数学北师大版九年级下册3．1 车轮为什么做成圆形.doc

第三章 圆小结与复习知识梳理一.圆的有关概念、性质、定理1.圆的特征与垂径定理圆是轴对称图形，它的任意_所在的直线都是对称轴；圆是中心对称图形，并且绕_旋转任意大小的角度，都能与原图形重合；垂直于弦的_平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条_；平分弦（不是_）的直径_于弦，并且_弦所对的_弧. 2.圆心角、圆周角、弧、弦之间的关系圆心角的度数和它所对的_的度数相等；在_中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别_；一条弧所对的_的度数等于这条弧度数的一半.3.切线的性质、判定与切线长定理切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的_；切线的判定定理：经过_的一端，并且垂直于这条_的直线是圆的切线；切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长_，圆心和圆外这一点的连线_两条切线的夹角.二.与圆有关的位置关系1.点和圆的位置关系： 2.直线与圆的位置关系： 3.圆与圆的位置关系： 三.与圆有关的计算1.弧长公式设弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r，则有_.2.扇形面积扇形的面积公式_，用弧长来表示扇形的面积为_.3.圆锥的侧面积与全面积圆锥的侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长R，弧长是圆锥底圆的周长l2r，扇形的圆心角为，则有_，_，_.考点呈现一、圆的基本概念和特征例1 （2011年山东省济宁市）如图,AD为ABC外接圆的直径，ADBC，垂足为点F，ABC的平分线交AD于点E，连接BD、CD、BD.(1) 求证：BDCD；(2) 请判断B、E、C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由.解析：（1）AD为直径，ADBC，.BDCD.（2）B,E,C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上. 理由如下：由（1）知，BADCBD.DBECBDCBE，DEBBADABE，CBEABE，DBEDEB.DBDE.由（1）知BDCD，DBDEDC，B,E,C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上.评注：本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系定理和三点共圆问题，解题的关键是掌握并灵活运用相关知识.二、点和圆的位置关系例2 （2011年上海市）矩形ABCD中，AB8，BC，点P在边AB上，且BP3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）A.点B、C均在圆P外 B.点B在圆P外、点C在圆P内C.点B在圆P内、点C在圆P外 D.点B、C均在圆P内解析：如图，连接PC.AB8，BP3AP，PA2，PB6. ADBC，PD7. PB6，BC，PC9. PB6，PD7，67，B点在P内.PC9，PD7，97，C点在P外，故应选C. 评注：此题考查点与圆的位置关系，解题的关键是将“点和圆的位置关系”与“点到圆心的距离与半径的大小关系”进行相互转化.三、直线和圆的位置关系例3 （2011年山东省济宁市）如图，在RtABC中，C=90，A=60，BC=4cm，以点C为圆心，以3cm长为半径作圆，则C与AB的位置关系是 解析：如图，过点C作CDAB与D.C=90，A=60，B30.CD,BC2cm. 又C是以点C为圆心，以3cm长为半径的圆，C与AB的位置关系是相交. 评注：此题考查直线和圆的位置关系，解题的关键是正确添加辅助线，即作圆心到直线的垂线段，再根据垂线段的长度确定直线和圆的位置关系. 四、圆和圆的位置关系例4 （2011年浙江省温州市）已知线段AB7cm现以点A为圆心，2cm为半径画A；再以点B为圆心，3cm为半径画B，则A和B的位置关系是 () A内含 B相交 C外切 D外离解析：AB7cm，A的半径为2cm，B的半径为3cm，237，A和B的位置关系是外离，故应选D.评注：注意解决此类问题时常需分类讨论，一定要考虑周到，避免漏解.五、切线的性质、判定例5 （2011年山东省聊城市）如图，AB是半圆的直径，点O是圆心，点C是OA的中点，CDOA交半圆于点D，点E是的中点，连接OD、AE，过点D作DPAE交BA的延长线于点P.（1）求AOD的度数；（2）求证：PD是半圆O的切线. 解析：（1）点C是OA的中点，OCOAOD.CDOA，OCD90.在RtOCD中，CDO30.COD60，即AOD60.（2）如图，连接OE.点E是BD弧的中点，.BOEDOEDOB (180COD)60. OAOE，EAOAEO. 又EAOAEOEOB60，EAO30. PDAE，PEAO30.由（1）知AOD60，PDO180(PPOD)180(3060)90.PD是圆O的切线. 评注：判定圆的切线的方法主要有两种：一是已知直线与圆有公共点，则可连接过该点的半径，再证它们垂直；二是未知直线与圆有公共点，则过圆心作该直线的垂线段，再证该线段为圆的半径，可简单记为：有切点，作半径，证垂直；无切点，作垂直，证半径.六、与圆有关的面积计算例6 （2011年福建省泉州市）如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60，此时点B到了点，则图中阴影部分的面积是（ ）A.3pB.6p C.5pD.4p 解析：观察图形可以发现.评注：对不规则图形面积的考查是近几年中考的热点问题，解题的方法主要是通过转化，将不规则图形转化为规则图形，再利用和或差进行计算.误区点拨一、主观想象解题致错例1 O的半径，圆心O到直线的距离直线上有P、Q、R三点，且有PD=4cm，QD4cm，RD4cm，点Q在O外；RD4cm，OQ5，即OQ.点Q在圆外；OR，RD4cm，OR5，即OR，点R在圆内.二、考虑问题不全面致错例2 在半径为1的O中，弦AB、AC的长分别为和，求BAC的度数错解：如图，作ODAB于D，作OEAC于E，连接OAAB=，AC=，OA=1，.OAD=30，同理可求OAE=45.BAC=OAD+OAE=75剖析：此题的错误是考虑问题不全面，只考虑到AB、AC分别在圆心O的两侧，而漏掉了在圆心O同侧的情况正解：分AB,AC在圆心O的同侧、异侧两种情况：当AB、AC在圆心O的同侧时，见错解部分；当AB、AC在圆心O的异侧时，如图，同理可求得OAD=30，OAE=45，BAC=OAEOAE=15 综上所述，BAC的度数为15或75 跟踪训练1.已知O的半径为5cm，P为O外一点，则OP的长可能是 （ ）A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm 2.小红家墙壁上挂着一把扇子形的艺术品，如图所示，小红测得外侧两竹条AB，AC的夹角为120，AB长为90cm，贴纸部分BD长为60cm，则贴纸部分的面积为（ ）A .2400cm2 B. 2700cm2 C.1500cm2 D .7200cm2 3.如图，将三角板的直角顶点放在O的圆心上，两条直角边分别交O于A、B两点，点P在优弧AB上，且与点A、B不重合，连接PA，PB，则APB的大小为_ _度 4.两圆的半径分别是方程的两根且两圆的圆心距等于3，则两圆的位置关系是_.5.如图，一个扇形铁皮OAB. 已知OA=60cm，AOB=120，小华将OA、OB合拢制成了一个圆锥形烟囱帽(接缝忽略不计)，则烟囱帽的底面圆的半径为_cm.120B6.已知如下图，P是半径为R的O外一点，PA切O于A，PB切O于B，APB=60，试求夹在劣弧AB及PA，PB之间的阴影部分的面积 7.如图，AB为O的直径，C是O上的一点，D在AB的延长线上，且DCBA. CD与O相切吗？如果相切，请给出证明；如果不相切，请说明理由； 若D30，BD10cm，求O的半径. 跟踪训练答案：1.D 2.A 3.45 4.外切 5.206.解：连接PO，OA，OB.因为OAPA，OBPB，且PO平分APB又APB=60，所以AOB=120，OPB=30，所以PO2OB2R，PBR，所以PBOB，所以，于是.7. 解：CD与O相切,理由如下：连接OC. 因为OCOA，所以AOCA. 因为ADCB，所以OCADCB，所以OCAOCBDCBOCB，即O