历年大一期中、期末考试试卷.doc

20062007学年第一学期高等数学期中考试试卷 专业班级 姓 名 学 号 开课系室 数学学院基础数学系 考试日期 2006.11 题 号一二三四总分得 分一、选择题(45=20分)1当时，都是无穷小，则当时，下列表示式哪一个不一定是无穷小（ ） 2设，间断点的类型为（ ） (A)可去间断点 (B)跳跃间断点 (C)无穷间断点 (D)振荡间断点3( ) (A)2 (B)2 (C) (D)不存在4设可导，要使在处可导，则必有（ ） (A) (B) (C) (D) 5设，则（ ） (A) 在处间断 (B) 在处连续但不可导 (C) 在处可导，但导数在处不连续 (D) 在处有连续导数二、填空题(45=20分)1 2当x0时，无穷小量1-cosx与mxn等价(其中m,n为常数)，则m= 3设， 4函数的一个可去间断点是x 5设确定了函数， 三、计算下列各题1 求极限(10分，每题5分)(1)(2) 2 (10分)已知，试讨论函数的单调区间，极值，凹凸性，拐点，渐近线3 (10分)设函数在处有二阶导数，确定参数的值4 (6分)设为连续函数，且，求曲线在处的切线方程。 5 (6分)将在处展开到含项，并计算6 (6分)证明不等式7 (6分)设由方程所确定,求四、(6分)设函数在0,1上连续，且在0,1上不恒等于零，在(0,1)内可导，证明：存在，使得. 卷20062007学年第一学期本科高等数学(上)期末考试试卷 专业班级 姓 名 学 号 开课系室 考试日期 页 号一二三四五六总分得 分阅卷人说明：1.本试卷正文共6页。2.封面及题目所在页背面及附页为草稿纸。3.答案必须写在该题后的横线上，解题过程写在下方空白处，不得写在草稿纸中，否则答案无效。一、填空题 (本题共10小题，每小题2分，共20分.)1. 设, 则 . 2. 设函数连续，则 ， .3极限 .4设 ,且在连续,则= .5设方程确定函数, 则= .6设, 则= .7抛物线在其顶点处的曲率为 .8设可导，则 .9 . 10微分方程的通解是 .二、单项选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分。每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.）1. “数列极限存在”是“数列有界”的（ ）(A) 充分必要条件； (B) 充分但非必要条件；(C) 必要但非充分条件； (D)既非充分条件，也非必要条件.2极限（ ）(A) 2; (B) 3; (C) ; (D) 5; 3设常数，则函数 在内零点的个数为（ ）(A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个. 4设, 则是的( ).(A) 连续点; (B) 可去间断点; (C) 跳跃间断点; (D) 无穷间断点. 5设函数二阶可导，且，令，当时，则( ). (A) (B) (C) (D) 6若，在内，则在内( ). (A) (B) (C) (D) 7设在处二阶可导, 且,则( ).(A) 是的极大值点; (B) 是的极小值点; (C) 是曲线的拐点; (D) 以上都不是. 8下列等式中正确的结果是 ( ).(A) (B) (C) (D) 9下列广义积分收敛的是( ).(A) (B) (C) (D) 10设在的某个领域内有定义，则在处可导的一个充分条件是 ( ).(A) (B)(C) (D)三、计算题：（本题共3小题，每小题5分，共15分。）1. 求不定积分2. 计算定积分3求微分方程的通解. 四解答题：（本题共6小题，共37分。）1（本题5分）求摆线在处的切线的方程.2.（本题6分）求曲线的渐进线.3（本题6分）求由曲线及直线,所围成图形面积。4（本题6分）证明：对任意实数，恒有5.（本题6分）设有盛满水的圆柱形蓄水池,深15米,半径20米,现将池水全部抽出,问需作多少功?6.（本题8分）设对任意实数五（本题8分）设函数在闭区间0,2上连续，在开区间（0,2）内可导，且满足条件,证明：20062007学年第二学期本科高等数学(下)期中试卷 专业班级 姓 名 学 号 开课系室 考试日期 2007.4.29 页 号一二三四五总分得 分阅卷人说明：1.本试卷正文共5页。2.封面及题目所在页背面及附页为草稿纸。3.答案必须写在该题后的横线上，解题过程写在下方空白处，不得写在草稿纸中，否则答案无效。一、填空题(每小题5分, 共40分)1设向量则= _. 2已知向量，向量与三个坐标轴正向构成相等的锐角，则 在轴上的投影等于_. 3已知空间三角形三顶点则的面积等于_; 过三点的平面方程是:_. 4直线.在平面内的投影直线方程是：_.5. 由曲线 绕轴旋转一周所得旋转曲面在点处指向外侧的单位法向量是_.6设，则=_. 7. 设函数可微,且, 则在点(1,2)处的全微分=_. 8. 曲面 平行于平面 的切平面方程.是：_.二、(7分) 设平面区域D由和所围成，若二重积分 ，则常数_. 解题过程是：三、(8分) 设是连续函数，在直角坐标系下将二次积分交换积分次序，应是_. 解题过程是：四、(7分) 设函数，若单位向量，则方向导数等于_；该函数在点(1,2,3)的梯度是_；该函数在点(1,2,3)处方向导数的最大值等于_.解题过程是：五、(8分)设函数在内具有二阶导数，且满足等式.（I）验证；（II）若，求函数的表达式. 解题过程是： 六、(7分) 设区域， 计算二重积分解题过程是： 七、(8分) 设空间区域，是由曲线绕oz 轴旋转一周而成的曲面与平面所围成的区域，计算三重积分.解题过程是： 八、(8分) 做一个长方体的箱子，其容积为 m3, 箱子的盖及侧面的造价为8元/m2, 箱子的底造价为1元/m2, 试求造价最低的箱子的长宽高（取米为长度单位）.解题过程是：九、(7分) 设函数在点(0,0)的某个邻域内连续，且，试问点(0,0)是不是的极值点？证明你的结论.解题过程是：A卷20062007学年第二学期本科高等数学(下)期末考试试卷 专业班级 姓 名 学 号 开课系室 数学学院基础数学系 考试日期 2007年7月 2 日 页 号一二三四五总分得 分阅卷人说明：1.本试卷正文共5页。2.封面及题目所在页背面及附页为草稿纸。3.答案必须写在该题后的横线上，解题过程写在下方空白处，不得写在草稿纸中，否则答案无效。一、 选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）.1设三向量满足关系式，则（ ）. （A）必有; （B）必有;（C）当时，必有; （D）必有.2. 已知，且，则（ ）.（A）2 ; （B）; （C）; （D）1 .3. 设曲面，是在第一卦限中的部分，则有（ ）.（A）; （B）;（C）; （D）.4. 曲面在点处的切平面方程是：（ ）.（A）; （B）;（C）; （D）.5. 判别级数的敛散性，正确结果是：（ ）.（A）条件收敛; （B）发散；（C）绝对收敛; （D）可能收敛，也可能发散.6. 平面的位置是（ ）.（A）平行于XOY平面; （B）平行于Z轴，但不通过Z轴;（C）垂直于Z轴 ; （D）通过Z轴 .二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分）.1. 已知，则.2. 函数在点处沿向量的方向导数是_，函数在点处的方向导数取最大值的方向是_，该点处方向导数的最大值是_.3. 已知曲线，则.4. 设函数展开傅立叶级数为：，则.三、解答下列各题（本题共7小题，每小题7分，满分49分）.1. 求幂级数收敛域及其和函数.解题过程是：2. 计算二重积分.解题过程是：3. 已知函数的全微分，并且. 求在椭圆域上的最大值和最小值.解题过程是：4. 设是由，所围成的有界闭区域，计算三重积分.解题过程是：5. 设为从点沿曲线到点一段曲线，计算.解题过程是：6. 设是上半球面的下侧，计算曲面积分.解题过程是：7. 将函数 展开成关于的幂级数 .解题过程是：四、证明题（7分）.证明不等式: ，其中是正方形区域：.卷20072008学年第一学期高等数学期中考试试卷 专业班级 姓 名 学 号 开课系室 数学学院基础数学系 考试日期 2007年11月10日 题 号一二三四五六总分得 分阅卷人备注：1. 本试卷正文共6页。 2封面及题目所在页背面和附页为草稿纸。 3答案必须写在该题后的横线上或指定的括号内，解的过程写在下方空白处，不得写在草稿纸中，否则答案无效。一、填空题(共5小题,每小题4分,共20分)1函数y=x-x的最小正周期是 。2 。34的间断点是 ，且是 类间断点。5二、选择题(共5小题,每小题4分,共20分)1 下列说法错误的是 D.2 A 0 , B. 3. B. D. 4 5. 三、解答题(本题共8小题,每题5分，共40分)1求极限2. 求极限3.4.5.6.7.8，求四(6)五(7)有且仅有一个实根.六(7)设,证明必存在，使得卷20072008学年第一学期高等数学（上）期末考试试卷 专业班级 姓 名 学 号 开课系室 数学学院基础数学系 考试日期 2008年1月7日 页 码一二三四五六总分得 分阅卷人说明：1本试卷正文共6页。 2 封面及题目所在页背面及附页为草稿纸。 3 答案必须写在题后的横线上，计算题解题过程写在题下空白处，写在草稿纸上无效。 一、填空题(本题共6小题，每小题3分，共18分).1. = .2. 设函数，其中在内可导，则= .3. 设，则=_.4. =_. 5. = _.6. 微分方程 的通解是 .二、选择题 (本题共4小题，每小题3分，共12分).1设为可导的奇函数，且，则（ ）. (A) ； (B) ； (C) ； (D) . 2. 设函数在点的某邻域有定义，则在点处可导的充要条件是（ ）.（A）； （B）；（C）； （D）函数在点处连续. 3. 下图中三条曲线给出了三个函数的图形，一条是汽车的位移函数，一条是汽车的速度函数，一条是汽车的加速度函数，则（ ）.abctyO（A） 曲线是的图形，曲线是的图形，曲线是的图形； （B） 曲线是的图形，曲线是的图形，曲线是的图形；（C） 曲线是的图形，曲线是的图形，曲线是的图形；（D） 曲线是的图形，曲线是的图形，曲线是的图形. 4. 设是内的可导函数，、是内任意两点，则( ).（A），其中为内任意一点；（B）至少存在一点，使；（C）恰有一点，使;（D）至少存在一点，使.三、计算题（本题共4小题，每小题6分，共24分）. 2. 求极限 .3. 求定积分 .4. 求广义积分 .四、解答题（本题共4小题，每小题6分，共24分）.1. 设函数是由方程 所确定的函数，求.2设函数，求的原函数.3求微分方程的通解4判断曲线的凸性与拐点.五、应用题（本题共3小题，每小题6分，共18分）.1.曲线，及轴围成一平面图形,求此平面图形绕轴旋转而成的立体的体积.2.求曲线位于第一象限部分的一条切线，使该切线与曲线以及两坐标轴所围图形的面积最小.3有一半径为的半圆形薄板，垂直地沉入水中，直径在上，且水平置于距水面的地方，求薄板一侧所受的水压力.六、证明题（本题4分）.证明方程在内必有唯一实根，并求.20072008学年第二学期本科高等数学(下)期中考试试卷 专业班级 姓 名 学 号 开课系室 考试日期 2008.4.26 页 号一二三四五六总分得 分阅卷人说明：1.本试卷正文共6页。2.封面及题目所在页背面及附页为草稿纸。3.答案必须写在该题后的横线上，解题过程写在下方空白处，不得写在草稿纸中，否则答案无效。一 填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分）1 向量在向量上的投影= .2 函数在点处的梯度_.3 曲面上点处的切平面方程为 .4 函数在点的全微分 .5 函数有连续的二阶偏导数，则 .二、选择题(本题共4小题，每小题4分，满分16分).1直线与平面的位置关系是（ ）（A）平行,但直线不在平面上； （B） 直线在平面上；（C） 垂直相交； （D） 相交但不垂直.2函数处偏导数存在是在该点可微的( ) (A) 充分非必要条件； (B) 必要非充分条件 ； (C) 充要条件； (D) 非充分非必要条件.3.设有两平面区域，则以下结论正确的是( ) （A）； （B）；（C）； （D）4. 若函数处不可微，则函数处是( )(A) 沿任何方向的方向导数不存在； (B)两个偏导数都不存在； (C) 不能取得极值； (D) 有可能取得极值.三、画图题（本题共2小题，每小题3分，满分6分） 1写出函数的定义域，并画出定义域的图形. 2画出由平面及曲面所围空间立体的图形.四、解答题（本题共7小题，每小题7分，满分49分）1.设是由方程所确定的隐函数，其中可微，求 . 解： 2 .考察函数在点 (0,0)的连续性和可微性. 解：3在曲面上求一点，使在该点处的法线与平面垂直，并写出该法线方程.解：4抛物面被平面截成一个椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离.解：5.计算.解： 6.计算二重积分，其中D是由直线围成的平面区域.解： 7计算由球面，柱面所围立体的体积.解：五、证明题(9分)试证明：卷20072008学年第二学期本科高等数学(下)期末考试试卷（理工类） 专业班级 姓 名 学 号 开课系室 基 础 数学 系 考试日期 2008年6月23日 页 码一二三四五六总分得 分阅卷人说明：1本试卷正文共6页。 2 封面及题目所在页背面及附页为草稿纸。 3 答案必须写在题后的横线上，计算题解题过程写在题下空白处，写在草稿纸上无效。一、填空题：16小题，每小题4分，共24分. 请将答案写在指定位置上.1. 平面与平面的夹角为 .2. 函数在点处沿从点到点的方向的方向导数为 . 3. 设是有界闭区域上的连续函数，则当时， .4. 区域由圆锥面及平面围成，则将三重积分在柱面坐标系下化为三次积分为 .5. 设为由曲线上相应于从到的有向曲线弧，是定义在上的连续三元函数，则对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分有：_.6. 将函数展开成余弦级数为_ .二、单项选择题：712小题，每小题3分，共18分。下列每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将所选项前的字母填在题后的括号内.7. 若有连续的二阶偏导数，且(常数)，则（ ）(A) ； (B) ； (C) ； (D) .8. 设是连续的奇函数，是连续的偶函数，区域，则下列结论正确的是（ ）(A) ； (B) ；(C) ； (D) .9. 已知空间三角形三顶点，则的面积为（ ）(A) ； (B) ； (C) ； (D) . 10. 曲面积分在数值上等于( ) (A) 流速场穿过曲面指定侧的流量；(B) 密度为的曲面片的质量；(C) 向量场穿过曲面指定侧的通量；(D) 向量场沿边界所做的功. 11( )(A)发散； (B)条件收敛； (C)绝对收敛； (D)收敛性不能确定. 12.级数的敛散性为 ( )(A) 当时，绝对收敛； （B）当时，条件收敛；(C) 当时，绝对收敛； （D）当时，发散. 三、解答题：1320小题，共58分.请将解答过程写在题目下方空白处.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.13.（本题满分6分）设确定，求全微分.14. （本题满分8分）求曲线 在点（1,1,1）处的切线与法平面方程. 15.（本题满分8分）求幂级数的和函数. 16.（本题满分6分）计算，其中为曲面被柱面所截下的有限部分.17.（本题满分8分）计算积分，其中为曲线上从点到沿逆时针方向的一段有向弧.18.（本题满分8分）计算，其中是由曲面与平面围成的有界闭区域的表面外侧.19.（本题满分8分）在第卦限内作椭球面的切平面，使切平面与三个坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标.20. (本题满分6分)设均在上连续，试证明柯西-施瓦茨不等式：. 答 案一、填空题：16小题，每小题4分，共24分. 请将答案写在指定位置上.1. 平面与平面的夹角为.2. 函数在点处沿从点到点的方向的方向导数为. 3. 设是有界闭区域上的连续函数，则当时， .4. 区域由圆锥面及平面围成，则将三重积分在柱面坐标系下化为三次积分为.5. 设为由曲线上相应于从到的有向曲线弧，是定义在上的连续三元函数，则对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分有：.6. 将函数展开成余弦级数为.二、单项选择题：712小题，每小题3分，共18分。下列每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将所选项前的字母填在题后的括号内.7. 若有连续的二阶偏导数，且(常数)，则（ D ）(A) ； (B) ； (C) ； (D) .8. 设是连续的奇函数，是连续的偶函数，区域，则下列结论正确的是（ A ）.(A) ； (B) ；(C) ； (D) . 9. 已知空间三角形三顶点，则的面积为（ A）(A) ； (B) ； (C) ； (D) 10. 曲面积分在数值上等于( C ).(A) 流速场穿过曲面指定侧的流量；(B) 密度为的曲面片的质量；(C) 向量场穿过曲面指定侧的通量；(D) 向量场沿边界所做的功. 11.( D )(A)发散； (B)条件收敛； (C)绝对收敛； (D)收敛性不能确定. 12.级数的敛散性为 ( A )(A) 当时，绝对收敛； （B）当时，条件收敛；(C) 当时，绝对收敛； （D）当时，发散. 三、解答题：1320小题，共58分.请将解答过程写在题目下方空白处.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.13. （本题满分6分）设确定，求全微分.解：两边同取微分 整理得 .14. （本题满分8分）求曲线 在点（1,1,1）处的切线与法平面方程. 解：两边同时关于求导，解得，+-所以切向量为切线方程为： ；法平面方程为：，即.15.（本题满分8分）求幂级数的和函数.解：求得此幂级数的收敛域为，设，则，； 即，.16.（本题满分6分）计算，其中为曲面被柱面所截下的有限部分.解：17.（本题满分8分）计算积分，其中为曲线上从点到沿逆时针方向的一段有向弧.解：18.（本题满分8分）计算，是由曲面与平面围成的有界闭区域的表面外侧.解：19.（本题满分8分）在第卦限内作椭球面的切平面，使切平面与三个坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标.解：设切点坐标为，则切向量为，切平面方程为，即，则切平面与三个坐标面所围成的四面体体积为 ，令解方程组得，故切点坐标为.20. (本题满分6分)设均在上连续，试证明柯西不等式：.证： 卷 20082009学年第一学期高等数学期中考试试卷(工科类) 专业班级 姓 名 学 号 开课系室 数学学院基础数学系 考试日期 2008.11 .23 页 号一二三四五总分得 分备注：1. 本试卷正文共5页。 2封面及题目所在页背面和附页为草稿纸。 3答案必须写在该题后的横线上或指定的括号内，解的过程写在下方空白处，不得写在草稿纸中，否则答案无效，除选择，填空和判断题外解题都要求有步骤。 4. 最后附页不得私自撕下，否则后果自负。一、选择题(45=20分)1设常数，则函数 在内零点的个数为（ ）(A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个.2设函数，则其间断点的类型为（ ） (A)可去间断点 (B)跳跃间断点 (C)无穷间断点 (D)振荡间断点3( ) (A)2 (B)2 (C) (D)不存在4设可导，要使在处可导，则必有（ ） (A) (B) (C) (D) 5设，则（ ） (A) 在处间断 (B) 在处连续但不可导 (C) 在处可导，但导数在处不连续 (D) 在处有连续导数二、填空题(45=20分)1 2当x0时，无穷小量与等价(其中为常数)，则= 3设， 4函数的一个可去间断点是 5设确定了函数， 三、计算下列各题8 求极限(10分，每题5分)(1) (2) 9 (10分)已知，试讨论函数的单调区间，极值，凹凸性，拐点，渐近线10 (10分)设函数在处有二阶导数，确定参数的值11 (6分)设在处可导，且，求曲线在处的切线方程。 12 (6分)给出函数的含拉格朗日余项的麦克劳林公式。13 (6分)证明当时，14 (6分)设由方程所确定,求。四、(6分)设函数在0,1上连续，在(0,1)内可导，证明：存在，使得. 卷 20082009学年第一学期高等数学期末考试试卷(理工科类) 专业班级 姓 名 学 号 开课系室 数学学院基础数学系 考试日期 2009年1月5日 页 码一二三 四五六总分得 分阅卷人说明：1本试卷正文共6页。 2 封面及题目所在页背面及附页为草稿纸。 3 答案必须写在题后的横线上，计算题解题过程写在题下空白处，写在草稿纸上无效。 一、填空题(本题共5小题，每小题4分，共20分).（1