北京市海淀区2019-2020学年高二数学上学期期中参考试题（含解析）.doc

北京市海淀区2019-2020学年高二数学上学期期中参考试题（含解析）一、选择题1.若，且，则下列结论一定成立的是（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】根据不等式的基本性质，即可选出答案.【详解】当时，错误.当时，错误.当时，错误.因为，所以，正确.故选：d.【点睛】本题考查不等式基本性质，属于基础题.若不等式不成立，只需举出一个反例说明即可.此类题型常用举出反例和目标分析法来做题.2.记为等差数列的前n项和已知，则a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】等差数列通项公式与前n项和公式本题还可用排除，对b，排除b，对c，排除c对d，排除d，故选a详解】由题知，解得，故选a【点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养利用等差数列通项公式与前n项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断3.在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】利用正方体中，将问题转化为求共面直线与所成角的正切值，在中进行计算即可.【详解】在正方体中，所以异面直线与所成角为，设正方体边长为，则由为棱的中点，可得，所以，则.故选c.【点睛】求异面直线所成角主要有以下两种方法：（1）几何法：平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；利用边角关系，找到（或构造）所求角所在的三角形；求出三边或三边比例关系，用余弦定理求角；（2）向量法：求两直线的方向向量；求两向量夹角的余弦；因为直线夹角为锐角，所以对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值.4.已知为等比数列，下面结论中正确的是（ ）a. b. c. 若，则d. 若，则【答案】b【解析】设an的首项为a1，公比为q，当a10，q0时，可知a10，a30，所以a不正确；当q1时，c选项错误；当qa1a3qa1qa4a2，与d选项矛盾因此根据基本不等式可知b选项正确【此处有视频，请去附件查看】5.已知抛物线c：y28x的焦点为f，准线为l，p是l上一点，q是直线pf与c的一个交点，若，则|qf|()a. b. c. 3d. 2【答案】c【解析】【分析】过点q作qql交l于点q，利用抛物线定义以及相似得到|qf|qq|3.【详解】如图所示：过点q作qql交l于点q，因为，所以|pq|pf|34，又焦点f到准线l的距离为4，所以|qf|qq|3.故选c.【点睛】本题考查了抛物线的定义应用，意在考查学生的计算能力.6.已知正四面体的棱长为，点、分别是、的中点，则的值为a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】利用向量的加减法，用几何体的边长表示出向量,然后求得结果.【详解】在正四面体中，点、分别是、的中点 则= 因为是正四面体，所以 即所以= 故选：b.【点睛】本题考查了空间几何体与向量的综合知识，熟练运用向量的四则运算和对正四面体的熟悉程度，属于基础题.7.设，若，则下列关系式中正确的是a. b. c. d. 【答案】c【解析】，函数在上单调递增，因为，所以，所以，故选c【考点定位】1、基本不等式；2、基本初等函数的单调性【此处有视频，请去附件查看】8.已知双曲线c：，o为坐标原点，f为c的右焦点，过f的直线与c的两条渐近线的交点分别为m、n.若omn为直角三角形，则|mn|=a. b. 3c. d. 4【答案】b【解析】【详解】分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到，根据直角三角形的条件，可以确定直线的倾斜角为或，根据相关图形的对称性，得知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，求得，利用两点间距离公式求得的值.详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为，且右焦点为，从而得到，所以直线倾斜角为或，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为，可以得出直线的方程为，分别与两条渐近线和联立，求得，所以，故选b.点睛：该题考查的是有关线段长度的问题，在解题的过程中，需要先确定哪两个点之间的距离，再分析点是怎么来的，从而得到是直线的交点，这样需要先求直线的方程，利用双曲线的方程，可以确定其渐近线方程，利用直角三角形的条件得到直线的斜率，结合过右焦点的条件，利用点斜式方程写出直线的方程，之后联立求得对应点的坐标，之后应用两点间距离公式求得结果.二、填空题9.若双曲线离心率为，则渐近线方程为_，若，则_.【答案】 (1). (2). 16【解析】【分析】根据双曲线的离心率的定义 ，代入即可得到的关系式，再利用渐近线的定义即可写出答案.【详解】因为双曲线的离心率为.所以 所以双曲线的渐近线方程为。若，则故答案为：（1）（2）.【点睛】本题考查根据双曲线的离心率求双曲线的渐近线.属于基础题.要解本类题型需熟练掌握双曲线的离心率公式与，双曲线渐近线为.10.不等式的解集是，则_.【答案】14【解析】【分析】由不等式的解集求出对应方程的实数根，利用根与系数的关系求出的值，从而可得结果.【详解】不等式的解集是，所以对应方程的实数根为和，且，由根与系数的关系得，解得，故答案为.【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解集与一元二次不等式的根之间的关系，以及韦达定理的应用，属于简单题.11.设抛物线y2=4x的焦点为f，准线为l.则以f为圆心，且与l相切的圆的方程为_【答案】(x-1)2+y2=4.【解析】【分析】由抛物线方程可得焦点坐标，即圆心，焦点到准线距离即半径，进而求得结果.【详解】抛物线y2=4x中，2p=4，p=2，焦点f（1,0），准线l的方程为x=-1，以f为圆心，且与l相切的圆的方程为 (x-1)2+y2=22,即为(x-1)2+y2=4.【点睛】本题主要考查抛物线的焦点坐标，抛物线的准线方程，直线与圆相切的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12.已知，且，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】由题意首先求得的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意等号成立的条件.【详解】由可知，且：，因为对于任意，恒成立，结合均值不等式的结论可得：.当且仅当，即时等号成立.综上可得的最小值为.【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正各项均为正；二定积或和为定值；三相等等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误13.记为数列的前项和，若，则_.【答案】【解析】【分析】根据公式 ，化简即可得出答案.【详解】当时，.当时，因为化简得.所以数列为以为首项，为公比的等比数列.所以.故答案为：.【点睛】本题考查根据递推关系求数列的前项的和.属于基础题.解本类题型需熟练掌握公式.14.在数1和100之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，令，则数列的通项公式为_.【答案】【解析】分析】记这个数构成递增的等比数列为，则由，可得到,将化简后代入即可得出答案.【详解】记由个数构成递增的等比数列为，则，则.即所以，即 故答案为：.【点睛】本题考查等比数列的应用,属于中档题.解本题的关键在于由，得出代入化简.三、解答题15.等比数列的各项均为正数，且.（1）求数列的通项公式；（2）设 ，求数列的前项和.【答案】（1） （2） 【解析】试题分析：（）设出等比数列的公比q，由，利用等比数列的通项公式化简后得到关于q的方程，由已知等比数列的各项都为正数，得到满足题意q的值，然后再根据等比数列的通项公式化简，把求出的q的值代入即可求出等比数列的首项，根据首项和求出的公比q写出数列的通项公式即可；（）把（）求出数列an的通项公式代入设bnlog3a1log3a2log3an，利用对数的运算性质及等差数列的前n项和的公式化简后，即可得到bn的通项公式，求出倒数即为的通项公式，然后根据数列的通项公式列举出数列的各项，抵消后即可得到数列的前n项和试题解析：（）设数列an的公比为q,由9a2a6得9,所以q2由条件可知q0,故q由2a13a21得2a13a1q1,所以a1故数列an的通项公式为an（）bnlog3a1log3a2log3an（12n）故所以数列的前n项和为考点：等比数列的通项公式；数列的求和【此处有视频，请去附件查看】16.解关于的不等式.【答案】答案不唯一，见解析【解析】【分析】先讨论不等式是否为一元二次不等式,若为一元二次不等式，则解出其等式的两个根,讨论其开口方向与两根的大小关系，即可得出结论.【详解】解：（1）当时，原不等式可化为，此时不等式的解集为；（2）时，方程的解为，.当时，因为，所以不等式的解集为；当时，因为，所以不等式的解集为；当时，因为，所以不等式的解集为；当时，因为，所以不等式的解集为.【点睛】本题考查含参不等式的解法.属于中档题.解含参不等式.首先需确定不等式的类型：一次、二次、分式、绝对值.确定类型后再利用相应的解法求解.17.如图，平面，.（）求证：平面；（）求直线与平面所成角的正弦值；（）若二面角的余弦值为，求线段的长.【答案】（）见证明；（）（）【解析】【分析】首先利用几何体的特征建立空间直角坐标系()利用直线bf的方向向量和平面ade的法向量的关系即可证明线面平行；()分别求得直线ce的方向向量和平面bde的法向量，然后求解线面角的正弦值即可；()首先确定两个半平面的法向量，然后利用二面角的余弦值计算公式得到关于cf长度的方程，解方程可得cf的长度.【详解】依题意，可以建立以a为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系(如图)，可得.设，则.()依题意，是平面ade的法向量，又，可得，又因为直线平面，所以平面. ()依题意，设为平面bde的法向量，则，即，不妨令z=1，可得，因此有.所以，直线与平面所成角的正弦值为.()设为平面bdf的法向量，则，即.不妨令y=1，可得.由题意，有，解得.经检验，符合题意所以，线段的长为.【点睛】本题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.18.已知抛物线：经过点.（1）求抛物线的方程及其准线方程；（2）设为原点，过抛物线的焦点作斜率不为0的直线交抛物线于两点，直线分别交直线，于点和点.求证：以为直径的圆经过轴上的两个定点.【答案】（1）抛物线的方程为，准线方程为 （2）证明见解析【解析】【分析】（1）将点代入抛物线即可求出答案.（2）根据题意设出直线：、，联立直线与抛物线，即可得出.即可求出点、，要证以为直径的圆经过轴上的两个定点.则只需证明在轴上存在两点使.【详解】解：（）由抛物线：经过点，得.所以抛物线的方程为，其准线方程为.（）抛物线的焦点为，设直线的方程为.由，得.设，则.直线的方程为，令，得点的横坐标为.同理可得点的横坐标.设点，则.令，即，得或.综上，以为直径的圆经过轴上的定点和.【点睛】本题考查抛物线的其性质.属于中档题.解本题的关键在于将“以为直径的圆经过轴上的两个定点”等价转为“在轴上存在两点使”. 一般情况直线与圆锥曲线相交的关系,都需要设出直线联立直线与圆锥曲线，利用韦达定理得出根于系数的关系.19.已知数列满足， ，（n*）.（）写出的值；（）设，求的通项公式；（）记数列的前项和为，求数列的前项和的最小值.【答案】（）；（）;（）.【解析】试题分析：（）根据递推关系式写出前六项即可；（）利用等差数列定义证明是等差数列，并写出其通项公式；（）根据等差数列的性质写出，再证出是等比数列，写出通项公式，可知当时项是非正的，从而得其最小值.试题解析：（），； （）设，则，所以是以1为首项，2为公差的等差数列，所以.（）解法1：，所以是以1为首项，为公