高等数学多元函数微分学习题集锦.pdf

第七章多元函数微分法及其应用第七章多元函数微分法及其应用 习 题 课习 题 课 一 主要内容一 主要内容 二 典型例题二 典型例题 三 作业三 作业 第七章 多元函数微分法 习题课 平面点集 和区域 平面点集 和区域 平面点集 和区域 平面点集 和区域 多元函数 的极限 多元函数 的极限 多元函数 的极限 多元函数 的极限 多元函数 连续的概念 多元函数 连续的概念 多元函数 连续的概念 多元函数 连续的概念 极 限 运 算极 限 运 算 极 限 运 算极 限 运 算 多元连续函数 的性质 多元连续函数 的性质 多元连续函数 的性质 多元连续函数 的性质 多元函数概念多元函数概念 多元函数概念多元函数概念 一 主要内容一 主要内容 第七章 多元函数微分法 习题课 全微分 的应用 全微分 的应用 全微分 的应用 全微分 的应用 高阶偏导数高阶偏导数 高阶偏导数高阶偏导数 隐函数 求导法则 隐函数 求导法则 隐函数 求导法则 隐函数 求导法则 复合函数 求导法则 复合函数 求导法则 复合函数 求导法则 复合函数 求导法则 全微分形式 的不变性 全微分形式 的不变性 全微分形式 的不变性 全微分形式 的不变性 微分法在 几何上的应用 微分法在 几何上的应用 微分法在 几何上的应用 微分法在 几何上的应用 方向导数方向导数 方向导数方向导数 多元函数的极值多元函数的极值 多元函数的极值多元函数的极值 全微分 概念 全微分 概念 全微分 概念 全微分 概念 偏导数 概念 偏导数 概念 偏导数 概念 偏导数 概念 第七章 多元函数微分法 习题课 多元函数连续 可导 可微的关系多元函数连续 可导 可微的关系 函数连续函数连续 函数可微函数可微 偏导数连续偏导数连续 函数可偏导函数可偏导 方向导数存在方向导数存在 第七章 多元函数微分法 习题课 例1例1 解解 lim 22 0 0 yx xxy y x 求极限求极限 0 sin cos yx令令 0 0 0 等价于则等价于则yx cos cos sin 0 2 22 yx xxy cos cos sin 2 0 lim 22 0 0 yx xxy y x 故故 二 典型例题二 典型例题 第七章 多元函数微分法 习题课 求 设 求 设 222 00 0 axyxy f x y 或 其它 其中其中0a 0 0 0 0 xy ff 解解 x y z O 22 0 lim x axa x 2 220 lim x x xaxa 0 0f x fxf f x x 0 0 0 lim 0 0 0 0 0 0 y 同理可得 同理可得 f 例2例2 第七章 多元函数微分法 习题课 因点因点P沿 直线 沿 直线 0 ykx k 趋于趋于 0 0 时 时 0f x y 0 Px 而点沿轴趋于 而点沿轴趋于 0 0 时 时 f x y 22 axa 所以所以 0 0 lim x y f x y 不存在 从而 不存在 从而 f x y在在 0 0 不连续 不连续 但极限但极限 0 0 lim x y f x y 不存在 不存在 222 00 0 axyxy f x y 或 其它 第七章 多元函数微分法 习题课 例3 例3 设设 uf x y z 有二阶连续偏导数 且有二阶连续偏导数 且 2 sin zxt ln txy 求求 2 uu xx y u 解 解 x y z x t x y u x 1 f 3 f 2 sinxt 2 cosxt 1 xy 1 f 3 f x y z x t x y 第七章 多元函数微分法 习题课 例4例4 解解 2 2 2 3 yx z y z y z f x y xyfxz 求 具有二阶连续偏导数设 求 具有二阶连续偏导数设 3 12 1z xf xf yx 2 2 1 4 fxfx 2 2 z y 2 2212 3 11 5 fxfxfx xy y x x f y 1 f 4 x 1112 1 f xf x 2 x 2122 1 f xf x 2 f 第七章 多元函数微分法 习题课 xy z yx z 22 34 1 4x fx 2 2 1 4 fxfx x 24 2211 4 21 3 f yf yxfxfx 2 2122 2 y xf yf x 1112 2 y f yf x 2 2xf 42 12 z x fx f y xy y x 12 ff x y 第七章 多元函数微分法 习题课 例5例5 解解 0 sin 0 2 dx du z f xyzexzyxfu y 求且 具有一阶连续偏导数 设 求且 具有一阶连续偏导数 设 dx dz z f dx dy y f x f dx du cosx dx dy 显然 显然 dx dz 求求得的导数两边求对得的导数两边求对 0 2 xzex y 02 321 dx dz dx dy ex y 于是于是 cos2 1 2 sin 1 3 xex dx dz x cos2 1 cos 2 sin 1 3 z f xex y f x x f dx du x 故故 第七章 多元函数微分法 习题课 解法解法1 的函数 都看成是以及将方程组的变元的函数 都看成是以及将方程组的变元xzyu 得求导方程组各方程两边对得求导方程组各方程两边对 x 1 xy dudy ff dxdx 0 2 xyz dydz ggg dxdx 0 3 xz dz hh dx 例6例6 0 0 uf x y g x y z h x z u x 0 0 gh yz du dx 求求 设函数设函数由方程组由方程组 所确定 所确定 且试且试 第七章 多元函数微分法 习题课 0 xz dz hh dx x z dzh dxh 由由 3 zxx yzy ghdyg dxghg 由由 2 yxyzx x yyz fgfgh du f dxggh 代入代入 1 得得 0 xyz dydz ggg dxdx xy dudy ff dxdx 及上式得及上式得 得得 第七章 多元函数微分法 习题课 解法解法2 0 0 ufx y g x y z h x z du dx 求求 全微分形式不变性 全微分形式不变性 1 xy dufdxfdy 0 2 xyz gdxgdygdz 0 3 xz hdxh dz 由由 2 3 消去消去 dz解出解出dy 代入代入 1 得得 yxyzx x yyz fgfgh dufdx ggh 即即 yxyzx x yyz fgfgh du f dxggh 第七章 多元函数微分法 习题课 解法解法3隐函数求导法 隐函数求导法 uf x y x z f x y x z x du dx x f y f zx dz dx yy 0 0 ufx y g x y z h x z du dx 求求 x x y g y g z z y g y g x z dzh dxh 由隐函数求导法则由隐函数求导法则 yxyzx x yyz fgfgh du f dxggh 第七章 多元函数微分法 习题课 x z d d 0 23 FFfx x z d d 1 F 23 FFfx 1 32 FF fx 12 FF fxffx 221 FffFxfFx fxf x z x y fx d d d d 132 d d d d F x z F x y F f fx d d 1 x y x y F d d 2 0 d d 3 x z F 设设 0 其中其中f 与与F分别具有一阶导数或偏导数分别具有一阶导数或偏导数 求求 zx f xyF x y z 99 考研 99 考研 解法解法1 方程两边对方程两边对 x 求导求导 得得 d d x z 第七章 多元函数微分法 习题课 解法解法2 0zx f xyF x y z 方程两边求微分方程两边求微分 得得 化简 消去即可得 yd d d x z yFd 2 0d 3 zF yfx d 0d z d dddyxfxxfz 0ddd 321 zFyFxF xfxfd xF d 1 第七章 多元函数微分法 习题课 例7 例7 求曲线求曲线 04532 03 222 zyx xzyx 在点 1 1 1 在点 1 1 1 解 解 点 1 1 1 处两曲面的法向量为点 1 1 1 处两曲面的法向量为 2 2 1 因此切线的方向向量为因此切线的方向向量为 1 9 16 由此得由此得切线切线 111 zyx 1691 法平面法平面 0 1 1 9 1 16 zyx 024916 zyx即即 的切线与法平面 的切线与法平面 1 1 1 1 2 2 32 zyxn 5 3 2 2 n 21 nnl 第七章 多元函数微分法 习题课 2222 2f x yxyx y 求二元函数求二元函数 22 4 0Dx yxyy 上的最大值与最小值上的最大值与最小值 在闭区域在闭区域 最大值为8 最小值为0 最大值为8 最小值为0 07 考研考研 第七章 多元函数微分法 习题课 解解 在第一卦限内作椭球面在第一卦限内作椭球面1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 的切平面 使切平面与三个坐标面所围成的 四面体体积最小 求切点坐标并求此最小体积 的切平面 使切平面与三个坐标面所围成的 四面体体积最小 求切点坐标并求此最小体积 过过 000 zyxP 的切平面方程为 则 的切平面方程为 则 0 2 2 xP x F a 0 2 2 yP y F b 0 2 2 zP z F c 令令 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x zyxF 设设 000 zyxP 为椭球面上一点 为椭球面上一点 例8例8 第七章 多元函数微分法 习题课 02 0 xx a x 02 0 yy b y 0 02 0 zz c z 该切平面在三个轴上的截距分别为该切平面在三个轴上的截距分别为 222 000 222 1 xyz abc 求函数求函数V在条件 下的最小值 在条件下的最小值 2 0 a x x 2 0 b y y 2 0 c z z 所围四面体的体积所围四面体的体积 0 222 00 1 66 a b c Vxy x z y z 化简为化简为 000 222 1 x xy yz z abc 第七章 多元函数微分法 习题课 000 L xy z 000 lnlnlnzyx 222 000 222 1 xyz abc 由由 0 0 2 0 12 0 y y L yb 0 0 2 0 12 0 z z L zc 222 000 222 10 xyy L abc 0 0 2 0 12 0 x x L xa 222 000 222 ln1 xyz uxyz abc 转化为在下的极值转化为在下的极值 得得 0 0 0 3 3 3 a x b y c z 第七章 多元函数微分法 习题课 可得可得 当切点坐标为当切点坐标为 333 abc 时 四面体的体积最小 时 四面体的体积最小 min 3 2 Vabc 222 000 6 a b c V x y z 其最小体积为其最小体积为 0 0 0 3 3 3 a x b y c z 由实际问题由实际问题 最小值一定存在最小值一定存在 而驻点唯一而驻点唯一 故故 第七章 多元函数微分法 习题课 例9 例9 要设计一个容量为要设计一个容量为 0 V 则问题为求则问题为求x y 令令 解方程组解方程组 解解 设设 x y z 分别表示长 宽 高分别表示长 宽 高 下水箱表面积下水箱表面积 最小最小 z 使在条件使在条件 x F02 zyyz y F02 zxxz z F0 2 yxyx F0 0 Vzyx 水箱长 宽 高等于多少时所用材料最省 水箱长 宽 高等于多少时所用材料最省 的长方体开口水箱的长方体开口水箱 试问试问 0 Vzyx yxzyzxS 2 2 0 VzyxyxzyzxF x y z 第七章 多元函数微分法 习题课 得唯一驻点得唯一驻点 22 3 0 Vzyx 3 0 2 4 V 由题意可知合理的设计是存在的由题意可知合理的设计是存在的 因此因此 当高为当高为 长 宽为高的长 宽为高的 2 倍时 所用材料最省倍时 所用材料最省 3 4 0 V x y z 思考思考 1 当水箱封闭时当水箱封闭时 长 宽 高的尺寸如何长 宽 高的尺寸如何 提示提示 利用对称性可知利用对称性可知 3 0 Vzyx 2 当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时 欲使造价欲使造价 最省最省 应如何设拉格朗日函数应如何设拉格朗日函数 长 宽 高尺寸如何长 宽 高尺寸如何 提示提示 2 0 VzyxyxzyzxF 2 长 宽 高尺寸相等长 宽 高尺寸相等 第七章 多元函数微分法 习题课 测 验 题测 验 题 1 设1 设 其中其中 f 与与F分别具分别具0 zx f xyF x y z 有一阶导数或偏导数 求 有一阶导数或偏导数 求 d d z x 22 11 345 0 xyz xy x y 2 求平面和柱面的交线上 到面距离最短的点 2 求平面和柱面的交线上 到面距离最短的点 99 考研 99 考研 第七章 多元函数微分法 习题课 3 3 22 lim 22 0 0 yx y x yx A 0 B 1 C 2 D A 0 B 1 C 2 D e 4 函数 4 函数 yxf在点在点 00 yx处连续 且两个偏导数 处连续 且两个偏导数 0000 yxfyxf yx 存在是存在是 yxf在该点可微 的 A 充分条件 但不是必要条件 B 必要条件 但不是充分条件 C 充分必要条件 D 既不是充分条件 也不是必要条件 在该点可微 的 A 充分条件 但不是必要条件 B 必要条件 但不是充分条件 C 充分必要条件 D 既不是充分条件 也不是必要条件 第七章 多元函数微分法 习题课 5 设 5 设 yxf 0 0 0 1 sin 22 22 22 22 yx yx yx yx 则在原点 则在原点 0 0 处处 yxf A 偏导数不存在 B 不可微 C 偏导数存在且连续 D 可微 6 设 A 偏导数不存在 B 不可微 C 偏导数存在且连续 D 可微 6 设 yxvvvxfz 其中其中vf 具有二阶连续偏 导数 则 具有二阶连续偏 导数 则 2 2 y z A A 2 22 y v v f y v yv f B B 2 2 y v v f C C 2 2 2 2 2 y v v f y v v f D D 2 2 2 2 y v v f y v v f 第七章 多元函数微分法 习题课 7 曲面 7 曲面 0 3 aaxyz的切平面与三个坐标面所围 成的四面体的体积 V A 的切平面与三个坐标面所围 成的四面体的体积 V A 3 2 3 a B B 3 3a C C 3 2 9 a D D 3 6a 8 二元函数 8 二元函数 33 3yxyxz 的极值点是 A 1 2 B 1 2 C 1 2 D 1 1 9 函数 的极值点是 A 1 2 B 1 2 C 1 2 D 1 1 9 函数zyxusinsinsin 满足 满足 0 0 0 2 zyxzyx 的条件极值是 A 1 B 0 C 的条件极值是 A 1 B 0 C 6 1 D D 8 1 第七章 多元函数微分法 习题课 10 设函数 10 设函数 yxvvyxuu 在点在点 yx的某邻 域内可微分 则 在点 的某邻 域内可微分 则 在点 yx处有 处有 uv grad Auv Buvvu Cuv Dvu gradgrad gradgrad grad grad 二 讨论函数 二 讨论函数 33 yx yx z 的连续性 并指出间断点类型 的连续性 并指出间断点类型 第七章 多元函数微分法 习题课 三 求下列函数的一阶偏导数 1 三 求下列函数的一阶偏导数 1 y xz ln 2 2 yxzxyzxyxfu 3 3 00 0 22 22 22 2 yx yx yx yx yxf 四 设 四 设 zxfu 而 而 yxz是由方程是由方程 zyxz 所 确的函数 求 所 确的函数 求du 五 设五 设 y xeuyxuz 其中 其中f具有连续的二阶偏导 数 求 具有连续的二阶偏导 数 求 yx z 2 第七章 多元函数微分法 习题课 六 设六 设uvzveyvex uu sin cos 试求 试求 x z 和和 y z 七 设 七 设x轴 正 向 到 方 向轴 正 向 到 方 向l的 转 角 为的 转 角 为 求 函 数求 函 数 22 yxyxyxf 在点 1 1 沿方向在点 1 1 沿方向l的方向导 数 并分别确定转角 的方向导 数 并分别确定转角 使这导数有 1 最大值 2 最小值 3 等于零 八 求平面 使这导数有 1 最大值 2 最小值 3 等于零 八 求平面1 543 zyx 和柱面和柱面1 22 yx的交线上与的交线上与 xoy平面距离最短的点 平面距离最短的点 九 在第一卦限内作椭球面九 在第一卦限内作椭球面1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 的切平面 使该切平面与三坐标面所围成的四面体的体积最 小 求这切平面的切点 并求此最小体积 的切平面 使该切平面与三坐标面所围成的四面体的体积最 小 求这切平面的切点 并求此最小体积 第七章 多元函数微分法 习题课 一 1 A 2 B 3 B 4 B 5 D 6 C 7 A 8 A 9 D 1