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期末复习 信号与系统 第一章与第五章 重点1 信号及其运算 1 信号2 信号的运算 P7 P15 信号的加减 P12 信号的时移 折叠和尺度变换 3 信号的波形 P7 4 周期信号 P2 2 系统1 线性系统 P25 2 时不变系统 P27 3 因果系统 P24 4 离散系统 P256 一 信号的运算 1 画出下列信号的波形 P7 P15 信号的加减 1 f t 3u t 1 2u t 4u t 1 u t 5 2 f t 2 t 2 t 1 t 2 t 1 3 t 2 4 t 3 2 已知f t 的波形如下图所示 试画出 1 2 f 2t 3 f 2t 3 的波形 列出中间步骤 P12 信号的时移 折叠和尺度变换 解 1 折叠 2 时移3 尺度 3 判断下列信号是否周期信号 如是 请确定其周期 P2 T是T1和T2的最小公倍数 1 3 1 2 1 3 2 二 系统及其性质 1 线性系统 1 可分解性2 零输入线性3 零状态线性2 时不变系统 3 因果系统 响应仅与该时刻和以前时刻的输入有关 判断下列系统是否属于线性系统 时不变系统 P25 P27 1 1 15 1 1 线性 时不变2 3 1 15 2 1 非线性 时变2 3 线性 时变 3 习题1 16 2 1 y t f t u t 线性 时变2 y t f t f t 1 u t 4 习题1 16 3 1 y t sin f t u t 非线性 时变2 y t sin2 f t sin f t u t 离散系统 5 P256 例5 2 1 1 5 2 2 1 1 y n T x n ax n b 是非线性系统 时不变系统 2 y n ax n bx n 1 c 6 P257 例5 2 2 2 1 y n T x n nx n 是线性 时变系统2 y n n3x n 第二章时域解法 重点1 求系统的全响应的时域解法2 卷积及其运算 一 时域解法 1 用算子法解零输入响应yzi 2 用卷积解零状态响应yzs 注意 1 微分方程的算子表示法 2 单位冲激响应h t 3 卷积的积分表示式及计算 例2 2 1已知系统的传输算子H p 2p p 3 p 4 初始条件yzi 0 1 试求系统的零输入响应 解特征根 1 3 2 4零输入响应形式为yzi t C1e 3t C2e 4tt 0将特征根及初始条件y 0 1 y 0 2代入1 C1 C22 3C1 4C2 解出C1 6C2 5 yzi t 6e 3t 5e 4tt 0 例求上例的单位冲激响应h t 解传输函数由待定系数法分解为 可得h t 6e 3t 8e 4t u t 是数学卷积运算的一种形式 因此也称卷积法 积分变量为 t仅是参变量 计算时按常数处理 卷积计算步骤第一步 变量转换 将f t 变为f h t 变为h t 第二步 将f 与h t 两个函数相乘 第三步 确定积分上 下限 也就是找到f h t 相乘后的非零值区 最后 对f h t 积分得出零状态响应yzs t 例已知激励f t u t h t 6e 3t 8e 4t u t 用时域法求yzs t 解 例已知激励f t e tu t h t 6e 3t 8e 4t u t 用时域法求yzs t 解 练习 例 P792 19 例 P792 19 已知系统的微分方程为 试求系统的全响应 解 1 零输入响应 零输入响应形式为yzi t C1e t C2e 2tt 0将特征根及初始条件y 0 1 y 0 2代入1 C1 C22 C1 2C2C1 4C2 3 yzi t 4e t 3e 2tt 0 2 零状态响应 1 求h t 2 求零状态响应 3 全响应y t 二 卷积的运算 1 例 用图解法计算 第三章傅里叶变换 重点1 傅里叶级数 P83 P85 2 傅里叶变换的定义和存在的条件 P97 3 傅里叶变换性质 P117 4 利用傅里叶变换性质求解 一 傅里叶级数 周期信号f t f t T 若周期函数f t 满足狄里赫利条件 1 在一周内连续或有有限个第一类间断点 2 一周内函数的极值点是有限的 3 一周内函数是绝对可积的 即f t 可以展开为三角形式的傅里叶级数 式中 0 2 T是基波角频率 简称基波频率 利用三角函数的边角关系 将一般三角形式化为标准的三角形式 两种三角形式系数的关系为 复指数形式的傅里叶级数表示 F n 0 是复常数 通常简写为Fn Fn还可以表示成模和幅角的形式 三角函数标准形式中cn是第n次谐波分量的振幅 但在指数形式中 Fn要与相对应的第 n项F n合并 构成第n次谐波分量的振幅和相位 指数形式与三角形式系数之间的关系为 例已知周期信号f t 如下 画出其频谱图 解 将f t 整理为标准形式 频谱图 a 振幅图 b 相位图 指数形式频谱图如下图所示 频谱图 a 振幅图 b 相位图 二 用性质求解傅里叶变换 F 振幅谱密度函数 简称振幅谱 相位谱密度函数 简称相位谱 存在条件 或 傅里叶变换对 性质2 时延 时移 移位 性若f t F 则 记住 P98 P102常用函数的傅里叶变换 P117傅里叶变换性质 例 求如下图所示信号f1 t 的频谱函数F1 并作频谱图 解 f1 t 与门函数的关系为 由门函数的变换 再由线性与时移性 得到 振幅 相位频谱 练习 a f1 t 与门函数f t 的关系为 性质7 频域微分特性若f t F 则 一般频域微分特性的实用形式为 求f t te atu t 的频谱函数F 解 利用 性质11 频域卷积定理若f1 t F1 f2 t F2 则 例 P1673 15 解 性质3 频移性若f t F 则 信号在时域中乘 频域中整个频谱搬移 0 信号在时域中搬移t0 频域中乘 例 P1673 15 解 第四章拉氏变换 重点1 拉氏变换 单边 的定义和收敛区 P175 2 常用函数的拉氏变换 P177 3 拉氏变换性质 P191 4 利用拉氏变换性质求解5 拉氏反变换 部分分式展开法 6 最小相位系统和全通系统 单边拉氏变换 4 1 6 式中称s j 为复频率 F s 为象函数 f t 为原函数 收敛区的范围若f t 是随时间衰减的 00 的 0 a 其拉氏变换的收敛区如图4 1 2 a 所示 f t 是随时间不变的 0 0 例如u t sin 0tu t 其拉氏变换的收敛区如图4 1 2 b 所示 f t 是随时间增长的 0 0 例如eatu t a 0 的 0 a 其拉氏变换的收敛区如图4 1 2 c 所示 图4 1 2收敛区示意图 一 利用性质求下列各题 性质2 时延 移位 延时 特性 若 则 性质4 尺度变换 若则 性质2 时延 移位 延时 特性 若 性质3 频域平移特性 若 则 a 0 例4 2 7已知f t F s 求f1 t e t af t a 的象函数F1 s 解先频移 后尺度 例4 2 8求 u at 的象函数 解 性质9 初值定理 设有f t f t 且L f t L f t 存在 则 初值定理只适用f t 在原点处没有冲激的函数 性质10 终值定理 设有f t f t 且L f t L f t 存在 则f t 的终值 终值适用的条件是sF s 的所有极点在s平面的左半面 F s 可有在原点处的单极点 例4 2 11已知求f t f 0 解 验证 二 拉氏反变换 部分分式展开法 例4 3 1 已知象函数 求原函数f t 例4 3 2已知象函数求原函数f t 解 例 三 系统函数的零 极点 P208 分解系统函数的分子分母两个多项式 可得 H s 的极点 H s 分母多项式D s 的根pi i 1 2 n 有n个 H s 的零点 H s 分子多项式N s 的根zj j 1 2 m 有m个 若H s 是实系数的有理函数 其零 极点一定是实数或共轭成对的复数 例已知某系统的系统函数如下 求系统的零 极点 解 n 4 极点为p1 1 二阶 p3 j2 p4 j2 m 3 零点为z1 0 z2 1 j z3 1 j 将系统函数的零 极点准确地标在s平面上 这样的图称零 极点图或零 极图 其中 表示零点 表示极点 图4 5 2例4 5 2系统零 极点图 图4 5 4零 极点与单位冲激响应模式 全通系统与最小相移系统的零 极点分布 1 全通系统 系统幅频特性在整个频域内是常数 幅度特性可无失真传输 系统函数H s 的零 极点对j 轴成镜像对称 即零 极点个数相同 m n 且零 极点矢量的大小相等 Nj Mj 式中 H0为常数 不是常数 随着零 极点的个数和分布不同而不同 实际应用中正是利用这种相位特性做相位校正网络或时延均衡器 图4 5 12全通系