2005年数学二试题答案与解析.pdf

NBF 辅导 真正为考研人着想的辅导 1 2005 年数学二试题分析年数学二试题分析 NBF 真题计划 公共课最准 专业课最全 NBF 真题计划 公共课最准 专业课最全 一 填空题填空题 本题共 6 小题 每小题 4 分 满分 24 分 把答案填在题中横线 上 1 设 x xy sin1 则 x dy dx 分析分析 本题属基本题型 幂指函数的求导 或微分 问题可化为指数函 数求导或取对数后转化为隐函数求导 解法一解法一 x xy sin1 sin1ln xx e 于是 sin1 cos sin1 ln sin1ln x x xxey xx 从而 x dy dxdxy 解法二解法二 两边取对数 sin1ln lnxxy 对x求导 得 x xx xy ysin1 cos sin1ln 1 于是 sin1 cos sin1 ln sin1 x x xxxy x 故 x dy dxdxy 评注评注 幂指函数的求导问题 既不能单纯作为指数函数对待 也不能单 纯作为幂函数 而直接运用相应的求导公式 考试分析 本题目属基本题 考查了两个知识点 幂指函数的导数及微 分概念 典型错误是少数考生或粗心 或是对微分概念不清楚 答案中漏 了 考试分析 本题目属基本题 考查了两个知识点 幂指函数的导数及微 分概念 典型错误是少数考生或粗心 或是对微分概念不清楚 答案中漏 了 dx 2 曲线 x x y 2 3 1 的斜渐近线方程为 2 3 xy 分析分析 本题属基本题型 直接用斜渐近线方程公式进行计算即可 详解详解 因为a 1 1 lim lim 2 3 xx x x xf xx 2 3 1 lim lim 2 3 2 3 x xx axxfb xx NBF 辅导 真正为考研人着想的辅导 2 于是所求斜渐近线方程为 3 2 x 2 3 xy 评注评注 如何求垂直渐近线 水平渐近线和斜渐近线 是基本要求 应熟 练掌握 这里应注意两点 1 当存在水平渐近线时 不需要再求斜渐近线 2 若当 x时 极限 x xf a x lim 不存在 则应进一步讨论 x或 x的 情形 即在右或左侧是否存在斜渐近线 本题定义域为x 0 所以只考虑 x 的情形 考试分析 本题目属基本题 考查曲线渐近线的概念和求法 典型错误 是少数考生求出 考试分析 本题目属基本题 考查曲线渐近线的概念和求法 典型错误 是少数考生求出 a 后 后 b 缺没有求对 还有考生粗心大意 答案填成缺没有求对 还有考生粗心大意 答案填成 3 2 x 而漏掉 而漏掉 y 本题得分较低 本题得分较低 3 1 022 1 2 xx xdx 4 分析分析 作三角代换求积分即可 详解详解 令txsin 则 1 022 1 2 xx xdx 2 0 2 cos sin2 cossin dt tt tt 4 arctan cos cos1 cos 2 0 2 0 2 t t td 评注评注 本题为广义积分 但仍可以与普通积分一样对待作变量代换等 考试分析 本题是无界函数的反常积分 通过变量代换 考试分析 本题是无界函数的反常积分 通过变量代换txsin 化成了 定积分 因而反常积分是收敛的 化成了 定积分 因而反常积分是收敛的 4 微分方程xxyyxln2 满足 9 1 1 y的解为 9 1 ln 3 1 xxxy 分析分析 直接套用一阶线性微分方程 xQyxPy 的通解公式 CdxexQey dxxPdxxP 再由初始条件确定任意常数即可 详解详解 原方程等价为 xy x yln 2 于是通解为 ln 1 ln 2 2 22 Cxdxx x Cdxexey dx x dx x 2 1 9 1 ln 3 1 x Cxxx NBF 辅导 真正为考研人着想的辅导 3 由 9 1 1 y得C 0 故所求解为 9 1 ln 3 1 xxxy 评注评注 本题虽属基本题型 但在用相关公式时应注意先化为标准型 另 外 本题也可如下求解 原方程可化为 xxxyyxln2 22 即 xxyxln 22 两边积分得 Cxxxxdxxyx 3322 9 1 ln 3 1 ln 再代入初始条件即可得所求解为 9 1 ln 3 1 xxxy 考试分析 本题考查的知识点是一阶线性非齐次微分方程的解法 考生 常犯的错误是死记公式 而忽略公式的推导 因而搞不清哪里用 哪里用 从 而得不到正确的结论 考试分析 本题考查的知识点是一阶线性非齐次微分方程的解法 考生 常犯的错误是死记公式 而忽略公式的推导 因而搞不清哪里用 哪里用 从 而得不到正确的结论 5 当0 x时 2 kxx 与xxxxcosarcsin1 是等价无穷小 则k 4 3 分析分析 题设相当于已知1 lim 0 x x x 由此确定k即可 解法一解法一 由题设 2 00 cosarcsin1 lim lim kx xxx x x xx cosarcsin1 cos1arcsin lim 2 0 xxxkx xxx x k2 1 1 4 3cos1arcsin lim 2 0 kx xxx x 得 4 3 k 解法二 解法二 22 2 22 1 cos1 arcsin 2 3 1 cosarcsin 2 1 cosarcsin 0 1arcsincos 1arcsincos 3 4 xxo xxxo x xxxx xxx xxxxx xxx xo x NBF 辅导 真正为考研人着想的辅导 4 4 0 24433 444 1 cosarcsin lim 111 cos1 arcsin 2 4 3 11 1 cosarcsin 4 3 x xxx x xxxo xxxxo x xxxxxo x 注意 若需要求更高阶项必须熟悉展开至更高阶的泰勒公式 否则会出错 例如 求 评注评注 无穷小量比较问题是历年考查较多的部分 本质上 这类问题均 转化为极限的计算 6 设 321 均为3维列向量 记矩阵 321 A 93 42 321321321 B 如果1 A 那么 B 2 分析分析 将B写成用A右乘另一矩阵的形式 再用方阵相乘的行列式性质 进行计算即可 解法一解法一 利用矩阵计算 由题设 有 93 42 321321321 B 941 321 111 321 于是有 221 941 321 111 AB 解法二解法二 利用行列式的性质计算 1232323 123233 12323 123 3 5 3 2 2 22 B A 第3列 第2列 第2列 第1列 第3列 第2列 2 2 评注评注 本题相当于矩阵 B 的列向量组可由矩阵 A 的列向量组线性表示 关键是将其转化为用矩阵乘积形式表示 一般地 若 nn aaa 12121111 NBF 辅导 真正为考研人着想的辅导 5 nn aaa 22221212 nmnmmm aaa 2211 则有 21 22212 12111 2121 mnnn m m nm aaa aaa aaa 考试分析考试分析 有将近三分之一的考生做错此题 说明仍需在基本功上多下 工夫 二 选择题二 选择题 本题共 8 小题 每小题 4 分 满分 32 分 每小题给出的四个选项 中 只有一项符合题目要求 把所选项前的字母填在题后的括号内 7 设函数 n n n xxf 3 1lim 则f x 在 内 A 处处可导 B 恰有一个不可导点 C 恰有两个不可导点 D 至少有三个不可导点 C 分析分析 先求出f x 的表达式 再讨论其可导情形 详解详解 当1x时 1 1 lim 3 1 3 3 x x xxf n n n 即 1 11 1 1 3 3 x x x x x xf 可见f x 仅在x 1 时不可导 故应选 C 评注评注 本题综合考查了数列极限和导数概念两个知识点 考试分析考试分析 由于学生对用数列极限表示的函数不太习惯 因而本题得分 率不高 由于学生对用数列极限表示的函数不太习惯 因而本题得分 率不高 8 设F x 是连续函数f x 的一个原函数 NM 表示 M的充分必要 条件是N 则必有 A F x 是偶函数 f x 是奇函数 B F x 是奇函数 f x 是偶函数 C F x 是周期函数 f x 是周期函数 D F x 是单调函数 f x 是单调函数 A 分析分析 本题可直接推证 但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答 NBF 辅导 真正为考研人着想的辅导 6 案 详解详解 方法一 任一原函数可表示为 x CdttfxF 0 且 xfxF 当F x 为 偶 函 数 时 有 xFxF 于 是 1 xFxF 即 xfxf 也即 xfxf 可见f x 为奇函数 反过来 若f x 为奇 函数 则 x dttf 0 为偶函数 从而 x CdttfxF 0 为偶函数 可见 A 为正确 选项 方法二 令f x 1 则取F x x 1 排除 B C 令f x x 则取F x 2 2 1 x 排除 D 故应选 A 评注评注 函数f x 与其原函数F x 的奇偶性 周期性和单调性已多次考查 过 请读者思考f x 与其原函数F x 的有界性之间有何关系 考试分析 事实上 在学习高等数学时 导数部分有命题 可导的偶函 数的导数是奇函数 而可导的奇函数的导数是偶函数 积分部分有命题 偶函 数的原函数有一个是奇函数 而奇函数的原函数都是偶函数 周期函数的原 函数为一个周期函数与线性函数之和 假如考生对这些命题有了解的话 马上 就可选择 考试分析 事实上 在学习高等数学时 导数部分有命题 可导的偶函 数的导数是奇函数 而可导的奇函数的导数是偶函数 积分部分有命题 偶函 数的原函数有一个是奇函数 而奇函数的原函数都是偶函数 周期函数的原 函数为一个周期函数与线性函数之和 假如考生对这些命题有了解的话 马上 就可选择 A 9 设函数y y x 由参数方程 1ln 2 2 ty ttx 确定 则曲线y y x 在x 3处的 法线与x轴交点的横坐标是 A 32ln 8 1 B 32ln 8 1 C 32ln8 D 32ln8 A 分析分析 先由x 3确定t的取值 进而求出在此点的导数及相应的法线方 程 从而可得所需的横坐标 详解详解 当x 3时 有32 2 tt 得3 1 tt 舍去 此时y无意义 于是 8 1 22 1 1 11 tt t t dx dy 可见过点x 3 此时y ln2 的法线方程为 3 82ln xy 令y 0 得其与x轴交点的横坐标为 32ln 8 1 故应 A 评注评注 注意本题法线的斜率应为 8 此类问题没有本质困难 但在计算 过程中应特别小心 稍不注意答案就可能出错 NBF 辅导 真正为考研人着想的辅导 7 10 设区域 0 0 4 22 yxyxyxD f x 为D上的正值连续函 数 a b为常数 则 d yfxf yfbxfa D A ab B 2 ab C ba D 2 ba D 分析分析 由于未知f x 的具体形式 直接化为用极坐标计算显然是困难的 本题可考虑用轮换对称性 解法一解法一 由轮换对称性 有 d yfxf yfbxfa D d xfyf xfbyfa D d xfyf xfbyfa yfxf yfbxfa D 2 1 2 2 4 1 22 2 baba d ba D 应选 D 解法二解法二 特殊值法 直接令 f x 1 立刻可得结果特殊值法 直接令 f x 1 立刻可得结果 评注评注 被积函数含有抽象函数时 一般考虑用对称性分析 特别 当具 有轮换对称性 x y互换 D保持不变 时 往往用如下方法 DDD dxdyxyfyxfdxdyxyfdxdyyxf 2 1 11 设函数 yx yx dttyxyxyxu 其中函数 具有二阶 导数 具有一阶导数 则必有 A 2 2 2 2 y u x u B 2 2 2 2 y u x u C 2 22 y u yx u D 2 22 x u yx u B 分析分析 先分别求出 2 2 x u 2 2 y u yx u 2 再比较答案即可 详解详解 因为 yxyxyxyx x u yxyxyxyx y u NBF 辅导 真正为考研人着想的辅导 8 于是于是 2 2 yxyxyxyx x u 2 yxyxyxyx yx u 2 2 yxyxyxyx y u 可见有 2 2 2 2 y u x u 应选 B 评注评注 本题综合考查了复合函数求偏导和隐函数求偏导以及高阶偏导的 计算 作为做题技巧 也可取1 2 ttt 则yyxyxu222 22 容 易验算只有 2 2 2 2 y u x u 成立 同样可找到正确选项 B 12 设函数 1 1 1 x x e xf则 A x 0 x 1都是f x 的第一类间断点 B x 0 x 1都是f x 的第二类间断点 C x 0是f x 的第一类间断点 x 1是f x 的第二类间断点 D x 0是f x 的第二类间断点 x 1是f x 的第一类间断点 D 分析分析 显然x 0 x 1为间断点 其分类主要考虑左右极限 详解详解 由于函数f x 在x 0 x 1点处无定义 因此是间断点 且 lim 0 xf x 所以x 0为第二类间断点 0 lim 1 xf x 1 lim 1 xf x 所以x 1为第一类间断点 故应选 D 评注评注 应特别注意 1 lim 1 x x x 1 lim 1 x x x 从而 1 1 lim x x x e 0lim 1 1 x x x e 13 设 21 是矩阵A的两个不同的特征值 对应的特征向量分别为 21 则 1 21 A线性无关的充分必要条件是 A 0 1 B 0 2 C 0 1 D 0 2 NBF 辅导 真正为考研人着想的辅导 9 B 分析分析 讨论一组抽象向量的线性无关性 可用定义或转化为求其秩即可 详解详解 方法一 令 0 21211 Akk 则 0 22211211 kkk 0 2221121 kkk 由于 21 线性无关 于是有 0 0 22 121 k kk 1 0 当0 2 时 显然有0 0 21 kk 此时 1 21 A线性无关 反 过来 若 1 21 A线性无关 则必然有0 2 否则 1 与 21 A 11 线性相关 故应选 B 方法二 由于 2 1 2122111211 0 1 A 可见 1 21 A线性无关的充要条件是 0 0 1 2 2 1 故应选 B 评注评注 本题综合考查了特征值 特征向量和线性相关与线性无关的概念 考试分析 本题得分率为 考试分析 本题得分率为59 5 难度比较适中 主要错误是选 难度比较适中 主要错误是选 C 其实 其实 1 0 是充分条件而不是必要条件 是充分条件而不是必要条件 14 设A为n 2 n 阶可逆矩阵 交换A的第1行与第2行得矩阵B B A分别为A B的伴随矩阵 则 A 交换 A的第1列与第2列得 B B 交换 A的第1行与第2行 得 B C 交换 A的第1列与第2列得 B D 交换 A的第1行与第2行 得 B C 分析分析 本题考查初等变换的概念与初等矩阵的性质 只需利用初等变换 与初等矩阵的关系以及伴随矩阵的性质进行分析即可 详解详解 由题设 存在初等矩阵 12 E 交换n阶单位矩阵的第1行与第2 NBF 辅导 真正为考研人着想的辅导 10 行所得 使得 BAE 12 于是 12 1 1212 12 12 EAEEAEAAEB 即 12 BEA 可见应选 C 评注评注 注意伴随矩阵的运算性质 EAAAAA 当A可逆时 1 AAA ABAB 考试分析考试分析 不少考生选 不少考生选 A 是忽略了伴随矩阵与逆矩阵得差别 或者虽 注意到了它们的不同 但没有考虑 是忽略了伴随矩阵与逆矩阵得差别 或者虽 注意到了它们的不同 但没有考虑 B A 也有一些考生选也有一些考生选 B 则反映了他们仍 然没有把矩阵的伴随矩阵的结构弄清楚 这是一个老问题 但每年都有考生犯 这一类错误 课见把基础打扎实的重要性 本题得分率约 则反映了他们仍 然没有把矩阵的伴随矩阵的结构弄清楚 这是一个老问题 但每年都有考生犯 这一类错误 课见把基础打扎实的重要性 本题得分率约62 三三 解答题 本题共 解答题 本题共9小题 满分小题 满分94分分 解答应写出文字说明 证明过程 或演算步骤 解答应写出文字说明 证明过程 或演算步骤 15 本题满分 本题满分11分 分 设函数f x 连续 且0 0 f 求极限 lim 0 0 0 x x x dttxfx dttftx 分析分析 此类未定式极限 典型方法是用洛必塔法则 但分子分母求导前 应先变形 解法一解法一 由于 0 00 x xx utx duufduufdttxf 于是 x xx x x x x duufx dtttfdttfx dttxfx dttftx 0 00 0 0 0 0 lim lim x x x xxfduuf xxfxxfdttf 0 0 0 lim x x x xxfduuf dttf 0 0 0 lim lim 0 0 0 xf x duuf x dttf x x x 2 1 0 0 0 ff f 解法二解法二 利用积分中值定理利用积分中值定理 之前步骤同上之前步骤同上 0 00 0 0 0 1 limlim 0 0 2 x x xx f t dtxf xxf x xff xfxf xff f u duxf x NBF 辅导 真正为考研人着想的辅导 11 评注评注 本题容易出现的错误是 在利用一次洛必塔法则后 继续用洛必 塔法则 x x x xxfduuf dttf 0 0 0 lim 2 1 lim 0 xf xxfxf xf x 错误的原因 f x 未必可导 考试分析 本题是一道综合性较强的试题 要求考生有较清晰的基本 感念和一定的运算技巧 本题考察考生的知识点洛必达法则 积分中值定理 变上限定积分对上限的导数 定级分的换元法等 大部分考生对此类问题较熟 悉 但做完整的考生并不多 考试分析 本题是一道综合性较强的试题 要求考生有较清晰的基本 感念和一定的运算技巧 本题考察考生的知识点洛必达法则 积分中值定理 变上限定积分对上限的导数 定级分的换元法等 大部分考生对此类问题较熟 悉 但做完整的考生并不多 典型错误 典型错误 1 相当一部分考生没有注意题目中没有 相当一部分考生没有注意题目中没有f x 可导的条件 在后面不是 用积分中值定理 而是继续用洛必达法则 可导的条件 在后面不是 用积分中值定理 而是继续用洛必达法则 0 00 0 0 1 lim lim 2 0 2 x x xx f t dt f xf f xf xxfxf f u duxf x 2 也有一些考生没有对分母进行换元 而是直接求导数 也有一些考生没有对分母进行换元 而是直接求导数 00 lim x x d f xt dtf x dx 虽然得到相同的答案 但这些解法是错误的虽然得到相同的答案 但这些解法是错误的 16 本题满分 本题满分11分 分 如图 1 C和 2 C分别是 1 2 1 x ey 和 x ey 的图象 过点 0 1 的曲线 3 C是一 单调增函数的图象 过 2 C上任一点M x y 分别作垂直于x轴和y轴的直线 x l和 y l 记 21 C C与 x l所围图形的面积为 1 xS 32 C C与 y l所围图形的面积为 2 yS如果 总有 21 ySxS 求曲线 3 C的方程 yx 分析分析 利用定积分的几何意义可确定面积 21 ySxS 再根据 21 ySxS 建立积分等式 然后求导引出微分方程 最终可得所需函数关系 详解详解 如图 有 x xtt xedteexS 0 1 1 2 1 1 2 1 y dtttyS 1 2 ln 由题设 得 y x dtttxe 1 ln 1 2 1 而 x ey 于是 y dtttyy 1 ln 1ln 2 1 NBF 辅导 真正为考研人着想的辅导 12 两边对y求导得 ln 1 1 2 1 yy y 故所求的函数关系为 2 1 ln y y yyx 评注评注 本题应注意点M x y 在曲线 2 C上 因此满足 x ey 考试分析考试分析 本题是一道积分几何应用题 考查的知识点有变上限定积分 对上限的导数 隐函数的导数 与常规的题目不同的是等式求导后的到的是代 数方程 对考生的理解能力有一定要求 从答题情况看 绝大部分考生能正确 写出 本题是一道积分几何应用题 考查的知识点有变上限定积分 对上限的导数 隐函数的导数 与常规的题目不同的是等式求导后的到的是代 数方程 对考生的理解能力有一定要求 从答题情况看 绝大部分考生能正确 写出 21 ySxS的表达式 少数考生在等式两边求导时 忘记了 y 是 x 的函数 因而得不到正确结果 的表达式 少数考生在等式两边求导时 忘记了 y 是 x 的函数 因而得不到正确结果 17 本题满分 本题满分11分 分 如图 曲线C的方程为y f x 点 3 2 是它的一个拐点 直线 1 l与 2 l分别是 曲线C在点 0 0 与 3 2 处的切线 其交点为 2 4 设函数f x 具有三阶连续导数 计算定积分 3 0 2 dxxfxx 分析分析 题设图形相当于已知f x 在x 0的函数值与导数值 在x 3处的 函数值及一阶 二阶导数值 详解详解 由题设图形知 f 0 0 2 0 f f 3 2 0 3 2 3 ff 由分部积分 知 3 0 3 0 3 0 22 3 0 2 12 dxxxfxfxxxf dxxdxxfxx dxxfxfxxf dx 3 0 3 0 3 0 2 12 12 20 0 3 216 ff 评注评注 本题f x 在两个端点的函数值及导数值通过几何图形给出 题型 比较新颖 综合考查了导数的几何意义和定积分的计算 另外 值得注意的是 当被积函数含有抽象函数的导数时 一般优先考虑用分部积分 考试分析 本题是一道微积分学的综合计算题 与一般分部积分题不同 的是 本题中 考试分析 本题是一道微积分学的综合计算题 与一般分部积分题不同 的是 本题中 f x fxfx 在相关点的函数值不是直接给出 而是隐含在 图形中 这就要求考生理解切线的斜率和拐点等概念 考生反映 本题有新意 难度适中 典型错误 1 有些考生误认为 在相关点的函数值不是直接给出 而是隐含在 图形中 这就要求考生理解切线的斜率和拐点等概念 考生反映 本题有新意 难度适中 典型错误 1 有些考生误认为 yf x 是三次曲线 从而假设是三次曲线 从而假设 32 yaxbxcx NBF 辅导 真正为考研人着想的辅导 13 2 由于概念不清 2 由于概念不清 0 3 3 fff 求错求错 18 本题满分 本题满分12分 分 用变量代换 0 cos ttx化简微分方程0 1 2 yyxyx 并求其 满足2 1 00 xx yy的特解 分析分析 先将yy 转化为 2 2 dt yd dt dy 再用二阶常系数线性微分方程的方法 求解即可 详解详解 dt dy tdx dt dt dy y sin 1 sin 1 sin 1 sin cos 2 2 2 tdt yd tdt dy t t dx dt dt yd y 代入原方程 得 0 2 2 y dt yd 解此微分方程 得 2 2121 1sincosxCxCtCtCy 将初始条件2 1 00 xx yy代入 有1 2 21 CC 故满足条件的特解为 12 2 xxy 评注评注 本题的关键是将yy 转化为 2 2 dt yd dt dy 而这主要是考查复合函数 求一 二阶导数 考试分析 本题考查复合函数的求导法则 反函数导数的公式以及二阶 常系数线性奇次方程的解法 是一道常规综合题 但由于复合函数的而阶导数 一至是教学中的难点 考生答题情况并不理想 考试分析 本题考查复合函数的求导法则 反函数导数的公式以及二阶 常系数线性奇次方程的解法 是一道常规综合题 但由于复合函数的而阶导数 一至是教学中的难点 考生答题情况并不理想 典型错误 典型错误 1 有相当部分考生应用复合函数的链式求导法则能力较差 只会机械地套用公式 分不清哪一个是自变量 哪一个是 中间变量 少数考生一开始将 有相当部分考生应用复合函数的链式求导法则能力较差 只会机械地套用公式 分不清哪一个是自变量 哪一个是 中间变量 少数考生一开始将cosxt 代入方程而不知应 同时变换 代入方程而不知应 同时变换 2 2 dt yd dt dy 2 对于二阶线性奇次方程 有部分考生不是用通常的特征方 程求根解法 而是舍简求繁 用降阶法求解 容易出现运 算错误 得不到正确结果 对于二阶线性奇次方程 有部分考生不是用通常的特征方 程求根解法 而是舍简求繁 用降阶法求解 容易出现运 算错误 得不到正确结果 19 本题满分 本题满分12分 分 已知函数f x 在 0 1 上连续 在 0 1 内可导 且f 0 0 f 1 1 证明 NBF 辅导 真正为考研人着想的辅导 14 I 存在 1 0 使得 1 f II 存在两个不同的点 1 0 使得 1 ff 分析分析 第一部分显然用闭区间上连续函数的介值定理 第二部分为双介 值问题 可考虑用拉格朗日中值定理 但应注意利用第一部分已得结论 详解详解 I 令xxfxF 1 则F x 在 0 1 上连续 且F 0 10 于是由介值定理知 存在存在 1 0 使得0 F 即 1 f II 在 0 和 1 上对f x 分别应用拉格朗日中值定理 知存在两个不同 的点 1 0 使得 0 0 ff f 1 1 ff f 于是 1 1 1 1 1 ff ff 评注评注 中值定理的证明问题是历年出题频率最高的部分 而将中值定理 与介值定理或积分中值定理结合起来命题又是最常见的命题形式 考试分析 本题是一道典型的常规证明题 考生从题意不难找到证明 考试分析 本题是一道典型的常规证明题 考生从题意不难找到证明 I 的思路 的思路 I 是为证明 是为证明 II 作铺垫 本题考查的知识点是闭区间上连续函 数的性质以及拉格朗日中值定理 作铺垫 本题考查的知识点是闭区间上连续函 数的性质以及拉格朗日中值定理 典型错误 典型错误 1 证明 证明 I 问时 有些考生不是构造函数 而是直接在 问时 有些考生不是构造函数 而是直接在 0 1 上直接用微分中值定理 2 部分考生不知道 部分考生不知道 I 是为 是为 II 作铺垫 因而不是在 作铺垫 因而不是在 0 和 1 上用拉格朗日中值定理 而是在 0 1 2 和 1 2 1 上用 拉格朗日中值定理 20 本题满分 本题满分10分 分 已知函数z f x y 的全微分ydyxdxdz22 并且f 1 1 2 求f x y 在椭 圆域 1 4 2 2 y xyxD上的最大值和最小值 分析分析 根据全微分和初始条件可先确定f x y 的表达式 而f x y 在椭圆 域上的最大值和最小值 可能在区域的内部达到 也可能在区域的边界上达到 且在边界上的最值又转化为求条件极值 解法一解法一 由题设 知 x x f 2 y y f 2 于是 2 yCxyxf 且 yyC2 从而 CyyC 2 NBF 辅导 真正为考研人着想的辅导 15 再由f 1 1 2 得 C 2 故 2 22 yxyxf 令0 0 y f x f 得 可 能 极 值 点 为x 0 y 0 且 2 0 0 2 2 x f A 0 0 0 2 yx f B 2 0 0 2 2 y f C 04 2 ACB 所以点 0 0 不是极值点 从而也非最值点 再考虑其在边界曲线1 4 2 2 y x上的情形 令拉格朗日函数为 1 4 2 2 y xyxfyxF 解 01 4 0 2 1 2 2 0 1 22 2 2 y xF yy y y f F xx x f F y x 得可能极值点4 2 0 yx 4 2 0 yx 1 0 1 yx 1 0 1 yx 代入f x y 得 2 2 0 f 3 0 1 f 可见z f x y 在区 域 1 4 2 2 y xyxD内的最大值为3 最小值为 2 解 法 二 同 解 法 一 得 驻 点 解 法 二 同 解 法 一 得 驻 点 0 0 在 椭 圆 在 椭 圆1 4 2 2 y x上 上 22 44 2zxx 即即 2 52zx 11 x 其最大值为 其最大值为 1 3 x z 最小值为 最小值为 0 2 x z 再与再与f 0 0 2比较 可知比较 可知f x y 在椭圆域在椭圆域D上最大值为上最大值为3 最小值为 最小值为 2 评注评注 本题综合考查了多元函数微分学的知识 涉及到多个重要基础概 念 特别是通过偏导数反求函数关系 要求考生真正理解并掌握了相关知识 考试分析 典型错误 考试分析 典型错误 1 粗心导致计算错误 函数 粗心导致计算错误 函数 22 f x yxyC 中常数中常数C求错求错 2 部分考生对如何求函数在闭区域上得最大值 最小值还不是很清 部分考生对如何求函数在闭区域上得最大值 最小值还不是很清 NBF 辅导 真正为考研人着想的辅导 16 楚 因而在利用条件极值求出椭圆上的可能极值后 没有和点 楚 因而在利用条件极值求出椭圆上的可能极值后 没有和点 0 0 处的函数值比较 或者说理不够清楚 处的函数值比较 或者说理不够清楚 21 本题满分 本题满分9分 分 计算二重积分 dyx D 1 22 其中 10 10 yxyxD 分析分析 被积函数含有绝对值 应当作分区域函数看待 利用积分的可加 性分区域积分即可 详解详解 记 1 22 1 DyxyxyxD 1 22 2 DyxyxyxD 于是 dyx D 1 22 1 1 22 D dxdyyx 2 1 22 D dxdyyx 2 0 2 1 0 1 rdrrd D dxdyyx 1 22 1 1 22 D dxdyyx 8 2 0 1 0 22 1 0 2 1 0 1 1 rdrrddyyxdx 3 1 4 评 注评 注 形 如 积 分 dyxf D D dyxgyxf max D dyxgyxf min D dyxf D dyxgyxf sgn 等的被积 函数均应当作分区域函数看待 利用积分的可加性分区域积分 考试分析 典型错误 部分考生对此类问题束手无策 有的干脆去掉绝 对值而在 考试分析 典型错误 部分考生对此类问题束手无策 有的干脆去掉绝 对值而在D上积分上积分 22 本题满分 本题满分9分 分 确定常数a 使向量组 1 1 1 T a 1 1 2 T a T a 1 1 3 可由向量组 1 1 1 T a 4 2 2 T a T aa 2 3 线性表示 但向量组 321 不能由 向量组 321 线性表示 分析分析 向量组 321 可由向量组 321 线性表示 相当与方程组 3 2 1 332211 ixxx i 均有解 问题转化为 321 r 3 2 1 321 ir i 是否均成立 这通 过初等变换化解体形讨论即可 而向量组 321 不能由向量组 321 线性 表示 相当于至少有一个向量 3 2 1 j j 不能由 321 表示 即至少有一方 NBF 辅导 真正为考研人着想的辅导 17 程组 3 2 1 332211 jxxx j 无解 解法一解法一 对矩阵 321321 A作初等行变换 有 321321 A 114 111 11221 aaa aaa a aaaa aaa a 1103240 010220 11221 aaa aaa a 1 1 30400 010220 11221 当a 2时 A 330600 030000 211221 显然 2 不能由 321 线 性表示 因此2 a 当a 4时 A 390000 030660 411221 然 32 均不能由 321 线性表示 因此4 a 而当2 a且4 a时 秩3 321 r 此时向量组 321 可由向量 组 321 线性表示 又 aaa aaa a B 411 111 22111 321321 aaaa aaaa a 3240110 220110 22111 2 24360200 220110 22111 2 aaaa aaaa a 由题设向量组 321 不能由向量组 321 线性表示 必有01 a或 NBF 辅导 真正为考研人着想的辅导 18 02 2 aa 即a 1或2 a 综上所述 满足题设条件的a只能是 a 1 解法二解法二 从两个向量组的秩的大小比较着手求常数从两个向量组的秩的大小比较着手求常数a 记记A 321 B 321 向量组向量组 321 不能由向量组不能由向量组 321 线性 表示 所以 线性 表示 所以A的秩的秩r A 3 从而行列式从而行列式 2 11 11 1 2 0 11 a Aaaa a 得 得a 1或或a 2 当当a 1时 时 1231 T 1 1 1 显然 显然 321 可由可由 321 线 性表示 而 线 性表示 而 2 2 1 4 T 不能由不能由 321 线性表示 即线性表示 即a 1符合题意 符合题意 当当a 2时 则有时 则有 122112122112 122121006033 242211000033 B A 考虑非奇次线性方程组考虑非奇次线性方程组 2 Bx 由上述矩阵 由上述矩阵B的秩的秩r B 2 而 而r 2 B 3 则方程组 则方程组 2 Bx 无解 即 无解 即 2 不能由向量组不能由向量组 321 线性表示 所以线性表示 所以a 2不合 题意 应舍去 不合 题意 应舍去 综上 综上 a 1 评注评注 1 向量组 321 不能由向量组 321 线性表示 必有行列式