两平面的交线，所以点p必在直线ac上5如图所示，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱abcda1b1c1d1中，aa12ab2，则异面直线a1b与ad1所成角的余弦值为()a.b.c.d.d连接bc1，易证bc1ad1，则a1bc1即为异面直线a1b与ad1所成的角连接a1c1，由ab1，aa12，则a1c1，a1bbc1，在a1bc1中，由余弦定理得cosa1bc1.二、填空题6已知ae是长方体abcdefgh的一条棱，则在这个长方体的十二条棱中，与ae异面且垂直的棱共有_条4作出长方体abcdefgh.在这个长方体的十二条棱中，与ae异面且垂直的棱有：gh、gf、bc、cd.共4条7已知在四面体abcd中，e，f分别是ac，bd的中点若ab2，cd4，efab，则ef与cd所成角的度数为_30如图，设g为ad的中点，连接gf，ge，则gf，ge分别为abd，acd的中位线由此可得gfab，且gfab1，gecd，且gecd2，feg或其补角即为ef与cd所成的角又efab，gfab，efgf.因此，在rtefg中，gf1，ge2，singef，可得gef30，ef与cd所成角的度数为30.8如图是正四面体的平面展开图，g，h，m，n分别为de，be，ef，ec的中点，在这个正四面体中，gh与ef平行；bd与mn为异面直线；gh与mn成60角；de与mn垂直以上四个命题中，正确命题的序号是_如图，把平面展开图还原成正四面体，知gh与ef为异面直线，bd与mn为异面直线，gh与mn成60角，de与mn垂直，故正确三、解答题9已知空间四边形abcd(如图所示)，e，f分别是ab，ad的中点，g，h分别是bc，cd上的点，且cgbc，chdc.求证：(1)e，f，g，h四点共面；(2)三直线fh，eg，ac共点证明(1)连接ef，gh，因为e，f分别是ab，ad的中点，所以efbd.又因为cgbc，chdc，所以ghbd，所以efgh，所以e，f，g，h四点共面(2)易知fh与直线ac不平行，但共面，所以设fhacm，所以m平面efhg，m平面abc.又因为平面efhg平面abceg，所以meg，所以fh，eg，ac共点10如图所示，在三棱锥pabc中，pa底面abc，d是pc的中点已知bac，ab2，ac2，pa2.求：(1)三棱锥pabc的体积；(2)异面直线bc与ad所成角的余弦值解(1)sabc222，三棱锥pabc的体积为vsabcpa22.(2)如图，取pb的中点e，连接de，ae，则edbc，所以ade是异面直线bc与ad所成的角(或其补角)在ade中，de2，ae，ad2，cosade.故异面直线bc与ad所成角的余弦值为.1在正三棱柱abca1b1c1中，abbb1，则ab1与bc1所成角的大小为()a30b60c75d90d将正三棱柱abca1b1c1补为四棱柱abcda1b1c1d1，连接c1d，bd，则c1db1a，bc1d为所求角或其补角设bb1，则bccd2，bcd120，bd2，又因为bc1c1d，所以bc1d90.2在正方体abcda1b1c1d1中，m，n分别为棱cc1，a1d1的中点，则异面直线a1b与mn所成的角为()a30b45 c60d90a如图，取c1d1的中点p，连接pm，pn，cd1.因为m为棱cc1的中点，p为c1d1的中点，所以pmcd1，所以pma1b，则pmn是异面直线a1b与mn所成角的平面角设ab2，在pmn中，pmpn，mn，则cospmn，即pmn30.故选a.3.如图所示，在四面体abcd中作截面pqr，若pq与cb的延长线交于点m，rq与db的延长线交于点n，rp与dc的延长线交于点k.给出以下命题：直线mn平面pqr；点k在直线mn上；m，n，k，a四点共面其中正确结论的序号为_由题意知，mpq，nrq，krp，从而点m，n，k平面pqr.所以直线mn平面pqr，故正确同理可得点m，n，k平面bcd.从而点m，n，k在平面pqr与平面bcd的交线上，即点k在直线mn上，故正确因为a直线mn，从而点m，n，k，a四点共面，故正确4如图，在四棱锥oabcd中，底面abcd是边长为2的正方形，oa底面abcd，oa2，m为oa的中点(1)求四棱锥oabcd的体积；(2)求异面直线oc与md所成角的正切值解(1)由已知可求得正方形abcd的面积s4，所以四棱锥oabcd的体积v42.(2)如图，连接ac，设线段ac的中点为e，连接me，de，又m为oa中点，meoc，则emd(或其补角)为异面直线oc与md所成的角，由已知可得de，em，md，()2()2()2，即de2em2md2，dem为直角三角形，且dem90，tanemd.异面直线oc与md所成角的正切值为.5如图，平面abef平面abcd，四边形abef与四边形abcd都是直角梯形，badfab90，bcad，befa，g，h分别为fa，fd的中点(1)求证：四边形bchg是平行四边形；(2)c，d，f，e四点是否共面？为什么？解(1)证明：由题设知，fgga，fhhd，所以ghad.又bcad，故ghbc.所以四边形bchg是平行四边形(2)c，d，f，e四点共面理由如下：由befa，g是fa的中点知，begf，所以efbg.由(1)知bgch，所以efch，故ec，fh共面又点d在直线fh上，所以c，d，f，e四点共面1平面过正方体abcda1b1c1d1的顶点a，平面cb1d1，平面abcdm，平面abb1a1n，则m，n所成角的正弦值为()a.b.c.d.a根据平面与平面平行的性质，将m，n所成的角转化为平面cb1d1与平面abcd的交线及平面cb1d1与平面abb1a1的交线所成的角设平面cb1d1平面abcdm1.平面平面cb1d1，m1m.又平面abcd平面a1b1c1d1，且平面cb1d1平面a1b1c1d1b1d1，b1d1m1.b1d1m.平面abb1a1平面dcc1d1，且平面cb1d1平面dcc1d1cd1，同理可证cd1n.因此直线m与n所成的角即直线b1d1与cd1所成的角在正方体abcda1b1c1d1中，cb1d1是正三角形，故直线b1d1与cd1所成角为60，其正弦值为.2在长方体abcda1b1c1d1中，abbc1，aa1，则异面直线ad1与db1所成角的余弦值为()a.b.c.d.c如图