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文档简介

恒成立问题常见类型及解法 问题引领 已知不等式对恒成立求正实数的取值范围 思路1 通过化归最值 直接求函数的最小值解决 即 思路2 通过分离变量 转化到解决 即 思路3 通过数形结合 化归到作图解决 即图像在的上方 概括方法 恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型 1 一次函数型 2 二次函数型 3 变量分离型 4 直接转化为函数的最值求解 5 根据函数的图象求解 下面分别举例示之 f x ax b x 根据函数的图象 线段 得 f x 0恒成立 f x 0恒成立 一 一次函数型 二 二次函数型 一元二次不等式ax2 bx c 0 a 0 或ax2 bx c0 的解集与二次函数 二次方程的关系 x xx2 x x1 x x2 x x b 2a 方法一 判别式法 三 分离参数型 转化为求新函数最值 理论阐释 若在等式或不等式中出现两个变量 其中一个变量的范围已知 另一个变量的范围为所求 且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边 则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解 f x 恒成立的充要条件是 f x 恒成立的充要条件是 延伸拓展 若存在a使得 f x 的充要条件 若存在a使得 f x 充要条件是 四 恒成立问题直接转化为函数最值问题 五 把不等式恒成立问题转化为函数图象问题 理论阐释 若把不等式进行合理的变形后 能非常容易地画出不等号两边对应函数的图象 这样就把一个很难解决的不等式的问题转化为利用函数图象解决的问题 然后从图象中寻找条件 就能解决问题 若不等式在区间D上恒成立 则等价于在区间D上函数的图象在函数图象的上方 若是小于则在下方 2 二次函数型问题 结合抛物线图像 转化成最值问题 分类讨论 3 对于f x g x 型问题 利用数形结合思想转化为函数图象的关系再处理 4 通过分离参数 将问题转化为 f x 或 f x 恒成立 再运用不等式知识或求函数最值的方法 使
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