北京化工大学《工程计算方法》2025-2026学年期末试卷

北京化工大学《工程计算方法》2025-2026学年期末试卷

一、单项选择题（总共10题，每题3分，每题只有一个正确答案，请将正确答案填在括号内）1.用二分法求方程$f(x)=0$在区间$[a,b]$内的根，要求满足（）。A.$f(a)f(b)>0$B.$f(a)f(b)<0$C.$f(a)f(b)=0$D.以上都不对2.高斯消去法解线性方程组时，可能会出现（）。A.计算精度问题B.系数矩阵奇异C.迭代不收敛D.以上都是3.对于矩阵$A$，其特征值$\lambda$满足（）。A.$|A-\lambdaI|=0$B.$|A+\lambdaI|=0$C.$A\lambda=0$D.以上都不对4.已知函数$f(x)$在区间$[a,b]$上有二阶连续导数，用牛顿法求$f(x)=0$的根时，其收敛速度为（）。A.线性收敛B.超线性收敛C.平方收敛D.三次收敛5.数值积分中，辛普森公式的代数精度为（）。A.1B.2C.3D.46.求解常微分方程初值问题的欧拉方法是（）。A.单步法B.多步法C.显式方法D.隐式方法7.对于线性方程组$Ax=b$，若$A$为对称正定矩阵，则用（）迭代法求解收敛。A.雅可比迭代B.高斯-赛德尔迭代C.超松弛迭代D.以上都可以8.用拉格朗日插值法构造插值多项式时，要求节点（）。A.互不相同B.可以相同C.部分相同D.以上都不对9.数值方法求解非线性方程$f(x)=0$时，迭代格式$x_{n+1}=g(x_n)$收敛的充分条件是（）。A.$|g'(x)|<1$B.$|g'(x)|>1$C.$g(x)$连续D.以上都不对10.计算矩阵的条件数时，与（）范数有关。A.1-范数B.2-范数C.$\infty$-范数D.以上都可以二、多项选择题（总共5题，每题4分，每题至少有两个正确答案，请将正确答案填在括号内）1.以下哪些方法属于数值积分方法（）。A.梯形公式B.辛普森公式C.高斯积分公式D.欧拉公式2.求解线性方程组的直接法有（）。A.高斯消去法B.列主元高斯消去法C.三角分解法D.雅可比迭代法3.对于数值微分，以下说法正确的是（）。A.可以用差商近似导数B.中心差商比向前差商精度高C.步长越小，计算结果越准确D.存在误差4.用牛顿迭代法求解非线性方程$f(x)=0$时，以下说法正确的是（）。A.需要计算$f(x)$的导数B.迭代格式为$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$C.收敛速度较快D.对初值要求不高5.关于矩阵的特征值和特征向量，以下说法正确的是（）。A.特征向量非零B.不同特征值对应的特征向量线性无关C.矩阵的迹等于特征值之和D.矩阵的行列式等于特征值之积三、判断题（总共10题，每题2分，请判断对错，在括号内填“√”或“×”）1.二分法一定能求出方程在给定区间内的根。（）2.高斯消去法解线性方程组时，不会出现舍入误差。（）3.矩阵的谱半径小于1时，迭代法收敛。（）4.数值积分的梯形公式比辛普森公式精度高。（）5.欧拉方法求解常微分方程初值问题的精度较低。（）6.拉格朗日插值多项式在插值节点处与被插函数值相等。（）7.用牛顿迭代法求解非线性方程时，若$f'(x_n)=0$，则迭代失败。（）8.数值方法求解线性方程组时，条件数越大，方程组越病态。（）9.高斯积分公式是高精度的数值积分公式。（）10.求解常微分方程初值问题的多步法比单步法精度高。（）四、解答题（总共3题，每题20分）1.已知线性方程组$\begin{cases}2x_1-x_2+3x_3=1\\4x_1+2x_2+5x_3=4\\2x_1+2x_2+2x_3=6\end{cases}$用列主元高斯消去法求解该方程组。2.设函数$f(x)=x^3-2x-5$，用牛顿迭代法求$f(x)=0$在区间$[2,3]$内的根，取初值$x_0=2.5$，计算迭代一次后的结果。3.已知函数$f(x)$在区间$[0,1]$上的函数值如下：$f(0)=1$，$f(0.25)=1.2840$，$f(0.5)=1.6487$，$f(0.75)=2.1170$，$f(1)=2.7183$用三次样条插值法求$f(x)$在区间$[0,1]$上的插值函数$S(x)$，并计算$f(0.3)$的近似值。五、证明题（总共1题，每题20分）设$A$为$n$阶对称正定矩阵，证明：雅可比迭代法