数学北师大版九年级下册二次函数的应用——面积最大问题教学设计.doc

二次函数的应用面积最大问题教学设计南郑县协税中学教师-刘丽 2017.3.26教学目标(一)教学知识点能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值(二)能力训练要求1通过分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，培养学生的分析判断能力2通过运用二次函数的知识解决实际问题，培养学生的数学应用能力(三)情感与价值观要求1经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学的应用价值2能够对解决问题的基本策略进行反思，形成个人解决问题的风格3进一步体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心，具有初步的创新精神和实践能力教学重点1经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学的应用价值2能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题教学难点能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能运用二次函数的有关知识解决最大面积问题教学方法教师指导学生分层自学法教具准备：多媒体教学过程一、温故知新 1、二次函数图象的顶点坐标有几种求法？ 2、对于二次函数：yx22x，图象的形状是 ，开口方向 ；顶点坐标 ，对称轴 ；当x= 时，y有最 值 。 二、创设问题情境，引入新课师上节课我们利用二次函数解决了最大利润问题，知道了求最大利润就是求函数的最大值，实际上就是用二次函数来解决实际问题解决这类问题的关键是要读懂题目，明确要解决的是什么，分析问题中各个量之间的关系，把问题表示为数学的形式，在此基础上，利用我们所学过的数学知识，就可以一步步地得到问题的解本节课我们将继续利用二次函数解决最大面积问题三新课讲解一、例题讲解投影片：(27A)如下图，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上(1)设长方形的一边ABx m，那么AD边的长度如何表示？(2)设长方形的面积为y m2，当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？师分析：(1)要求AD边的长度，即求BC边的长度，而BC是EBC中的一边，因此可以用三角形相似求出BC由EBCEAF，得即所以ADBC(40x)(2)要求面积y的最大值，即求函数yABADx(40x)的最大值，就转化为数学问题了下面请大家讨论写出步骤生(1)BCAD，EBCEAF又ABx，BE40x，BC(40x)ADBC(40x)30x(2)yABADx(30x)x230x(x240x400400)(x240x400)300(x20)2300当x20时，y最大300即当x取20m时，y的值最大，最大值是300m2师很好刚才我们先进行了分析，要求面积就需要求矩形的两条边，把这两条边分别用含x的代数式表示出来，代入面积公式就能转化为数学问题了，大家觉得用数学知识解决实际问题很难吗？生不很难师下面我们换一个条件，看看大家能否解决设AD边的长为x m，则问题会怎样呢？与同伴交流生要求面积需求AB的边长，而ABDC，所以需要求DC的长度，而DC是FDC中的一边，所以可以利用三角形相似来求解：DCAB，FDCFAEADx，FD30xDC(30x)ABDC(30x)yABADx(30x)x240x(x230x225225)(x15)2300当x15时，y最大300即当AD的长为15m时，长方形的面积最大，最大面积是300m2二、做一做投影片：(27B)某建筑物的窗户如下图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m当x等于多少时，窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)？此时，窗户的面积是多少？师通过刚才的练习，这个问题自己来解决好吗？生可以分析：x为半圆的半径，也是矩形的较长边，因此x与半圆面积和矩形面积都有关系要求透过窗户的光线最多，也就是求矩形和半圆的面积之和最大，即2xyx2最大，而由于4y4x3xx7x4yx15，所以y面积Sx22xyx22xx23.5x27.5x，这时已经转化为数学问题即二次函数了，只要化为顶点式或代入顶点坐标公式中即可解：7x4yx15，y设窗户的面积是S(m2)，则Sx22xyx22xx23.5x27.5x3.5(x2x)3.5(x)2当x1.07时，S最大4.02即当x1.07m时，S最大4.02m2，此时，窗户通过的光线最多师大家做得非常棒三、议一议师我们已经做了不少用二次函数知识解决实际问题的例子，现在大家能否根据前面的例子作一下总结，解决此类问题的基本思路是什么呢？与同伴进行交流生首先是理解题目，然后是分析已知量与未知量，转化为数学问题师看来大家确实学会了用数学知识解决实际问题，基本思想如下：投影片：(27C)解决此类问题的基本思路是：(1)理解问题；(2)分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系；(3)用数学的方式表示它们之间的关系；(4)做函数求解；(5)检验结果的合理性，拓展等在总结思路之前，大家已经做得相当出色了，相信以后会更上一层楼的四分层课堂练习A层：（你能行！）我设计了两道题，学生只要仔细观察基本上都能完成，尝试到成功之后，他们肯定会向更高层次发起进攻。 指出下列函数的最大或最小值 （1）y= -3（x-1）2+5 （2） B层：（你肯定行！）我选择了学生感兴趣的最佳下料问题有一块三角形余料如图所示，C=90，AC=30cm，BC=40cm，要利用这块余料如图截出一个矩形DEFC，设DE=xcm,矩形的面积ycm2 。问矩形的边长分别是多少时，矩形的面积最大？ AD E C BF 此题目有一定难度，但刚刚学完相似形，教师给出了自变量，大部分同学应该能想到解决办法。 C层（你一定是最棒的！） CD在矩形ABCD中，AB6cm，BC12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，同时，点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动。如果P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，回答下列问题：Q（1）运动开始后第几秒时，PBQ的面积等于8cm2？（2）设运动开始后第t秒时，五边形APQCD的面积为Scm2，A写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；PB（3）t为何值时S最小？求出S的最小值。此题设计了一个动点问题，而且求最小值，对优等生来说需要思考，但有（1）、（2）作铺垫，应该能自己解决。五课时小结本阶段，让学生总结这节课的收获、利用函数知识解决实际问题的方法以及要注意的问题，体会科学就是生产力这句话的含义，激发学生学数学用数学的信心。进一步学习了用二次函数知识解决最大面积问题，增强了应用意识，获得了利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受了数学模型思想和数学的应用价值六布置作业：（C组）（你一定是最棒的！）1、假设篱笆（虚线）的长度为15米，两面靠墙围成一个矩形，要求面积最大，如何围才能使矩形的面积最大？ B层：（你肯定行！）我选择了学生感兴趣的最佳下料问题1、有一块三角形余料如图所示，C=90，AC=30cm，BC=40cm，要利用这块余料如图截出一个矩形DEFC，设DE=xcm,矩形的面积ycm2 。问矩形的边长分别是多少时，矩形的面积最大？ AD E C BF 2.如图34-10，张伯伯准备利用现有的一面墙和40长的篱笆，把墙外的空地围成四个相连且面积相等的矩形养兔场。回答下面的问题：（1）设每个小矩形一边的长为xm，设四个小矩形的总面积为ym2，请写出用x表示y的函数表达式。（2）你能利用公式求出所得函数的图象的顶点坐标，并说出y的最大值吗？（3）若墙的长度为10米，x取何值时，养兔场的面积最大？A层：（你能行！）1.有一块三角形土地如图，他的底边BC=100米，高AD=80米，某单位沿着BC修一座底面是矩形的大楼，当这座大楼的地基面积最大时，这个矩形的长和宽各是多少米？ A B D C我设计了两道题，学生只要仔细观察基本上都能完成，尝试到成功之后，他们肯定会向更高层次发起进攻。 2、指出下列函数的最大或最小值 （1）y= -3（x-1）2+5 （2） 习题28习题28活动与探究已知矩形的长大于宽的2倍，周长为12，从它的一个顶点作一条射线，将矩形分成一个三角形和一个梯形，且这条射线与矩形的一边所成的角的正切值等于设梯形的面