数学北师大版九年级下册面积最值问题.doc

二、解答重难点题型突破题型八 第25题几何探究题类型二面积最值问题针对演练1. 问题探究 如果一个正方形的四个顶点分别在三角形的各边上，那么就称这个正方形为此三角形的内接正方形 (1)如图，ABC为锐角三角形，请你在锐角ABC内作一个内接正方形； (2)如图，在等边ABC中，边长为2，请你作出其内接正方形EFGH，并计算正方形EFGH的边长； 问题解决 (3)如图，有一块圆心角为60，半径为a的扇形材料AOB，工人师傅为了截取面积较大的正方形以备后期工作使用，选择方案如下：作AOB的角平分线，交于点C，取OA、OB、的中点，并顺次连接，则所得四边形为所截取的正方形，请你尝试探究工人师傅所采取的方案是否能截取面积最大的正方形？若是，请求出该正方形的面积；若不是，请说出你的方案，并写出所截取正方形的最大面积第1题图2. (2017原创)如图所示的两个直角三角形中，AD90， B45，E30，用它们进行以下探究活动 探究活动：如图将DEF的顶点D放在ABC的BC边上的中点处，并以点D为旋转中心旋转DEF，使DEF的两直角边与ABC的两直角边分别交于M、N两点 (1)当点N是AC的中点时，四边形AMDN是什么图形？ (2)试判断在DEF旋转过程中所形成的DMN的形状，并说明理由； 问题应用： (3)将DEF的顶点D放在ABC的BC边上的点D处，且BD2DC2，以点D为旋转中心旋转DEF，两直角边与ABC的两直角边分别交于M、N两点，在旋转过程中，是否存在MN的值最小，同时使四边形MEFN面积最大的情况？若存在，求出MN的值，若不存在，请说明理由第2题图3. (2017原创)问题探究： (1)如图，点A、B分别在直线l1，l2上，且l1l2，点M是线段AB的中点，过点M画一条直线，分别交l1、l2于点C、D，使AMC与BMD的面积相等； (2)如图，在ABC中，过AC边的中点N任意作直线PQ，交BC边于点Q，交BA的延长线于点P，试比较CNQ与APN面积的大小，并说明理由； 拓展应用： (3)如图，已知MON60，点P是MON内一点，PCOM于点C，PC3，OC6，过点P作一条直线EF，使其分别交OM，ON于点E，F.EOF的面积是否存在最小值？若存在，求出此最小值，若不存在，请说明理由第3题图4. 我们将能完全覆盖某平面图形的最小正方形称为该平面的最小覆盖正方形例如圆的最小覆盖正方形就是其外切正方形 (1)请你直接画出如图中的等腰直角三角形的最小覆盖正方形； (2)请你直接画出如图中的边长为1的等边三角形的最小覆盖正方形，并求出此正方形的面积； 问题解决 (3)李大爷现有一个RtABC形鱼塘(如图)，其中A90，AC3，AB4.现在李大爷想把原来的鱼塘扩建成一个正方形鱼塘(原鱼塘周围的面积足够大)，为节省费用，要求原来位于三个顶点的三棵树在正方形的边上，且这个正方形尽可能的小，请你在图中画出扩建后的正方形的面积第4题图5. (2017原创)已知线段AB4，点P为线段AB上不确定的一点 (1)如图，分别以AP、BP为边在AB的同侧作等边APD和等边PBE，则是否存在一点P，使得APD和PBE的面积之和最小，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由； (2)如图，分别以AP、BP为边在AB的同侧作正方形APCD和正方形PBEF. APM的面积与CEM的面积有怎样的数量关系？请说明理由； 若APm，求CEM的面积；(用含m的式子表示) (3)如图，在正方形ABCD中，已知AB4，若要求平面内一点P，使其满足BPD90，且tanABP3，求此时BPD的面积第5题图6. (2016西安铁一中模拟)问题探究 (1)如图，ABDC，试在射线DC上找一点E，使S四边形ABCD SBDE，并指出四边形ACEB是何种四边形； (2)如图，在RtABC中，A90，AC4，将ABC绕C点顺时针旋转60得到ABC，补全图形并求出AAC的面积； 问题解决 (3)如图，在RtABC中，A60，AB4，点D在BC边上，且BD2，点G在AB边上，点E、F在AC边上，线段DE与线段GF交于点O，若DEGF，EOF60，试求出四边形DGEF面积的最小值第6题图答案:针对演练1. (1)【思维教练】先作一个小正方形，使其一条边在三角形的一边上，且有一顶点在另一条边上，然后以B为位似中心，作出与其位似且第四个顶点恰好在第三边上的正方形 解：如解图所示：在ABC内先作一个小正方形IJPQ，使得IJ边恰好在BC边上，且点Q恰好在AB边上，连接BP并延长交AC于点G，过点G作GHBC，交AB于H点，过点G作GNBC，过点H作HMBC，垂足分别为N，M，则正方形MNGH即所要求作的锐角ABC的内接正方形 第1题解图 (2)【思维教练】按照(1)的做法即可作得ABC的内接正方形EFGH，要计算正方形的边长可根据等边ABC及正方形的性质求得FDFG，再设正方形边长为m，在RtBEF中，利用三角函数即可求得m. 解：按照(1)的做法，即正方形EFGH为等边ABC的内接正方形，如解图，过点A作ADBC于点D，故根据等边三角形“三线合一”的性质可知： 点D为BC边上的中点，且BDBC1，FDFG，设正方形EFGH的边长为m，则BFBDFD1m， tanBtan60， ，解得m46， 正方形EFGH的边长为46；(3)【思维教练】要判断所截取的正方形是不是面积最大的正方形，即用(1)的方法作扇形的内接正方形并求出所作正方形的面积，与工人师傅所截取正方形面积作比较，即可得出正方形的最大面积 解：工人师傅采取的方案所截取的正方形不是面积最大的正方形 理由如下：新方案如解图，正方形EFGH的作法同问题(1)的作法一致，采用位似的有关知识； 设正方形EFGH的边长为x， 根据题意可知：OFx， OGOFFGxx， 根据勾股定理可得：OG2HG2OH2，而OH为扇形AOB的半径， 故可得方程：(xx)2x2a2，解得x2， 故S正方形EFGHx2 ， 而问题(3)中工人师傅所截取的正方形面积Saaa2， Sa2a2，1275，52， ， 新方案所截取的正方形面积最大，其最大面积为.2. 解：(1)当点N是AC中点时，四边形AMDN是正方形第2题解图 如解图，ANNC，BDDC， ABDN，DNAB， DNAA90， MDN90， 四边形AMDN是矩形， 又ANAC，DNAB，ABAC， ANDN， 矩形AMDN是正方形； (2)DEF在旋转过程中形成的DMN是等腰直角三角形 理由如下：如解图，连接MN，过点D作DQAB于点Q，作DHAC于点H，第2题解图 ABAC，A90， BC45， BDQ，CDH是等腰直角三角形， BDDC， DHDQ， 又1290，2390， 13， RtDMQRtDNH(ASA)， DMDN， 又EDF90， DMN是等腰直角三角形； (3)存在MN的最小值，同时使四边形MEFN面积最大的情况 如解图，过点D作DHAC于点H，过点D作DQAB于点Q，第2题解图 则四边形AHDQ是矩形，BDQ，CDH是等腰直角三角形 BD2DC2， BQDQ2，DHCH1. QDHEDF90， 1223， 13， RtDMQRtDNH， 2， 即DM2DN. 设DNx，则DM2x， MN2DM2DN25x2， DNDH， x1， 当x1时，MN2有最小值是5，此时MN . SDMNDMDN2xxx21， 当x1时，SDMN有最小值1. 此时S四边形MEFNSDEFSDMN有最大值 在旋转过程中，存在MN的值最小，同时使四边形MEFN面积最大情况，此时MN的值是.3. 解：(1)如解图，SAMCSBDM(等底等高的两三角形面积相等)第3题解图 直线CD即为所求 理由：l1l2， BDMACM， DBMCAM， 又M为AB的中点， BMAM， BDMACM(AAS)，SAMCSBDM； (2)如解图，SAPNSCNQ. 第3题解图 过点A作ADBC交PQ于点D，则点D在线段PN上 点N是AC的中点， ANNC， ADBC， DANNCQ， 又ANDCNQ， ADNCQN(ASA)， SADNSCQN， SAPNSAPDSADNSCNQ； (3)EOF的面积存在最小值，如解图. 过点P作直线EF分别交OM、ON于点E、F，当PEPF时，则EOF的面积最小第3题解图 理由：过点P任意作一条直线EF(不与EF重合)交OM、ON于点E、F， 由(2)知SFPFSEPE， SFPFS四边形PFOESEPES四边形PFOE， 即SFOESFOE， SEOF最小， 过点F作FDOM于点D. FDOM，PCFD. 又PEPF， FD2PC236. 在RtDOF中，DOF60， tan60， OD2， OC6， CDOCOD624， PEPF，PCFD， DE2CD248， OEODDE10， SEOFOEFD10630. 当PEPF时，EOF的面积存在最小值，最小值是30.4. (1)【思维教练】分别过点C、B作AB、BC的平行线，交点为D，即可画出最小覆盖正方形第4题解图 解：如解图，正方形ABDC即为所求的最小覆盖正方形 解法提示：过点C作AB的平行线，过点A作BC的平行线，两条直线交点为D，则正方形ABDC即为所求的最小覆盖正方形 (2)【思维教练】作ABC的中线AM，并延长AM到E，使MEMB，连接EB、EC，过点A分别作EB、EC的垂线，即可得最小覆盖正方形根据画图求出正方形的边长，即得面积第4题解图 解：如解图，正方形ADEF即为所求的最小覆盖正方形 解法提示：作ABC的中线AM， 延长AM到E，使MEMB， 连接EB、EC， 过点A作EB、EC的垂线，分别交EB、EC的延长线于点D、F， 则正方形ADEF即为所求的最小覆盖正方形 由画图知：AM，MB， AEAMEM， 设正方形ADEF的边长为a，则a，解得a， 正方形ADEF的面积为：()2. (3)【思维教练】根据题意画出此三角形的最小覆盖正方形由题意易证ACDBAE，根据对应线段成比例可求得，于是可设CDx，正方形的边长为a，利用勾股定理可得x a，则AEa，根据勾股定理可求得a2，即正方形的面积第4题解图 解：如解图，正方形BEDF即为所求的最小覆盖正方形 ACDDAC90，DACBAE90， ACDBAE， DE90， ACDBAE， ， AC3，AB4， ， 设CDx，正方形的边长为a，则AEx，ADax，CFax， AC2AB2BC2， CD2AD2AE2BE2BF2CF2， x2(ax)2(x)2a2a2(ax)2，解得xa， AExaa， AE2BE2AB2， (a)2a242，解得a2 . 最小覆盖正方形的面积为： ； 扩建后得正方形DFBE的面积如解图.5. 解：(1)存在；如解图，分别过点D、E作DFAP、EGPB，垂足分别为F、G，第5题解图 设APx，则BP4x，APD和PBE的面积和为S， 在RtADF和RtEBG中， sinA，sinB， DFsinAADx，EGsinBEB(4x)， SAPDFBPEG xx(4x)(4x) x22x4 (x2)22. 当x2时，S最小2； (2)SAPMSCEM.理由如下：第5题解图 如解图，连接PE， 四边形APCD是正方形， PAC45， 四边形PBEF是正方形， EPB45， ACEP， APC与ACE的边AC上的高相等， APC与ACE同底， SAPCSACE， SAPCSACMSACESACM， 即SAPMSCEM； APEF，FEMPAM，FMEAMP， APMEFM， 设CMx，则FM4mmx42mx， ，即， 解得x， SCEMCMEF(4m)(4m)； (3)如解图，连接BD，作正方形ABCD的外接圆O，过点A作AEBP于点E，连接AP、DP、BP，第5题解图 BPD90，则点P在正方形ABCD的外接圆O上， 在RtABE中，设BEx， tanABP3， AE3x， 又BE2AE2AB2， x2(3x)242， 解得x， AE，APDABDEPA45， PAEAPE45， PEAE， PB， 又AB4，BDAB4. 在RtBDP中，DP2(4)2()2， 解得DP. SBPD.6. (1)【思维教练】过点B作AC的平行线，交DC的延长线于点E即可；再根据已知条件和作法可判断四边形ACEB是平行四边形 解：如解图所示，连接AC，过点B作AC的平行线，交DC的延长线于点E，则点E即为所求点，过点A作AHCD于H点，则： S四边形ABCD(ABDC)AH.第6题解图 ABCE，ACBE. 四边形ACEB是平行四边形， ABCE. SBDE(DCCE)AH(ABDC)AHS四边形ABCD， S四边形ABCDSBDE. 【一题多解】【思维教练】作BC的中点F，连接AF，并延长交DC的延长线于点E，再根据已知条件和作法可判断出四边形ACEB是平行四边形第6题解图 解：如解图所示，作BC的中点F，连接AF，并延长交DC的延长线于点E.点E即为所求作的点，