解三角形的实际应用举例.ppt

3解三角形的实际应用举例 A B C a b c 解斜三角形理论应用于实际问题应注意 1 认真分析题意 弄清已知元素和未知元素 2 要明确题目中一些名词 术语的意义 如视角 仰角 俯角 方位角等等 3 动手画出示意图 利用几何图形的性质 将已知和未知集中到一个三角形中解决 正弦定理 余弦定理 1 已知两角和一边 求其他元素 已知三边 求三个角 2 已知两边和一边对角 求其他元素 2 已知两边和它们的夹角 求其他元素 仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角 目标视线在水平视线 时叫仰角 目标视线在水平视线 时叫俯角 如图所示 自学导引 1 上方 下方 方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角 如B点的方位角为 如图所示 2 方位角的其他表示 方向角 1 正南方向 指从原点O出发的经过目标的射线与正南的方向线重合 即目标在正南的方向线上 依此可类推正北方向 正东方向和正西方向 2 东南方向 指经过目标的射线是正东和正南的夹角平分线 如图所示 3 想一想 用三角形知识解决高度 角度问题的关键是什么 提示关键是将要解的问题归结到一个或几个三角形中 通过合理运用正 余弦定理等有关知识建立数学模型 然后求解 解三角形应用题的一般步骤 4 用三角形解实际问题的技巧有些实际问题常抽象成解三角形问题 一般有以下两种类型 1 已知量与未知量集中在一个三角形中可用正弦定理或余弦定理直接求解 2 已知量与未知量涉及两个 或多个 三角形时 在已知条件下 弄清哪个三角形可解 为解其他三角形需求可解三角形的哪个边 角 有时需设出未知量 由已知条件列出方程 然后解方程得出所要求的解 5 正弦定理 余弦定理是两个重要的定理 在解决与三角形有关的几何计算问题中有着广泛的应用 下面举例说明 例1自动卸货汽车采用液压机构 设计时需要计算油泵顶杠BC的长度 如图所示 已知车厢的最大仰角为60 指车厢AC与水平线夹角 油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1 95m AB与水平线之间的夹角为6 20 AC长为1 40m 计算BC的长度 结果精确到0 01 BC2 3 571 BC 1 89 m 答 顶杆BC约长1 89m AB2 AC2 2AB ACcosA D 解 由余弦定理 得 例2如图 两点 与烟囱底部在同一水平直线上 在点 1 1 利用高为1 5 的测角仪器 测得烟囱的仰角分别是 45 和 60 间的距离是12m 计算烟囱的高AB 结果精确到0 01m B A A1 C1 D1 分析 如图所示 因为AB AA1 A1B 又已知AA1 1 5m 所以只要求出A1B即可 1 解决实际应用问题的关键思想方法是什么 2 解决实际应用问题的步骤是什么 实际问题 数学问题 画出图形 解三角形问题 数学结论 分析转化 检验 答 把实际问题转化为数学问题 即数学建模思想 1 我军有A B两个小岛相距10海里 敌军在C岛 从A岛望C岛和B岛成60 的视角 从B岛望C岛和A岛成75 的视角 为提高炮弹命中率 须计算B岛和C岛间的距离 请你算算看 A C B 2 如图 一艘船以32海里 时的速度向正北航行 在A处看灯塔S在船的北偏东20 30分钟后航行到B处 在B处看灯塔S在船的北偏东65 方向上 求灯塔S和B处的距离 保留到0 1 解 AB 16 由正弦定理知 可求得BS 7 7海里 答 灯塔S